dxdt.blog: занимательный интернет-журнал

Исходная мотивация для квантовых вычислений состоит не в кубитах, а в поиске механизма, который позволил бы вычислить “невычислимое”, ну или хотя бы “сложновычислимое”. Кстати, едва ли не первое описание концепции дано в книге Ю. И. Манина “Вычислимое и невычислимое”, 1980 года (изд. “Советское радио”) – там несколько абзацев в предисловии (с.15) посвящено “квантовым автоматам”, уже эти несколько абзацев точно и полно описывают концепцию того, как квантовые вычисления далее и развивались. Сама книга не о квантовых вычислениях. Тем не менее, в тексте предисловия на примере проблем моделирования известными “классическими” методами простых физико-химических явлений, показана связь с несравнимо большей мощностью пространства квантовых состояний – вот эту мощность и предлагается использовать в реализации будущих вычислительных механизмов.

В вычислительном моделировании белковых молекул ситуация и сейчас, спустя более чем сорок лет, примерно такая же – расчёты требуют многих дней работы суперкомпьютера, но соответствующий процесс геометрического превращения белка происходит за доли секунды. Это одно из направлений, на котором, как считается, могут помочь квантовые компьютеры той или иной системы.

Почему вычислительное моделирование вообще должно работать на скорости, сравнимой с моделируемым процессом? Это моделирование больше похоже на попытку перебора состояний, то есть на обращение некоторой сложной функции-свёртки. Можно было бы попробовать придумать небольшой алгоритм, который моделировать ничего не будет, но вывод даст похожий на какую-нибудь сворачиваемую молекулу. Другими словами, обязательно ли предполагать, что упавшая на каменный пол стеклянная ёлочная игрушка, прежде чем разбиться, вычисляет набор осколков, на которые она разлетится?

Предположим, в симуляции вселенной игрушка могла бы и “зависнуть”, вот буквально в момент удара об пол – если расчёт осколков достаточно сложен; другое дело, что прочие персонажи внутри симуляции всё равно этого не заметили бы, так как ход последовательности событий, споткнувшись на ёлочной игрушке, одинаково приостановился бы для всех находящихся внутри – иначе событие разбития игрушки начало бы отставать по времени от момента падения; впрочем, известно, что такие эффекты относительно легко корректируются позже; кроме того, “разбивку” осколков можно и предвычислить, оформив в виде процедуры, выдающей, как калейдоскоп, разные наборы, которые вычислительно непредсказуемы изнутри симуляции, но укладываются в прочие ограничения, что позволяет пытаться их считать: вычислительная непредсказуемость тут как раз и выводится из экспоненциального роста сложности определения свойств исходной внешней процедуры по её внутреннему выводу.

Впрочем, концептуальная идея квантовых вычислений основана на обратной трактовке ситуации: предположим, есть физический процесс, который явно опережает “по скорости сходимости” все известные для моделирования похожих процессов вычислительные методы, – давайте используем сам этот процесс для вычислений, хоть бы и по какой-то другой задаче. Некая запредельная квантовая процедура быстро определяет конфигурации осколков ёлочной игрушки (волка там какого-нибудь, это не так важно) – давайте сводить другие задачи к модели, полезный результат которой отобразится в конфигурацию осколков. Это больше похоже на “квантовый отжиг” (quantum annealing), но, собственно, такой же подход реализуется и в алгоритме Шора, который описывает, как перевести задачу отыскания периода функции в квантовомеханические “операторы”. Алгоритм математический, а для успешной его работы остаётся найти подходящий физический процесс. С этим могут быть трудности. Естественно, это всё напрямую связано с тем, что пока что толком не понятно, откуда именно берётся “мощность”, стоящая за конкретным, пусть и гипотетическим, квантовым вычислением.

Один из исторических подходов к выводу понятийных основ квантовой механики состоит в следующем сравнении “меньше-больше”: пусть исследователь изучает всё меньшие и меньшие аспекты окружающего мира, тогда, с соответствующим уменьшением инструментов измерения, эти инструменты начинают всё больше и больше влиять на измеряемое. Отсюда хрестоматийное определение: влияние прибора убрать нельзя, а чем выше полагаемая точность измерения, тем больше измеритель влияет на измеряемое – например, на элементарную частицу, на электрон.

Нужно заметить, ничто не мешает пытаться, собственно, измерять параметры скорости хорошо локализованных в пространстве электронов с высокой точностью – проблемы начинаются с предсказуемостью результатов последовательных измерений в одной и той же конфигурации оборудования. Предсказуемо определить измерением, получается, нельзя, а значит – нельзя и знать, то есть, феномен скрывается из области реального. При дальнейшем обобщении, учитывающем прочие эксперименты, включая мысленные (как двухщелевой опыт с фотонами и наблюдателем над щелями), в этом месте и появляется “поле вероятности” из которого можно “выбивать” измерениями разные значения, но уже с хорошо определяемым распределением. Получается, за всеми этими “частицами” стоит некоторое большее поле вероятности, а в нём возможны некоторые волны изменений, порождаемые разными шагами квантового эксперимента, при этом интерференция данных волн влияет на распределение будущих результатов измерений. И если правильно устроить экспериментальный прибор (квантовый компьютер), то, возможно, получится применить результаты превращения вероятностей в измерениях и вычислениях. Однако тут возможны разные интерпретации.

Anycast (в Интернете) – это, грубо говоря, способ распределить один IP-адрес на несколько узлов. Глобальный anycast подразумевает, что некоторый IP-адрес обозначает разные узлы, расположенные в совсем разных сетях и, возможно, разных регионах. Применяется данная технология, обычно, для того, чтобы сделать входные узлы некоторого глобального распределённого сервиса ближе к локальным пользователям, сохранив нумерацию в IP-адресах (“ближе” здесь обозначает расстояние в смысле сетевых маршрутов пакетов).

Есть занятный, пусть и не самый точный, способ определения того, что какой-то глобальный и маршрутизируемый IP-адрес соответствует anycast-узлу: нужно измерить время ответа (ICMP) при помощи утилиты ping, но сделать это из двух базовых точек, заведомо находящихся в существенно разных регионах, а потом измерить ping между этими точками. Если сумма для времени от точек измерения до измеряемого узла существенно меньше, чем время между базовыми точками, то, скорее всего, тут присутствует anycast. Это неравенство треугольника, и оно тут при помощи anycast нарушается.

Естественно, неравенство треугольника в интернет-сетях может нарушаться и по другим причинам. При этом, так сказать, “плотность” подобных нарушений, измеряемая на выборке узлов, может свидетельствовать о том, что где-то нужно поправить правила балансировки. А вообще, в современной глобальной Сети, из-за усиливающейся “спагеттизации“, подобная сетевая “измерительная геометрия” приобретает всё большее значение: когда трафик ходит через VPN, эффекты от anycast могут быть совсем не такими, как планировалось.

Один из самых старых способов скрытого получения доверенного доступа к не менее скрытым сервисам в Интернете (как IP-сети) это port knocking (метод “секретного портового стука”). Суть метода изложить не трудно: скрываемый сервис работает на закреплённом за ним номером порта, но доступ для TCP-соединений (например) к этому номеру порта открывается только для тех IP-адресов, которые выполнили установленный набор попыток подключений по другим номерам портов. Чуть более развёрнутое объяснение для тех, кто не сетевой инженер (опять же, используем TCP): TCP-соединение – это соединение “точка-точка”, на каждом из концов соединению соответствует IP-адрес и номер порта, где номер порта, можно считать, это просто 16-битное число; например, 10.11.12.13:14395 -> 10.101.102.103:22 – соединение клиента с номером порта 14395 на серверный номер порта 22 (это обычный номер для SSH); предположим, что доступ на сервере по порту 22 закрыт межсетевым экраном (брандмауэром), то есть, попытка соединения на этот номер порта будет проигнорирована сервером; но если некоторый клиент с IP 10.11.12.13 выполнит попытки TCP-подключения на другие номера портов сервера по заданной ключевой последовательности: 1011, 1022, 1033, то брандмауэр, который фиксирует у себя попытки подключения, откроет подключения по номеру порта 22, но только для соответствующего IP-источника.

Естественно, все номера тут могут быть любыми (из допустимых интервалов). Метод весьма полезный, я его использую для открытия доступа к шлюзам, ведущим в некоторую “закрытую” сеть: совершенно необязательно открывать конкретный сервис на конкретном узле, с тем же успехом можно открыть туннель.

Почему-то данный метод и известен не столь широко, как можно подумать, да и нередко его необоснованно относят к способам защиты из разряда Security through obscurity (“Безопасность через неясность”, в одном из переводов), которые, как бы, “заведомо слабые”, что как раз и есть хороший пример неверного обобщения “принципа Керкгоффса”. Однако данный метод хорош, если используется по назначению и в верном контексте. А если излишне настойчиво обобщать, то и авторизация SSH по ключу может показаться “безопасностью через неясность” – действительно, а как если бы он знал значения байтов секретного ключа и их последовательность? Впрочем, это лирическое отступление.

Идея port knocking очень гибкая, потому что достаточно общая: во-первых, годится и TCP, и UDP, и ещё что угодно “с номерами”; во-вторых, последовательность “стука” не обязательно фиксированная – если есть общий секретный ключ и общее время, то номера можно генерировать псевдослучайным образом; в-третьих, вежливо постучать клиент может в один узел (IP-адрес), а доступ ему откроется на совсем другом (так тоже бывает). Поэтому именно “портовый стук” представляет собой эффективный дополнительный инструмент, затрудняющий обнаружение скрытого сервиса разными активными сканерами (что называется – connection probe). Если последовательность стуков неправильная, то, понятно, никто на неё просто не ответит, поэтому и никакой новой информации получить не выйдет.

Действительно, номера портов, которые открывают возможность соединения, видны в сетевом трафике. Но если это псевдослучайная последовательность, толку, в плане анализа трафика и сервисов, от этого не очень много – мало ли кто и какие порты сканирует? Добавление же контекста в DPI тут существенно повышает сложность анализа трафика. К port knocking можно добавить пакеты (UDP, например), содержащие дополнительные ключи, что, вместе с заменой адресов, совсем хорошо перемешает информацию, ещё больше затруднив анализ и построение контекста. Интересно, что через номера портов, в принципе, можно передавать и выбранный номер входного узла, к которому требуется получить доступ. То есть, конкретный вход в туннель и его свойства определяются выбранной последовательностью “стуков”. Впрочем, если простой port knocking в линуксах, например, относительно легко реализуется силами iptables (типовой межсетевой экран), то расширенные, хитрые способы – потребуют отдельного специализированного модуля, обрабатывающего низкоуровневую информацию о соединениях.

Манускрипты и ИИ по воскресеньям. Дописал небольшое пояснение в записку про кусочек папируса с фрагментом “Илиады”, но, думаю, можно вынести и в отдельный текст, тем более, здесь есть что развернуть. Речь о том, почему слово с первой строки египетского папируса 2966 из Британской библиотеки (там от этой строки только фрагмент одной буквы, самый верхний элемент), явно выходит за правую границу следующей строки, если сравнивать с манускриптом Venetus A. Вот скриншоты ещё раз – эффект хорошо видно, поскольку на второй картинке соответствующий “полуостров” пришлось сильно потянуть влево, чтобы он попал на слово:

Что бы это могло означать? Скорее всего, на целом папирусе в этом месте была записана другая, более старая, версия строки 6.4, оканчивающаяся другим словом: στομαλίμνης. Полностью так: “μεσσηγὺς ποταμοῖο Σκαμάνδρου καὶ στομαλίμνης” (дословно: “между рекой Скамандр и лагуной/лиманом”), и эта версия длиннее, чем “современный” вариант, как в Venetus A, поэтому последнее слово могло “уехать” (“The Ptolemaic papyri of Homer”, Köln: Westdt. Verl. 1967). Кусок буквы как раз похож на μ, а возможно, что и на μν тоже тянет.

Считается, что на современный вариант, с потоками (ῥοάων) Ксанфа, мог переписать Аристарх Самофракийский или кто-то из работавших с ним. Версия со Скамандр-рекой указана в комментариях на полях цитируемого манускрипта Venetus A: там буквально написано, что вариант Скамандр-реки и лагуны записан в “старом тексте”, но его поменяли, – поменяли раньше, не в момент записи Venetus A, – на Симоент и Ксанф, потому что (Аристарху) так показалось географически точнее по событиям сеттинга. Кстати, строка в переводе Гнедича: “Меж­ду бре­гов Симо­иса и пыш­но­ст­ру­и­сто­го Ксан­фа” (почему “пышноструистый” – не ясно, но это всё известные особенности перевода Гнедича).

Вообще, между упомянутым папирусом и манускриптом Venetus A, как минимум, тысяча лет. И ещё тысяча – между манускриптом и современной записью текста “Илиады”. Например, тот же английский язык за меньшее количество веков потерял кучу грамматических конструкций, а кроме того, существенно изменил орфографию, что отразилось и в записанных текстах (разные летописи и пр.). Интересно, что в случае английского это явление записывают за нормандцами, с которыми с 1066 года на англосаксонских наречиях, видимо, можно было общаться, только коверкая рода и падежи, в стиле “твоя моя нет понимать”, что и закрепилось в английском, поскольку такой набор выглядел проще, а “высоким” языком всё равно был старофранцузский, к сожалению (сравните, кстати, с автоматизированными “упоминаниями” пользователей в некоторых интернет-соцсетях сейчас, где и для русского языка падеж используется всё равно строго именительный). Всё это применимо и к греческому языку. Но не к некоторым текстам. Поэтому вернёмся к греческому тексту “Илиады”: в записи трудов Гомера, как известно, тоже было много изменений, однако тут, в нашем случае, некоторые слова в записи вообще мало поменялись – можно сравнить:

(На кусочке папируса. 230 г. до н.э. Сомнительно, конечно, что там “Ν”.)

(Манускрипт Venetus A. 10 в.)

(Современный веб-браузер. 2023 г.)

Естественно, сотрудник скриптория, который записал Venetus A, тоже мог пользоваться источниками, которым было по тысяче или около того лет (оно примерно так и считается сейчас).

Понятно, что другие варианты, которые когда-то тоже относились к “Илиаде”, но, в процессе трансформации/кодификации текстов, разошлись с современными вариантами за пределы, так сказать, “эластичности” филологических конструкций, просто не будут привязываться к той же “Илиаде”, если где-то обнаружится кусочек папируса с несколькими словами – они теперь видны как фрагменты “договора о покупке земли”, предположим. То есть, такой фрагмент, очевидно, никто и не станет рассматривать как “более старый” или утраченный, даже если он таковым и является, – нет оснований. В случае с нашим папирусом ключевое слово прямо указано в схолиях (комментариях на манускрипте), в других случаях – такого могло и не быть. И, конечно, далеко не каждый кусочек с несколькими словами, даже если эти слова прямо вкладываются в кодифицированный текст “Илиады”, можно к этому тексту тут же приписать – нужно, чтобы осталось достаточно внешней структуры. Из современных реалий, этот процесс хорошо похож на “обучение” ИИ LLM (“больших языковых моделей”): там в процессе сворачивания статистических свойств, эти самые структуры, которые позволяют кусочки папирусов привязывать к кодифицированным текстам, как раз гарантированно “сжимаются” до полного исчезновения (в этом суть “обучения”). Это, впрочем, мало кого смущает.

Кстати, в продолжение предыдущей заметки. В исходной работе (почему-то по оригинальной ссылке её больше нет, но, думаю, можно найти) в качестве примера используется модификация аппаратного генератора (датчика) случайных чисел, которая приводит к снижению эффективной энтропии до значений, доступных для быстрого прямого перебора. Что это означает и как может работать на практике, а не в качестве примера? Конечно, если бы речь шла о прямой замене на максимальное количество в 2^32 различных значений для 128-битной разрядности, то такой дефект элементарно обнаружился бы: он не только быстро проявится на статистике, но и будет выглядеть максимально подозрительно даже для самых простых методов – 2^32 16-байтных значений сейчас влезает в ОЗУ некоторых ноутбуков. Поэтому речь идёт о другой схеме. Практическая реализация должна работать в другом контексте: предполагается, что сторона, которой известно секретное значение, по нескольким результатам выдачи генератора (задающие элементы – их может быть даже два или три) за 2^32 (например) операций вычислит внутреннее состояние генератора и получит следующее значение, которое генератор выдал (ну или получит 116 битов из 128, а остальные – подберёт на следующем шаге). Во многих протоколах значение случайного числа, которое выдал генератор, передаётся в открытом виде, так что его можно прочитать тем или иным способом. А дальше уже, из-за свойств симметричных шифров и/или хеш-функций, можно найти точные ключи перебором. При этом в выдаче всегда остаётся некоторая добавленная энтропия, – предположим, аппаратная, – которая мешает вычислительно отличить выдачу генератора от качественной, если не известен ключ.

Воскресное чтение манускриптов, на этот раз – с кусочком папируса, из серии “лучше всё проверить самостоятельно”. Как известно, один из самых старых полных/точных текстов “Илиады” – это манускирипт Venetus A, на который я уже как-то ссылался. Однако он датирован десятым веком (н. э.), а достоверно выявлен в источниках был и того позже – в 15 веке. Но кусочки текста “Илиады” встречаются то тут, то там – на фрагментах, которые датируются гораздо раньше. Так, египетский папирус (papyrus) 2966 из Британской библиотеки датируют 270-230 г.г. до н. э., то есть, более чем на тысячу и сто лет раньше, чем Venetus A. На этом кусочке папируса (см. скриншот ниже) читают кусочек текста “Илиады”, а именно – фрагменты строк из самого начала шестой книги/песни (VI, 6.4-7). Сравним тексты папируса и Venetus A.

Папирус (Papyrus 2966):

А ниже – соответствующий фрагмент Venetus A, на котором я попытался подсветить отображение (примерное) папирусного кусочка в данный манускрипт:

Попали следующие слова: ῥοάων, Ἀχαιῶν, ἑτάροισιν ἔθηκεν, Θρῄκεσσι τέτυκτο (это момент поражения фракийского “браноносца” Акамаса, в основном). Понятно, что начертания букв различаются. Кроме того, на папирусе выше нет диакритических знаков (как-то без них обходились). Тем более занятно, что фрагменты можно сопоставить с такой высокой точностью – посудите сами: на этом кусочке всего лишь 27 букв, включая частично сохранившиеся. Впрочем, комбинаторно, конечно, этого достаточно.

(Интересно, как могли бы датировать данные манускрипты после того, как исходники окажутся (предположим) уничтожены, но останутся цифровые копии, поскольку их много и они на разных носителях. Хотя, тут тоже есть сомнения в сохранности данных – толком эту сохранность не проверяли, а электромагнитный импульс может многое испортить: история движется, но кусочки секторов на поверхности жёсткого диска склеить в пиксели не так-то просто.)

Дополнение, 30/09/2023: кстати, на скриншоте папируса, как можно заметить по отображению на второй картинке, самая верхняя строка длиннее, чем на манускрипте: ну, то есть, как минимум конец слова уехал вправо, а видимые части буквы больше похожи на μ; что бы это могло означать? причина, вероятно, в том, что на папирусе записана другая версия строки 6.4, оканчивающаяся словом στομαλίμνης, а именно: “μεσσηγὺς ποταμοῖο Σκαμάνδρου καὶ στομαλίμνης” (“между рекой Скамандр и лагуной/лиманом”); считается, что на вариант с потоком (ῥοάων) Ксанфа мог переписать Аристарх Самофракийский или кто-то из работавших с ним; /источник комментария к папирусу: “The Ptolemaic papyri of Homer”, Köln: Westdt. Verl. 1967/.

Случайно тут попалось высказанное в качестве примера утверждение про восприятие текста: “если в предложении на английском языке поменять слово, то человек, знакомый с английским, сразу увидит – изменился смысл (meaning) предложения или нет” (перевод с английского). Конечно, всякий пример, подготовленный с подобной степенью обратной аллегоричности, содержит обязательные неточности, но данный вариант особенно интересен, потому что сводит взаимодействие “смысла” и “текста” к отдельным словам.

Вот если в предложении “дерево весело задело” поменять “дерево” на “платье”, то изменится ли смысл? Сможет ли оценить изменение смысла человек, знакомый с русским языком?

С одной стороны, тут похоже, что предложение не имеет смысла ни с одним из двух переставляемых слов. Значит, если смысла нет, смысл “пустой”, то он и не изменился, ведь пустое множество – самый инвариантный инвариант: пустые множества элементов любых типов не просто не отличаются – пустое множество вообще всего одно. С другой стороны, если “смысла нет” означает отсутствие смысла, то тогда мы имеем дело с некоторым конструктом, в который пустое множество (обобщённое “отсутствие”) может быть погружено, потому как чтобы заявить, что “смысла нет”, нужно сперва определить, что такое “смысл”, а потом утверждать, что такого нет. Получается, мы теперь имеем дело с некоторой пустой коробкой, а коробки могут быть разного цвета, их можно вкладывать одну в другую и настолько преуспеть, что даже построить таким способом натуральные числа. Так что то, как именно “смысла нет” в предложении – могло и поменяться, в зависимости от “дерева” или “платья”: цвет пустой коробки начинает играть важную роль, поскольку тут этот цвет превращается в интерпретацию иллюстративной роли отсутствия смысла в исходном предложении “о задевших деревьях”, то есть, задаёт понимание того, что именно это предложение показывает читающему. Замена дерева на платье может что-то поменять в смыслах, но на более высоком уровне. Сразу ли увидит это человек, знакомый с русским языком? Это зависит от контекста и от опыта человека.

Предполагается, что постквантовые криптосистемы – это защита от взлома на квантовом компьютере. На гипотетическом квантовом компьютере, который может реализовать соответствующие алгоритмы – алгоритм Шора, прежде всего. Конечно, современный уровень “хайпа” вокруг квантовых компьютеров уступает уровню “хайпа” вокруг “искусственного интеллекта”, тем не менее, квантовых компьютеров, подходящих для атак на используемые сейчас криптосистемы, ещё никто не показал. И даже ничего близко похожего – не показали. Но если почитать, например, статью про квантовые вычисления даже в англоязычной “Википедии”, то там почему-то уверенно обсуждаются “практические особенности”. Но до “практики” же ещё очень далеко. Пока что даже исследовательские алгоритмы, призванные показать “квантовое превосходство”, требуют создания специальных задач, которые структурно оптимизированы не в направлении вычислительной полезности, а в направлении использования свойств, потенциально доступных на имеющихся сейчас квантовых устройствах (см. boson sampling). Это естественно, весьма логично для этапа теоретических исследований на экспериментальном оборудовании, но не относится к практическому применению универсальных компьютеров.

В популярных изложениях нередко сильно искажают ситуацию (а иногда – искажают и не в совсем популярных: см. историю про “голографическую кротовую нору”), заявляя, что алгоритм Шора уже был успешно реализован на таких-то и таких-то конфигурациях. При этом для алгоритма Шора ключевое значение имеет не “суперпозиция состояний”, про которую всё время рассказывают, а реализация квантового преобразования Фурье, потому что именно в нём состоит содержательная часть – алгоритм должен работать потому, что схемы преобразования Фурье позволяют, в теории, определить период функции, заданной на значениях квантовых регистров. Однако в экспериментах именно эту часть (преобразование Фурье) существенно упрощают или вообще исключают, так как нет доступных экспериментальных квантовых схем, подходящих для практической реализации. На малых разрядностях (несколько битов/кубитов) преобразование Фурье для алгоритма Шора вообще не имеет вычислительного смысла, поскольку в принципе нельзя увидеть “длинных” периодов. Не исключено, что в случае “коррекции ошибок” на дополнительных схемах – преобразование Фурье совсем не будет работать для отыскания периода из-за того, что алгоритм-то, по предназначению, целочисленный. И это если оставить за скобками то, что создание гипотетического квантового компьютера большой разрядности напрямую затрагивает основания современной физики, поскольку именно такой квантовый компьютер с необходимостью попадает на границу между “квантовым (микро)миром” и “неквантовым (макро)миром”, которая совсем не ясна, вокруг которой строятся разные интерпретации.

Из этого, впрочем, не следует вывод, что квантовые компьютеры подходящей разрядности вообще не создадут. Но пока что трудности большие.

Кстати, индекс 0x6399, который позволяет отличить ключи криптосистемы X25519Kyber768Draft00 в TLS-сообщениях, внесён в соответствующий реестр номеров IANA, в раздел под именем TLS Supported Groups. Название раздела – ещё один пример исторически сложившихся особенностей спецификаций: понятно, что X25519Kyber768 – никакая ни группа, а сразу две криптосистемы, построенные на различном математическом аппарате (но, естественно, группы нетрудно найти и в X25519, и в Kyber768). Изначально, упомянутый раздел параметров TLS содержал индексы именованных эллиптических кривых, то есть, сочетаний из параметров, определяющих конкретную кривую в прикладном смысле. Но так как для криптосистем существенны были именно операции в группе, а кроме эллиптических кривых ещё использовались (и используются) мультипликативные группы колец вычетов, то раздел, довольно давно, переименовали в “Поддерживаемые группы”, теперь туда записывают наборы криптосистем.

Предположим, что при измерениях около нуля Цельсия наш датчик и схемы преобразования электрических сигналов могут давать “погрешность” (в кавычках – потому что это здесь условный технический термин для конкретного измерения) до 0.3 градуса, по сравнению с реальной температурой измеряемой среды (тут ещё вопрос, какая именно температура измеряется и как определяется равновесие, но ладно). Что означают эти 0.3 градуса “погрешности”? Они означают, что когда температура в измеряемой датчиком точке 1.0 градус ровно (Цельсия, но это не важно), схемы датчика могут показать 1.1, 1.21, 1.3 – ещё что-то похожее. При этом, чтобы как-то попытаться снять кавычки с “погрешности”, нужно ещё учитывать, какая у нас доступна разрешающая способность после датчика – видим ли мы разницу между 1.2 и 1.21 близко к датчику или этот 0.1 уже шум от последующих элементов схемы (а может и ошибка в Excel, кто знает). Так что считаем, что наша “погрешность” – 0.3. Всё это, естественно, умеют учитывать так или иначе, но корректные алгоритмы вычислений с погрешностями измерений достаточно сложны (есть специальные методы, теории и разные подходы).

Однако попробуем упростить ситуацию. Для примера. Если привычным способом “считать на компьютере”, то можно пронаблюдать занимательные эффекты. Предположим, что у нас пять датчиков. В измерении “А” датчики показали следующие значения (пусть, всё градусы Цельсия): 1.3, 2.3, 2.3, 3.3, 3.3, (много одинаковых значений почему-то, подозрительно); среднее арифметическое для этих измерений равно 2.5; а в измерении “Б” данные получились такие: 1.3, 2.3, 2.3, 3.3, 3.1; среднее – 2.46. Средние показатели отличаются на 0.04. Попробуем так и записать: “средняя температура, между измерениями “А” и “Б”, упала на 0.04 градуса”. И тут не только неожиданно вылезла точность в сотых долях, которая, на минуточку, в семь с лишним раз, если так можно выразиться, “лучше” заявленной выше “погрешности” (0.3), но и реально измеряемая температура могла при этом вовсе не поменяться (а могла и поменяться). Так что при вычислениях нужно учитывать модель измерений. При этом точное измерение конкретно “температуры”, чтобы это ни значило, обычно связано с большими технологическими трудностями (дополнение: особенно, если это измерение выполнено 70 лет назад), которые в СМИ не попадают.

(Кстати, что касается СМИ: замечание про модели измерений особенно актуально и для машинного обучения, которое про соответствующие модели тут ничего учитывать не может.)

Исходные тексты программ – ценный источник информации о возможной работе этих программ. Относится и к другим текстам. Ниже – два варианта записи одного и того же фрагмента из “Физики” Аристотеля на “языке оригинала”, то есть, это древнегреческий, но, конечно, переписанный много позднее Аристотеля и по другим источникам. В данном фрагменте Аристотель объясняет, что поскольку при падении через “пустоту” нет причин для того, чтобы разные тела набирали разную максимальную скорость падения, потому что отсутствует сопротивление среды, то и все тела будут “одинаково быстро” падать, а это, как считает Аристотель, невозможно – поскольку он так объясняет, что не может быть пустоты. Но это другая история, а здесь текст служит примером того, как могут различаться записи. Красными точками я отметил начало и конец фрагмента. Первый скриншот – из манускрипта, датируемого 12 веком:

Второй – из манускрипта, который “посвежее” и датируется, как я понимаю, чуть позже, то есть, 13 веком:

Хорошо, что сейчас много манускриптов качественно оцифровано крупнейшими библиотеками и опубликовано. Конкретно эти два – из Ватиканской апостольской библиотеки (снова). Не то чтобы первый вариант был легко доступен для чтения, но второй – прочитать гораздо сложнее: там и хитрых “скорописных” сокращений очень много, и шрифт замысловатый (между строками – там ещё и комментарии, кроме специальных знаков). Удивительно, что переписанные тексты в таких непростых конфигурациях вообще совпадают в деталях. Можно даже предположить, что библиотечное дело в 13 веке усложнилось, а в скрипториях поменялся технической распорядок. Но понятно, что это просто манускрипты разного происхождения, типа, класса и предназначения, а ошибки, связанные с неверной расшифровкой сокращений – вполне себе встречались (это отдельная тема).