dxdt.blog: занимательный интернет-журнал

Воскресное чтение манускриптов. Сегодня продолжаем читать “Арифметику” Диофанта.

“Арифметика” на манускриптах уже связана с целой серией записок, в которой нам встречались: “маргинальный” комментарий к первой задаче; разбор текста первой задачи на манускрипте Vat.gr.191 в двух частях; принципы обозначения неизвестной у Диофанта и правило “минус на минус”; а также необычные “кубо-кубосы”, используемые для обозначения степеней неизвестной в “Арифметике”.

В этот раз – читаем вторую задачу, в версии всё того же Vat.gr.191 – манускрипта 13 в. из Ватиканской Апостольской библиотеки. Вторая задача, как легко догадаться, идёт сразу после первой.

Это первое предложение второй задачи. В современной типографике: τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν δεῖ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι. Здесь задача формулируется: “заданное число нужно разбить на два числа, [находящихся] в соотношении данном”. Как и в первой задаче, тут под “разбить” понимается “представить в виде суммы”. То есть, это A == X + 3X. Можно сказать, что задача для начальной школы. Так, судя по всему, и было во времена Диофанта, да и, собственно, за четыре тысячи лет до него тоже. Почему всё ещё иногда приходится слышать, что, якобы, изучаемые в начальной школе сейчас, – в 21 веке н.э., – арифметические задачи представляли какой-то “недостижимый уровень” пару тысяч лет назад – загадка. Но, вообще-то, далеко не все задачи в “Арифметике” настолько простые. Возможно, в чтении “Арифметики” мы доберёмся и до сложных тоже.

Оставшаяся часть выделенной строки это начало предложения, переходящего на следующий лист (361r). А именно: ἐπιτετάχθω δὲ τὸν ξ̅ … – и продолжение на следующем скриншоте.

Продолжение: …διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τριπλασίονι. Перевод будет ниже. Здесь есть интересный письменный момент – лигатура.

Обратите внимание на “закорючку”, с торчащим вверх хвостом, примерно в конце первой трети первой строки. Это не просто закорючка, а скорописная лигатура τρ в слове τριπλασίονι. Занятно, что в других случаях на этом же манускрипте τρι- в τριπλασίονι записано обычным способом (см. ниже).

Перевод: “[пусть] задано 60 разбить на два значения (“арифмоса”) в отношении тройном (τριπλασίονι)”. Число 60 в греческих обозначениях это ξ̅ . “Арифмосы” это диофантово обозначение для переменной величины. В этом манускрипте пока что “арифмосы” записаны полным словом. В современных текстах Диофанта (но на древнегреческом, конечно), вместо “арифмосов” будет обозначение, напоминающее букву S.

Читаем выделенную строку дальше: τετάχθω ὁ ἐλασσων ἀριθμος α̅. Перевод: “назначим меньшему значение 1 (α)”. То есть, у нас должно быть две кратности одной переменной, раз одна кратность составляет три других, то меньшее будет с единичной кратностью.

Есть большее и меньшее, но с учётом множителей при переменной. Здесь, буквально, имеется в виду вот что: запишем 1*X и 3*X, где 1*X – меньшее, а 3*X – большее. И X, как переменная, это “арифмос”. Про 3 * X написано дальше: ὀ ἄρα μείξων ἔσται ἀριθμῶν γ̅ . Перевод: “а большее будет (со) значением три”. γ̅- это три: α,β,γ,…

Читаем, разбирая закорючки и сокращения скорописи: καὶ ἔστιν ὀ μείξων τοῦ ἐλάσσονος τριπλασίων. Здесь, помимо τοῦ, есть знак, похожий на большую надстрочную O. Это скорописное сокращение для -ος на конце слова. Кроме того, в ἐλασσονος ещё и двойная сигма записана лигатурой. Буквальный перевод: “и большее есть меньшее утроенное”. То есть, 3X == X+X+X. Обратите внимание, что тут τρι- в τριπλασίων записано обычным образом, не так как выше, с лигатурой. Почему? Это отдельная тема.

Читаем дальше.

Текст: δεῖ λοιπὸν τοὺς δύο ἴσους εἶναι μονά(σιν) ξ̅ ἀλλ’ οἶ δύο συντεθέντες ἀριθμοί εἰσι δ̅. Перевод дословный: “так в результате два [значения] равны будут 60 единицам (μονάσιν), но два соединённых значение имеют 4″. Или: “сумма равна 60, а оба коэффициента при переменной дают 4”. Тут важно не перепутать “монады” с “арифмосами”. “Монады” – это единицы. 60 “монад” – это итоговое натуральное число шестьдесят. “Арифмосы” – это переменные и коэффициенты при переменных, и тот факт, что обе части переменных вместе (то есть, “соединённые, согласованные”) имеют значение в четыре (“арифмоса”), обозначает, что 3X + X = 4X. Это 4X и есть “четыре арифмоса”, то есть, буквально X+X+X+X.

Это всё часто кажется элементарщиной, но если речь про книгу “Арифметика”, то необходимо точно определить базовые понятия с самых первых страниц. Это не так-то просто сделать. Например, умножение можно определить как повторное сложение. И сейчас многие “продвинутые пользователи” думают, что, мол, автоматически “всё со всем коммутирует” (о том, что это не так – догадываются разве что алгебраисты). Отсюда происходят занимательные неверные толкования задач современной начальной школы – тут я традиционно ссылаюсь на записку про некоммутативные апельсины.

Вернёмся с манускрипту. Теперь читателю “Арифметики” должно быть понятно, что 4X – это 60. О чём и написано дальше.

Заключительный фрагмент решения задачи: ἀριθμοὶ ἄρα δ̅ ἶσοι μονάσιν ξ̅. ὁ ἀριθμὸς ἄρα μονάδων ι̅ε̅, ὁ ἄρα ἐλάσσυων ἔσται μονάδων ι̅ε̅, ὁ δὲ μείζων μονάδων μ̅ε̅. Дословный перевод: “значений же четыре равно единицам 60, и (одно) значение составляет 15, значит, меньшее есть единиц 15, а большее же – единиц 45”. На русском языке: “переменная с коэффициентом 4 равна 60, значит она составляет 15, поэтому меньшее число есть 15, а большее – 45”. То есть, нашли ответ: X == 15; 3X == 45; 3X + X == 45 + 15 == 60. Те самые шестьдесят “монад”, которые образовались из 15 (ι̅ε̅) “монад” и 45 (μ̅ε̅) “монад”. То есть, тут, – прямо в самом начале предложения, – четыре (δ̅) “арифмоса” равны шестидесяти (ξ̅) “монадам”. “Арифмосы” – это ящики или коробки, в которые укладываются “монады”, в разном количестве. Здесь их пятнадцать. Именно так арифметику строят и сейчас, с той лишь небольшой разницей, что “монадой” нынче принято называть один пустой “арифмос”.

Адрес записки: https://dxdt.blog/2026/09/13/19188/