dxdt.blog: занимательный интернет-журнал

О тонкостях литературного английского. В известном произведении The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy (“Путеводитель хичхайкера по Галактике”/”Автостопом по Галактике”) Дуглас Адамс, описывая в одной из глав свершения смелых космических первопроходцев, использует следующую фразу (выделена пожирнением):

And all dared to brave unknown terrors, to do mighty deeds, to boldly split infinitives that no man had split before – and thus was the Empire forged.

Неплохой образец английского литературного юмора. Проблема, как обычно, в том, что перевести невозможно. Да, тут, на первый взгляд, представлены лишь самые доступные языковые конструкции и нет “сложных слов”. Однако перевести эту фразу на русский, даже с близким сохранением смысла, не получится. Объяснить – можно. Я попробую сделать это ниже. (Занятно, что даже и при чтении на языке оригинала нужны дополнительные данные для построения контекста, раскрывающего смысл.)

Причин этому две, и обе – чисто языковые: во-первых, во фразе заложена юмористическая аллюзия на литературный элемент поп-культуры, отсутствующий в русском языковом пространстве (см. ниже); во-вторых, фраза специально содержит спорную грамматическую конструкцию, которая возможна только в английском языке, и при этом прямо отсылает к самому предмету спора, возникающего вокруг этой грамматической конструкции. В общем, закручено и накручено.

Дословный перевод выделенного фрагмента, но с учётом общего контекста в оригинале: “смело разделять инфинитивы, которые никто не разделял прежде” – но эта фраза на русском выглядит странной и пустой. Так и должно быть, а детали придётся разбирать отдельно.

Прежде всего – “to boldly split”. Это явление, которое в английском языкознании называется split infinitive – “расщеплённый” инфинитив (можно обозначать и другими русскоязычными терминами, но здесь будет “расщеплённый”). Инфинитив – infinitive – это неопределённая форма глагола: “знать”, “читать”, “писать”. В английском языке инфинитив записывается (но не образуется, заметьте) при помощи to – примеры: to know, to write, to read. Расщепление – это практика внедрения между to и “глаголом инфинитива” одного или нескольких дополнительных слов; обычно, внедряется наречие, как и в нашем случае: to boldly split. И этот грамматический процесс относится к одному из самых спорных моментов. Причём споры, с викторианских времён, идут среди образованных носителей английского. Многие и сейчас считают такое расщепление недопустимым нарушением грамматического строя, речевой ошибкой. Но это, ещё раз, мнение спорное.

To boldly split – нетрудно перевести как “смело (или отважно) разделять”. Проблема в слове boldly. Строгие варианты такие: “boldly to split” или “to split boldly”. Но ни один, ни другой – не выглядят смешно. Прежде всего потому, что сама эта фраза – прямая отсылка к оригинальному сериалу Star Trek. Фраза-заставка к эпизодам этого классического сериала известна как “Where no man has gone before”, и используется постоянно. Этим словам, в оригинальном тексте вступления, предшествует не менее знаменитое (но уже в узких кругах) “To boldly go”.

Расщепление полностью, в версии Star Trek, будет таким: “To boldly go where no man has gone before!” – “Смело идти туда, где не ступала нога человека!”. Заметили тот самый расщеплённый инфинитив? To boldly go. Это и есть предмет аллюзии: грамматически спорная конструкция о том же boldly, расщепляющем инфинитив (многие литераторы и филологи, – особенно, в 60-х годах 20 века, – скажут, что это не “спорная”, а точно грамматически неверная конструкция).

“Путеводитель” – комическая космическая повесть. Star Trek – космический сериал, с понятной каждому английскому грамматическому пуристу речевой ошибкой в тексте вступления, зачитываемого в начале каждой серии. Думаю, теперь первый юмористический момент, – про “расщепление инфнитивов” в Star Trek, – понятен. Передать его на русском не получится, ввиду отсутствия соответствующего культурного феномена – вступления к сериям Star Trek 60-х годов.

Сама же идея о недопустимости “расщепления инфинитива” в английском, похоже, идёт из попытки насаждения языковых реалий из латыни – это было довольно популярным действием среди пуристов в викторианский период (вторая половина 19 века, в основном). Но, в латыни, понятно, расщеплять инфинитив невозможно (как и в русском) – просто потому, что в латыни для этого нет подходящего “to” (его и в английском, на самом деле, нет, но это другая история). В начале 21 века расщепление инфинитива в английском начали, под давлением языковых реалий, официально признавать допустимым.

В оксфордском словаре Фаулера (H. W. Fowler, A Dictionary of Modern English Usage, изд. 1965) есть замечательный пример фразы, в которой попытка избежать расщепления инфинитива приводит к плачевным последствиям:

The greatest difficulty about assessing the economic achievements of the Soviet Union is that its spokesmen try absurdly to exaggerate them; in consequence the visitor may tend badly to underrate them.

То есть, экономические достижения Советского Союза – “его представители абсурдно пытаются преувеличивать”, а посещающие СССР, в результате, “сильно/грубо недооценивают их”. Здесь наречия (“абсурдно”, “сильно” или “грубо”) оказываются прицеплены не к тем глаголам, что звучит несколько странно. И странность звучания помогает понять второй аспект юмора “расщепляющихся инфинитивов” в первоначальной цитате из The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy, который в русском переводе тоже передать невозможно, по причине отсутствия в русских инфинитивах расщепимости.

(На День Космонавтики эту записку выпустить не успел – что-то завозился, – но, думаю, ещё не поздно: да и не откладывать же на следующий год, верно? С прошедшим Днём Космонавтики!)

Для интересующихся английским языком и математикой (при чём тут математика – будет понятно ниже): на сайте The Guardian весьма занимательная задача – нужно прочитать известные идиомы и крылатые фразы на английском, но записаны эти фразы и идиомы в виде наборов цветных прямоугольников, где размеры прямоугольника соответствуют начертанию буквы, а цвета – разные для гласных и согласных (зелёный – гласные). Например, вот так, как на картинке ниже (взято из исходной статьи).

Предложения местами сложные, однако некоторые – угадываются довольно быстро (например, первая фраза). Мне удалось прочитать все 10 (надеюсь, что правильно – ответов, на момент публикации этой записки, ещё нет), так что механизм точно работает, попробуйте.

Там есть цитаты из Шекспира, да и сами исходные тексты, конечно, характерны, так сказать, для британского “литературного бэкграунда”, но это очень интересно, поскольку на конкретном примере показывает, насколько важна графическая форма слова в записи и графические же отношения между словами – а это уже чисто математический аспект.

Казалось бы, это идеальная задача для ИИ/LLM. Современная ИИ/LLM, которая, якобы, на “уровне золотой медали Международной математической олимпиады”, должна легко такую задачу решить. Ведь эти системы “обучены” на огромном корпусе текстов, в котором упомянутые фразеологизмы встречаются постоянно (ну, как бы, “Весь мир – театр” и “Не всё то золото, что блестит” – куда же чаще?). Я, конечно, загрузил текст и картинку с задачкой в ChatGPT современной версии. Откровенно говоря, я, при всём моём скептическом отношении, думал, что хотя бы с парой фраз система справится. ChatGPT не угадало ни одной фразы. Так что задача даже лучше, чем можно подумать.

Лексический контекст может трансформировать семантику одного и того же слова занятным образом. Особенно, в русском языке. Особенно, если графически – это одно и то же слово. Есть хорошо известный, но всё равно интересный, пример – он про “косых косых”.

“Шёл с косой косой косой”.

Что здесь написано? Например, это сказочный заяц (косой или Косой), который идёт, неся на плече ручной инструмент для покоса травы, но этот инструмент довольно кривой: “коса у зайца на плече косая”.

Теперь допишем ещё одно слово “косой”.

“Шёл с косой косой косой косой”.

Что получилось? Теперь заяц-косой ещё и реально косой – то есть, у него большие проблемы с глазами.

“Шёл с косой косой косой косой косой”.

Заяц, который несёт на плече косую косу, идёт вдоль песчаной косы: спустившись с холма, вышел заяц к реке, да закинул косу на плечо, шагая привычной дорогой – вдоль песчаной косы. Что ж, пока заяц идёт, продолжаем приписывать слово “косой”.

“Шёл с косой косой косой косой косой косой”.

Предположим, что и песчаная коса – тоже косая, на то она и коса. Продолжать всё труднее. Получится ли сделать следующий шаг?

“Шёл с косой косой косой косой косой косой косой”.

Семь косых. Ну, казалось бы, теперь-то грамматические варианты закончились, а предложение не “парсится” – так? Нет, не закончились. Дело в том, что косой заяц был нетрезв, поэтому он ещё раз косой, но теперь – в смысле общего состояния сознания: мысли зайца запутаны, но кажутся ему строгими и прямыми, не то что косая коса, которую несёт он на плече. Интересно, что “косой”, в значении не трезвый, можно в этом предложении переставлять на разные экземпляры графического представления слова “косой”.

“Шёл с косой косой косой косой косой косой косой косой”.

Восемь косых – и вот тут уже не обойтись без дефисов, потому что иначе структура не вписывается ни в какой грамматический вариант. Зато с дефисами – вписывается: “Шёл с косой-косой косой косой косой-косой косой косой”. То есть, коса у зайца теперь очень сильно косая: косая-косая. Сам заяц теперь настолько нетрезв, что таких нетрезвых зайцев поди ещё найди: косой-косой. Но с дефисами эффект не такой интересный, поэтому останавливаемся на восьмом уровне.

(Заметьте, кстати, что эффект похож на эмбеддинг с навесом из другой записки.)

Попробовал использовать ChatGPT в качестве инструмента для перевода технического текста с русского на английский, чтобы понять, насколько эта система годится для подобных задач. Может, – хотя бы, – пойдёт на роль генератора качественного “подстрочника”. ChatGPT 5 тут же “перевело” слово “совпадают” как совпides – да, “тяни-толкай” из двух слов разных языков. Это, очевидно, “склейка” из “совпадает” и coincides. Довольно забавно. ChatGPT утверждает, что это опечатка. В принципе, бывает, кто бы спорил.

К сожалению, первый вариант перевода оказался просто переписанным на английский русским текстом – то есть, это, как бы, более или менее корректный перевод (за вычетом совпides и пр.), но он читается “на русском”, а не на английском: наследованы все верхнеуровневые конструкции – это будет сильно коробить носителей английского, например. Впрочем, в качестве подстрочника – очень даже неплохо, тем более, что никто не просил литературный перевод. А до литературного, конечно, получилось космически далеко. Но ведь утверждают, что при помощи LLM переводят литературные произведения. Чтобы представить, что там получается, указал в своём ответе на то, что тут остался русский текст, но “английскими словами”, попросил переписать на английском английском. Второй вариант – оказался заметно лучше, но, к сожалению, всё ещё далёк от ожиданий “сверхинтеллекта”.

Вот хороший пример: предложение (в контексте большего текста) “Хуже того, этот кто-то может заменить пакеты или изменить передаваемые в них данные” – ChatGPT 5 переводит так: “Worse still, an attacker can modify or replace those packets”. Оставим за скобками “an attacker”, которого тут нет в исходном тексте – это не страшно. Но здесь сохранено “worse still”, – калька с русского “хуже того”. На английском – “worse still” читается как весьма драматический заход. Куда сильнее, чем “хуже того”, даже посильнее, чем “хуже всего”. Могло бы быть что-то вроде “in fact” или “moreover”. Самое забавное, что ChatGPT об этом, как бы, “знает”. Вот эти два варианта, – “in fact”, “moreover” – предложило само ChatGPT, когда я указал, что “worse still” – плохой “loan translation” (“прямое заимствование”, калька). То есть, система “знает” верные слова, но не может их выставить. Всё из-за того, что это синонимайзер, к сожалению. И “совпides” тому примером.

Но как подстрочник – вполне неплохо, факт. Продолжаем наблюдать.

Превращения слов. Систему Kubernetes на русском ИТ-жаргоне очень часто называют “Куб” или “Кубик”. Что, конечно, довольно забавно, потому что это дважды трансформированное из греческого через английский “фонетическое сокращение”. Дело в том, что исходное древнегреческое κυβερνήτης (“рулевой, кормчий, управляющий”) соответствует русскому “губернатор”. Так что должно быть не “куб” (которое, из-за “кубических мер”, много в каких жаргонах и арго фигурирует, но с другими значениями), а “губер”.

Попросил (на английском) ChatGPT 5 объяснить, почему в русском языке форма множественного числа слова “дно” используется для обозначения “жены дона”. Это такая шутка. ChatGPT, ранее, в другой ветке, заявляло мне, что владеет русским на высочайшем уровне, не хуже образованных носителей, так что запрос – по теме.

Однако ChatGPT заявило, в весьма пространных объяснениях, которые я не стану тут приводить, что это не так, не используется “дно” для “жены дона”. Потому что – внимание! – множественное число для “дно” – “днá” (именно так, с диакритическим знаком ударения над “a”). И ChatGPT привело пример:

одно́ дно́,
мно́го днá.

Так-то. Ну а “жена дона” – это “донна”. И дальше ChatGPT объяснило, мол, юмор тут в том, что “люди в шутку говорят: жена дона – это дна”.

А когда я написал, что, получается, это ChatGPT не знает форму множественного числа для “дно”, ответом было уверенное “I do” (“Я знаю”), со смайликом. После чего ChatGPT повторило, буквально, следующее:

The plural of дно́ is днá (stress on the second syllable):
одно́ дно́
два / три / мно́го днá

Это довольно забавно. Ударение, главное, в “днá” – на втором слоге. Не перепутайте. А самое смешное, так это слово, которое ИИ ChatGPT приводит в качестве иллюстрации того, что в русском есть и другие “контринтуитивные множественные”: “око́ → очá”.

Конечно, все эти современные говорилки, по сравнению с временами “хлопка от шампанского” и “личинок, блокирующих собачку в замке”, сильно продвинулись. ChatGPT, надо сказать, годится в качестве неплохого инструмента для поиска необычных примеров в текстах (ну, в тех случаях, когда LLM не выдумывает ответ). К сожалению, использовать этот инструмент для обработки естественного языка нужно с большой осторожностью. А при изучении иностранного языка – это, опять же, так себе помошник. Пример с “дном” и “доньей” хорошо это показывает.

Несомненно, “дно” – это весьма сложный случай. Обычно, вопрос про множественное число для “дна” ставит в тупик носителей русского, даже если они получили профильное (да, как ни странно) образование (литераторы, журналисты, иногда и филологи). Но ни одному образованному носителю русского не придёт в голову утверждать, что множественное для “дно” – “дна”. Именно в этом и состоит тупик: в совершенстве владеющий языком человек сразу понимает, что “дна” – никак не может быть множественным для “дно”; это будет не на русском. Другое дело – генератор текстов, у которого нет и не может быть понимания языка. Но “хайпу” это не мешает.

А множественное для “дно” – “донья”. Например, “сетчатые донья для ульев”.

Небольшой исторический экскурс, про комплексные числа и “квадратный корень из минус единицы”. Читаем исходники Бомбелли. Почему Бомбелли? Потому что без упоминания этого итальянского инженера-математика 16 века не обходится ни один экскурс в историю внедрения комплексных чисел. Про Рафаэля Бомбелли нередко пишут, что он “первым ввёл в обиход комплексные числа”. Несомненно, труд Бомбелли “Алгебра” (L’Algebra) сыграл одну из ключевых ролей в становлении подходов к алгоритмическому пониманию комплексных чисел. Но что именно сформулировал Бомбелли, и как именно? Насколько этот объект похож на современные комплексные числа?

Традиционно ссылаются на небольшой фрагмент из “Алгебры” Бомбелли, в котором прямо определяются правила арифметики для “мнимой единицы”, то есть, для i. Тут, однако, кавычки необходимы: мнимая единица – это в современных терминах; как будет понятно далее, у Бомбелли всё несколько иначе записано.

“Алгебра” Бомбелли написана на итальянском. Чтобы проиллюстрировать различие подходов, я постараюсь в ключевых местах дать дословный перевод текста Бомбелли, максимально близкий к исходнику (ну, на мой взгляд). Это позволит понять, как вообще описывались алгебраические объекты до появления современной нотации, и возможно ли сравнивать объекты непосредственно.

Кстати, современная алгебраическая нотация является настолько огромным достижением сама по себе, что именно её мог бы использовать “попаданец” в средневековое европейское прошлое для эффективного убеждения инквизиторов в том, что он, “попаданец”, реально из будущего. Современные для двадцать первого века теоремы, скажем, типовой “попаданец” не сможет даже сформулировать. Как и убедительно рассказать про “металлических птиц” и “дальновидение”, чтобы обособить свой рассказ от прочих волшебных историй, бытовавших и в средние века – просто, тут необходимо знать слишком много, для “попаданца”. Зато базовая алгебраическая нотация, на уровне записи формул корней квадратного уравнения, нынче хорошо знакома едва ли не каждому, а на образованного инквизитора прошлого произведёт впечатление. Но всё это в художественном произведении, конечно. Почему-то, этот вариант, хоть он простой и доступный, упускают из виду. Вернёмся, впрочем, к итальянской “Алгебре” 16 века.

Ниже дан первый фрагмент скана соответствующей страницы (это издание 1579 года, из библиотеки Linda Hall; страница 169; выделение цветом – моё; в некоторых местах, где допустимо и если не влияет на контекст, – я исправляю опечатки исходника и меняю типографику на современную итальянскую, для лучшего текстового представления, например, u -> v; см. детали ниже).

Итак, итальянский – исходный язык, на котором писал свой труд Бомбелли. Это уже далеко не латынь, но и не совсем современый итальянский – 16 век, всё же. (Знание итальянского для понимания этой заметки не требуется – я все важные слова объясню ниже.) В самом начале страницы, Бомбелли, буквально, пишет (пожирнение тут везде соответствует тексту, выделенному на скане): “Я обнаружил другой тип кубических корней выражений, который сильно отличается от всех других” (“Ho trovato un’altra sorte di R.c.legate molto differenti dall’altre”.)

Здесь сразу же попадается интересный термин: “R.c.legate”, от Radice Cubica Legata, – это обозначение для кубического корня, вычисляемого для некоторого алгебраического выражения (формулы), которое, как сейчас сказали бы, стоит “под радикалом”. Откуда и legata – “связанная” (итальянское radice, “корень” – женского рода; кстати, если вы только изучаете русский, то и “корень” вам тоже может показаться существительным женского рода). В общем, если на русском, то будет “связанный корень” или, что несколько точнее, “присоединённый корень”.

Что тут имеется в виду? Бомбелли определяет соответствующий больший термин – Radice Legata – за несколько десятков страниц до рассматриваемого фрагмента “Алгебры”. И в определении дан такой пример (здесь он записан в современных обозначениях и терминах): пусть кто-то говорит, “найди мне квадратный корень из (7 + √48)”, это означает, что нужно найти такое выражение вида a + √b, которое, “умноженное само на себя, даст (7 + √48)”; такое выражение, пишет Бомбелли, это (2 + √3). Проверяем: (2 + √3)*(2 + √3) = 4 + 4*√3 + 3 = 7 + 4*√3 = (7 + √48). Сходится.

Однако Бомбелли, когда описывает здесь нахождение квадратного корня в подобной форме, не использует термин “квадратный корень”. Он, буквально, пишет: “найди мне сторону” (дословно: trovami il lato). И это, вообще говоря, сторона квадрата, площадь которого равна заданному выражению (с иррациональностью!). Это всё похоже на геометрический подход, разделяющий числа и “величины”.

Нужно отметить, что, как сейчас бы сказали, Бомбеллли строит расширение поля рациональных чисел: потому что (7 + √48) = (7 + 4*√3) – это присоединение к рациональным числам иррационального √3, где √3 – это обозначение числа, квадрат которого равен 3 (определение корней дано у Бомбелли через умножение, а это очень важно). То есть, рассматриваем всевозможные выражения вида a + b*√3, где a, b – рациональные числа. Естественно, во времена Бомбелли абстрактной теории полей ещё не было, как и коммутативной алгебры в современном понимании. Но тем не менее.

Получается, геометрическая интерпретация всё ещё отражена у Бомбелли в терминах (“найти сторону”), но искомые “радикалы” вводятся уже через присоединение “внешнего” корня многочлена, через расширение поля, а не через “углы”, которые сейчас повсеместно связывают с комплексными числами, – например, в радиотехнике, но не только там. Именно алгебраическое определение комплексных чисел через расширение поля (присоединение корня полинома X^2 + 1) и является современным, – “операционным” и алгоритмическим, – вариантом. Угловые меры, как инструмент, конечно, в труде Бомбелли тоже есть, в том числе, при рассмотрении решений кубических уравнений. Но это не комплексные числа, а другой инструмент.

Фактически, “R.c.legate” это запись корня уравнения в кубических радикалах, с присоединением иррациональностей. Но всё же, получается, что речь тут идёт о специальном “радикале”, как способе записи, а не о теоретическом “числовом” объекте. Это следует ещё и из того, что темой соответствующего раздела является решение уравнений третьей степени (формула Кардано, в частности). В современных обозначениях – ∛(a + √d) – кубический корень из выражения, содержащего корень квадратный. Этот последний момент – важен для понимания дальнейшего текста.

Итак, имеем радикалы из выражений вида a + b√d, как способ записи, пригодный для специальных вычислений. Идём дальше – дословный перевод следующего фрагмента со скриншота труда Бомбелли: “эта вещь [радикал] встречается в главе, рассматривающей куб, равный многим ([т.е. кратности неизвестного]) и числу”. Вот этот странный текст про “куб, неизвестное и число”, это есть ни что иное как запись словами уравнения вида x^3 = px + q, если в современных обозначениях. (Далее будем называть здесь q не “числом”, а константой – так понятнее.)

Бомбелли здесь рассматривает куб неизвестного х, слева, и он приравнивается к значению, кратному этому х (p*x), плюс некоторое число (буквально – numero), константа “без неизвестного”, то есть плюс q. Именно такая форма уравнений рассматривается. Вообще, это не единственная используемая “нотация”. Тот же Бомбелли далее в “Алгебре” использует специальную нотацию с отдельным обозначением степеней неизвестной арабскими цифрами (но без формального обозначения самой неизвестной – как сейчас написали бы: x или t). Однако в обсуждаемом фрагменте – тип уравнения назван просто словами. Ни о каких операциях речи ещё не идёт, но тут же вводится важное ограничение, выделяющее интересующий Бомбелли подтип уравнений и приводящее, в итоге, к “мнимым” (или “софистским”) радикалам.

Далее сформулировано условие, что (p^3)/27 больше (q^2)/4, но опять словами, при этом (p^3)/27 = (1/3*p)^3, а (q^2)/4 = (1/2*q)^2. Дословно по тексту: “когда куб одной третьей от кратности [неизвестного] – больше, чем квадрат половины числа [константы]”. В исходном тексте: “quando il cubato del terzo delli tanti è maggiore del quadrato della meta del numero” – “cubato del terzo” – “куб одной третьей”, “è maggiore del quadrato” – “больше квадрата” и т.д. То есть, всё описано словами, и речь о конкретном случае значений коэффициентов. Разительно отличается от современного подхода к изложению материала. Почему (p^3)/27 > (q^2)/4? Об этом сказано буквально через несколько слов.

Пропускаем слова о том, что примеры с таким уравнением Бомбелли разбирает в отдельной главе, читаем дальше и пытаемся разобраться: “соответствующий тип квадратного корня в своём вычислении (Algorismo) требует операций, отличных от всех других, и другого названия” (“la qual sorte di R.q. hà nel suo Algorismo diversa operatione dall’altre, e diverso nome”). Здесь R.q., от Radice Quadrata, – это уже квадратный корень, но терминологическая логика остаётся той же. Почему же речь теперь про квадратный корень, если сначала упомянуты кубические? Потому что здесь написано про “подрадикальный” корень, соответствующий вычислению корня кубического. Собственно, когда вы решаете кубическое уравнение в радикалах, то в процессе решения обязательно возникает квадратное уравнение и квадратные корни. В формуле Кардано они и составляют смысл всей затеи. О чём и пишет Бомбелли далее: “когда куб одной третьей кратности больше квадрата половины константы, тогда нельзя назвать [его] ни больше, ни меньше“. То есть, тут речь про значение “ни с плюсом, ни с минусом”. Необходимо учитывать, что отрицательные числа пока что не используются как класс, привычный сегодня: например, довольно сложно определить, что такое сторона квадрата, имеющая “отрицательную величину”. Поэтому “ни больше, ни меньше” – “ne più, ne meno”, – как операции увеличения и уменьшения чего-то: a + b, a − b.

Формула Кардано имеет вид (a + √b)^(1/3) + (a − √b)^(1/3), то есть, это сумма двух кубических корней, соответствующих R.c.legate Бомбелли, а “ни больше, ни меньше” относится к части √b. Ведь в формуле Кардано b = (q^2)/4 − (p^3)/27, соответственно, если (p^3)/27 больше (q^2)/4, то и получаем отрицательное значение под квадратным корнем. Это и есть та величина, про которую ни сказать, что “она больше”, ни сказать, что “она меньше”.

Дальше: “но [эти элементы] называю “плюс минуса”, там, где их нужно складывать ([увеличивать]), а где их нужно отнимать ([уменьшать]), называю “минус минуса”, и эта операция необходимейшая…” (“però lo chiamerò più di meno, quando egli si doverà aggiongere, e quando si doverà cavare, lo chiamerò men di meno, e questa operatione è necessarissima…”). То есть, в том случае, когда под радикалом отрицательное число, Бомбелли такое сочетание не считает возможным называть, ни “большим”, ни “меньшим” – читай: ни положительным, ни отрицательным, – но называет “плюсом минуса” и “минусом минуса”. Для прототипа i тут вводится специальное, двойное операционное обозначение. Те же “плюс минуса”/”минус минуса” можно перевести и как “больше минуса”/”меньше минуса”. Что это могло бы обозначать? А это больше всего похоже на описание способа выноса мнимой единицы из-под радикала. Например, перепишем (2 − √(-3)) как (2 − i*√3).

Что касается исключительной важности новой операции, которая объявлена “необходимейшей”, то речь тут об уравнениях четвёртой степени (potenza di potenza) разной формы, где подобные радикалы возникают “гораздо чаще, чем другие”.

Далее Бомбелли пишет, что “[подобные радикалы] многим покажутся скорее “софистскими”, чем “настоящими”; такого мнения и я сам придерживался тоже, пока не нашёл для него [радикала] демонстрации геометрической” (“la quale parerà à molti più tosto sofistica, che rale, e tale opinione hò tenuto anch’io, fin’ che hò trovato la sua dimostratione in linee”).

Как ни странно, но геометрическая демонстрация (на плоскости, да), которую Бомбелли приводит отдельно (а я здесь пропускаю), это вовсе не современная геометрическая интерпретация комплексных чисел – с поворотом, углами, мнимой и действительной осями.

Промежуточный итог: Бомбелли рассматривает некоторые “новые радикалы”, отдельный тип квадратного корня, со своим названием и свойствами, как составную часть операции отыскания кубических корней. То есть, в качестве вспомогательного элемента, чтобы операция работала, используется новый объект, который очень похож на мнимую единицу (см. “плюс-минусы” выше), но вовсе не на квадратный корень из минус единицы, как на число вообще и на “рациональное” число в особенности. Далее Бомбелли перечисляет правила умножения “знаков” для нового элемента: “и вначале разберу умножение, определив закон для плюса и минуса” (“e prima trattarò del Moltiplicare, ponendo la regola del più & meno”). На скриншоте ниже – эти определения.

Если новый “минус” заменить на обозначение i, то получится, что здесь написано следующее (пример из: F. La Nave and B. Mazur, Reading Bombelli, 2001):

1. (+)*(+i) = +i
2. (−)*(+i) = −i
3. (+)*(−i) = −i
4. (−)*(−i) = +i
5. (+i)*(+i) = −
6. (+i)*(−i) = +
7. (−i)*(+i) = +
8. (−i)*(−i) = −

Если представить, что “чистый” минус и “чистый” плюс – это подразумеваемые плюс/минус единицы по умножению (как в современной нотации), то получится, что в пятой строке записано (i*i) = i^2 = -1. А это корректное определение мнимой единицы. Может показаться, что обобщив определение квадратного корня в “Алгебре” Бомбелли получаем √(-1) = i, поскольку i*i = -1, но это не так, поскольку Бомбелли не вводит i как “число” или как измерение “стороны”. Это i – приписано сейчас, это некий анахронизм, а в исходном тексте (см. скриншот выше), фигурируют лишь операционные обозначения “плюс минуса” и “минус минуса”. И тем более выделение концепции мнимой единицы оказывается в некотором противоречии с тем, что данные специальные радикалы (R.C.Legata) вводятся непосредственно для выражений вида (a + √d), применительно к кубическим уравнениям. А в современном варианте извлечение кубических корней из комплексных чисел требует формулы Муавра и тригонометрического представления.

Бомбелли находит решение в радикалах для уравнения x^3 = 15*x + 4. Это, пожалуй, второй самый цитируемый фрагмент “Алгебры”. Во времена Бомбелли было известно, что кубическое уравнение всегда имеет один (действительный) корень, а особый интерес представляли только положительные корни. С одной стороны, положительный корень x^3 = 15*x + 4 нетрудно угадать: x = 4. С другой стороны, (4^2)/4 = 4, (15^3)/27 = 125, и формула Кардано даёт для этого уравнения следующее выражение: ∛(2 + √-121) + ∛(2 − √-121). Это как-то не очень похоже на 4.

Вообще, можно найти и некоторые другие озадачивающие варианты значений внутри формулы Кардано для уравнений с очевидным целым корнем, без “отрицательных радикалов”, особенно, если вам знакомо уравнение Пелля, но это тема для другой записки. Что же касается √-121, то это всё равно выглядит сложно. Даже сейчас, для современного взгляда. Потому что, вообще говоря, и значений кубического корня получается несколько, и для случая трёх действительных корней формула Кардано, мягко говоря, несколько бесполезна.

Однако Бомбелли, иллюстрируя свой новый метод, показывает, что (2 + i)^3 = (2 + √-121), если только следовать описанным выше правилам. И действительно, (2 + i)*(2 + i) = (3 + 4i), (3 + 4i)*(2 + i) = (2 + 11i) = (2 + √-121). Соответственно, (2 − i)^3 = (2 − √-121), так сказать, из соображений симметрии (это отмечено у Бомбелли, как ни странно). Поэтому ∛(2 + √-121) + ∛(2 − √-121) = (2 + i) + (2 − i) = 4. Вот только в данном конкретном случае значения нетрудно подобрать под известный ответ. А в других случаях – без рационального аналога тригонометрии с кубическими корнями будет трудновато.

Ещё немного историй про монеты, которые имеют большое значение как некоторый “фокальный объект”. Если посмотреть на почти современные греческие монеты (конец прошлого века), то нетрудно заметить интересную особенность – она хорошо видна на иллюстрации ниже.

На этой иллюстрации – аверсы двух монет в 10 греческих драхм. Однако на левой монете, датированной 1988 годом, написано ΔΡΑΧΜΕΣ, а на правой, которая из 1976 года, ΔΡΑΧΜΑΙ. И то, и другое слово – это множественное число для драхм. Отличие лишь в двух последних буквах: эпсилон-сигма сменяют альфа-йоту. Почему? Может, это опечатка, и тогда одна из монет представляет собой редкость?

Нет. Это не опечатка. Это физическое воплощение весьма мощного для новогреческого языка социального явления, которое известно как греческая диглоссия или “языковой вопрос”. Дело в том, что в современной Греции почти пару сотен лет, – с восемнадцатого века и до середины двадцатого, – шла активная борьба за сохранение “книжного языка” (καθαρεύουσα, “кафаревуса”) в качестве языка официального, в противовес разговорному языку греческого народа (δημοτική γλώσσα, “народный язык”, или просто “димотика”). То есть, в противовес тому языку, которому, с начала двадцатого века, обучали в начальной школе (например).

Под “официальным языком” тут имеется в виду язык, на котором составлялись важные документы и которым могли пользоваться чиновники в государственных учреждениях. Последний момент, кстати, приводил к тому, что даже не все грамотные и образованные греки могли понять, что именно пишут – или, реже, говорят – в том или ином учреждении на “книжном языке”, на “кафаревусе”, который был ближе к древнегреческому.

Результатом этого процесса стал окончательный переход к димотике, и в качестве “официального языка” тоже. Это произошло в 1976 году (дата на монете справа).

Так что разная запись, – с сигмой или с йотой, – это отражение перехода на димотику, в которой пишут ΔΡΑΧΜΕΣ. Поэтому и на монетах стали чеканить форму с эпсилон-сигмой. Но чеканить такие монеты начали позже 1976 года, а именно – с 1982.

А схематическое изображение атома на аверсе этих монет присутствует тоже не просто так: монеты посвящены Демокриту – его портрет отчеканен на реверсе.

Здесь парсер читает или слушает текст на естественном языке, причём таким парсером может выступать базовый элемент сознания человека. В качестве целевого языка заметки используется английский, метаязыком выступает русский, а все возникающие сложности – объясняются.

Итак, представьте, что лексический парсер, обрабатывающий предложения, столкнулся со следующей конструкцией на английском языке:

The chap the cat the girl owned scratched screamed.

Что происходит? The chap – какой-то “пацан” (далее – “парень”). Но что с ним? Не понятно. Тем не менее, это грамматически корректная фраза на современном английском. У неё конкретное значение, но вытащить это значение в “область осознания” не так уж просто. Проблема именно у парсера, какова бы ни была его природа. Парсер читает слова слева направо и видит какую-то странную череду артиклей и существительных. В начале предложения очередное слово открывает новую ветку разбора, но только что открытая ветка – подвисает. Как показывает практика, закрыть ветку получается не сразу.

Это пример так называемого “центрального встраивания”, “центрального эмбеддинга” (а ещё точнее: center embedding – на английском). Лингвистическое явление, важность которого для парсинга языковых грамматик, – в том числе, и прежде всего, людьми, – определил Хомский.

Вернёмся к фразе ещё раз:

The chap the cat the girl owned scratched screamed.

Можно использовать фигурные скобки и переписать предложение так, что получится “код” на некотором условном языке “программирования”. Условном, но зато очень высокого уровня.

The chap {
	the cat {
		the girl {} owned 
	} scratched 
} screamed.

И это уже можно разобрать. Пошагово выписываем то, что за внутренними скобками:

The chap – screamed,
the cat – scratched,
the girl – owned (тут специально поставлены пустые скобки, чтобы наметить рекурсивный принцип, лежащий в основе встраивания).

Если, как говорится, своими словами, то пересказать можно так: “Парень вскричал, потому что его поцарапала кошка, принадлежавшая девушке” (или кот? nyet, “кот” – был бы tom). Owned (“была владеема”, если дословно) – относится к кошке, со стороны девушки. Если переставить слова, то получим: the girl owned the cat – “девушка владела котом/кошкой”. Казалось бы – эквивалентная конструкция. Но нет, не совсем, потому что парсинг разных записей будет разным. То есть, смысл, стоящий за {the cat the girl owned} и {the girl owned the cat}, может быть и одинаковый, но к этому смыслу ещё нужно привести текст, записанный разным способом. Это напоминает понимание логических формул, как “записей”, которое понимание даётся с трудом. Кроме того, наблюдаемый эффект очередной раз подчёркивает то, что в самом тексте смысла нет.

Итак, возвращаемся к разбору исходного упражнения: the girl owned the cat – “девушка владела кошкой”. И эта кошка поцарапала парня. Поцарапанный принадлежащей девушке кошкой парень – вскричал: screamed.

Эмбеддинг позволяет вложить отношения одно в другое, “подвесив” каждую половину пары в ожидании глагола, а все три смысловых пары – в ожидании возникновения структуры вложенности. Посудите сами: the chap – подвешивает “объект парень” (что “the chap” сделал, что – не сделал; что с ним произошло?), для разрешения нужен ответный элемент лексической конструкции, в данном случае – глагол screamed, но он стоит в самом конце, а вместо него парсер читает the cat. Тут парсер должен запомнить, что не хватает соединения для предыдущего “объекта” и продолжить разбирать фразу. Но третим пунктом опять идёт “подвешивание”: the girl. И только потом – начинаются “замыкающие” глаголы, которые нужно правильно подключить.

Реально ли такой же эффект получить на русском? Можно попробовать, но результат всегда будет лишь приблизительный, да и то, только если без запятых. Причина в том, что русский – не столь аналитический, как английский. Например:

“Парень кошкой девушке принадлежащей поцарапанный вскричал”.

Но тут уже видны разные падежи, и сразу становится “понятно”, что “парень кошкой” (какой?) и т.д. Здесь уже подключения выполнены морфологией, парсер не должен ничего подвешивать. Это совсем другая схема, не такая, как в английском: синтез, доступный русскому языку, нивелирует перегружающий парсер эффект.

Так что исходная сложность – это особенность именно английского (не только этого языка, конечно, но здесь используем английский). Понять русский вариант можно. Ну как – понять: посмотрите на этот вариант без запятых ещё раз – может, парень тут вскричал кошкой? замяукал, предположим. Но нет, стоит внимательно прицепить слова одно к другому, как выясняется, что кошкой парень не вскричал, а был поцарапан (да, “Василий шёл за окном, как и дождь”).

Потому что если парень кошкой вскричал, то “поцарапанный” повисает полностью, уже ни на что не опираясь. А если всё же приклеить “поцарапанный” к парню, – ну, кошкой вскричал он, поцарапанный, – то что делать с “принадлежащей”?

Пример прекрасно показывает, как в русском роли словам назначает морфологическое их превращение. Совсем не как в английском, где роли определяются взаимным расположением слов (но вовсе и не “порядком слов в предложении”, как нередко приходится слышать).

Другой вариант на русском:

“Парень, кошка, – девушка владела, – поцарапала, вскричал”.

В каком-то смысле, этот вариант лучше. Естественно, на русском тут необходимы запятые, да ещё и тире, иначе предложение записано неверно. Кстати, если вам говорят, что “в английском запятые не нужны”, то это не так – ещё как нужны, но не в рассматриваемом предельном случае. Впрочем, теперь и этот русский вариант понять можно без запятых:

“Парень кошка девушка владела поцарапала вскричал”.

Ну, хотя бы примерно. При этом, в отличие от английского варианта, здесь сразу есть небольшая согласующая структура, построенная на морфологии слов: “поцарапала” – либо “кошка”, либо “девушка”, а “вскричал” – только “парень”. Совсем не так, как в английском варианте. Приведённый пример – это эмбеддинг третьего уровня. Но уровни можно наслаивать и дальше, по такой же схеме.

Более того, если использовать множественное число, то можно отказаться от артиклей the (для единственного – отказаться никак нельзя: получится сильно “неграмматический” вариант). Например, в подборке головоломок Quanta Magazine предлагалось раскодировать следующую, чисто рекурсивную, фразу:

Bulldogs bulldogs bulldogs fight fight fight.

Опять же, это грамматически корректное предложение на английском. Но понять, кто тут кого “борет” – непросто. (Весьма вольный перевод, в котором все “бульдоги” – это бульдоги из разных стай: «бульдоги, которые дерутся с дерущимися бульдогами, тоже нарвались на бульдогов, которые дерутся». Ну или что-то в этом роде: бульдоги – они такие.)

В разговорном языке подобные конструкции, – третьего уровня, – практически не встречаются. Тем не менее, вот более чем реальный пример «канцелярита» из документа под названием British road traffic act, 1972 (это что-то вроде дополнений к правилам дорожного движения, не важно) – вчитайтесь:

A person who, when riding a cycle, not being a motor vehicle, on a road or other public place, is unfit to ride through drink or drugs shall be guilty of an offence.

Всё понятно? Конечно. “Лицо, которое, когда едет на велосипеде, который не является транспортным средством, по дороге или по другому общедоступному пространству, не способно ехать из-за алкогольного или наркотического опьянения, должно быть признано совершившим правонарушение”. Всё верно, но – уф!

Другой пример, уже на “американском” языке, но тоже хороший – между прочим, это фраза из интервью футболиста (американского), но в 1985 году:

It’s ironic that I’m here, where the man the trophy I won is named after coached.
(Источник: Fred Karlsson, Multiple Center-embedding in Spoken English.)

Отличный стиль встраивания: тут дважды повторяется двухуровневый эмбеддинг! Подобную игру слов, пусть и без “местных идиоматических выражений”, не перевести точно на русский. Впрочем, вот вариант: “Есть некоторая ирония в том, что и я – здесь, где человек, в честь которого назван Приз, который я выиграл, был тренером”.

Получается, что в ходе непростого декодирования подобных конструкций парсер вынужден “подвешивать” существительные до момента их “разрешения”, например, глаголами. При этом двойное подвешивание вообще не составляет проблемы в английском: the ball the cat dropped bounced. Совсем сложные случаи почему-то начинаются с трёх подвешиваний.

Возможно, причина в том, что каждое подвешенное существительное потребляет некоторый важный ресурс парсера. Скорее всего, рассматривая примеры предложений выше, вы сами можете почувствовать это исчерпание ресурса, приводящее к “зависанию” “сознательного парсера”. То есть речь тут вовсе не про программу или LLM. Что это за ресурс? Возможно, специальная структурная лексическая память, а возможно, некий “модуль” “разрешения противоречий”. Предположим, данный модуль должен заранее занять некий объём доступных связей, чтобы потом собрать из них уже осмысленный, непротиворечивый вариант, присоединив понятия лексическими коннекторами одно к другому – так, как нужно. Однако, при разборе подобного эмбеддинга, вместо подключений смыслов происходит “тик, тик, тик” по уровням, и каждый “тик” – это подвешенный коннектор, который требует предварительного захвата кучи возможных связей для обеспечения своего “висения” против всего корпуса возможных смыслов.

Описанное переполнение в английском наступает раньше, и это переполнение – однонаправленное (слева направо). Вернёмся к исходному предложению: The chap the cat the girl owned scratched screamed – может, пацан-парень (the chap) тут – это тот, который принадлежит кошке и девушке (the cat the girl owned)? Мало ли – они могли его захватить. Но тогда не хватает союза (and?) и повисает царапанье (scratched).

Вспомогательные элементы, типа “который”, “где” и др. – они как бы есть в английском варианте, но там они “нулевые”, обозначены пустыми словами, и только если рассматривать текст во всей полноте, тут же возникают в построенной структуре. Это важный момент. И он, опять же, подтверждает, что в любом тексте, – как в тексте, – никакого смысла нет: смысл образуется в представлении читающего. Конечно же, можно добавить структурных элементов, типа who, what, that и пр., в английский текст. И получится знаменитый This Is the House That Jack Built:

This is the cat
That killed the rat that ate the malt
That lay in the house that Jack built.

Схема в чём-то похожая, но парсер уже не переполняющая.

(Это дополненная версия статьи, которую я ранее опубликовал на “Хабре”.)

В современном английском предложения “the bumblebee chased the ball” и “the ball chased the bumblebee” диаметрально переставляют преследующего и преследуемого только потому, что переставлены слова. Есть занятная гипотеза, почему так получилось. Если люди разговаривают на двух относительно близких языках, которые, тем не менее, имеют разные схемы словоизменения, разную морфологию, то получается, что при общении на языковой границе удобно просто отрезать от слов изменяемые элементы, оставляя только какой-то базовый вариант, фактически – корень. Ведь корни в этих языках часто одинаковые, поэтому и основное значение фразы из урезанных слов “без падежей” слушатель может понять.

“Я картошка взять. Ты деньга получь”. А вот если слова начинают изменяться по разным законам конкретного языка, да ещё и корни “перепрыгивают”, то понимать фразы становится сильно труднее: “я возьму картошку, ты получишь деньги”. Сложности добавляет и то, что при обычном говорении – речь слитная, а разделять слова слушающий может только по пограничным сочетаниям фонем (формант, если точнее): то есть, какие-то сочетания звуков не встречаются внутри слов, а только между словами – это одна из основ парсинга речи (звуковой). Но словоизменение как раз может проходить по границам слов (не всегда, не во всех языках, но довольно часто это так: “взял”, “возьмут”). Если же проговаривать лишь основную форму корня слова, да ещё и разделяя слова паузами, то эффект совсем другой.

Получается, что в результате такого пограничного перемешивания начинает “отваливаться” изменчивость отдельных слов, получается новый язык, в котором грамматическая роль задаётся относительным порядком слов и словосочетаний. Контактирующие языки обмениваются неизменяемыми частями слов, а развитое словообразование – заменяется на использование нескольких слов для уточнения значения (как “chase out the hippopotamus” – “выгони бегемота”). Естественно, один из языков будет больше подвержен влиянию другого.

И в английском сходный механизм сработал для древне-, среднеанглийского против древнескандинавских и старофранцузских диалектов. В последнем случае, со старофранцузским, потому, что схема работает и тогда, когда одна из сторон просто плохо владеет языком другой стороны. Такая вот “факторизация” языков по сумме схем словоизменения.

Опубликовал на “Хабре” небольшой текст про рекурсивное “центральное встраивание” (center embedding), которое доступно в английском языке, и его связь с восприятием языков и их грамматик. Речь про фразы вроде “The chap the cat the girl owned scratched screamed” – это как раз основной пример из статьи на “Хабре”. В разговорном языке, понятно, такое не встречается, но так-то у меня есть и вариант с вложенностью уровня пять (нетрудно строить по шаблону, конечно):

The ship the crocodile the chap the cat the girl owned scratched gnawed submerged resurfaced.

Годится для тестирования LLM/GPT.

The ship {
 the crocodile {
  the chap {
   the cat {
    the girl owned 
   } scratched
  } gnawed 
 } submerged 
} resurfaced.