dxdt.blog: занимательный интернет-журнал

Воскресное чтение манускриптов. Продолжаем читать “Арифметику” Диофанта в версии манускрипта 13 века Vat.gr.191 (Ватиканская Апостольская библиотека).

Чтение манускриптов – далеко не самая частая рубрика, однако данный манускрипт уже встречался на страницах dxdt раньше – рассматривались способы записи степеней, отрицательные и положительные числа, обозначение неизвестной. Сегодня я добрался до формулировки и решения первой задачи, как они даны на манускрипте.

Вообще, некоторые задачи из Диофанта довольно заумные, но к первой это наблюдение не относится – она очень простая. Однако уже на примере первой задачи можно заметить, насколько современная нотация отличается от имевшейся в 13 веке, и, видимо, раньше. Понятно, что по манускрипту 13 века можно судить только о нотации до 13 века: да, Диофант Александрийский – это, предположительно, третий век н.э., почти за тысячу лет до момента создания данного манускрипта, но если бы в 13 веке была какая-то продвинутая нотация, относительно записи в оригинальном труде Диофанта, то неясно, почему её не использовали.

Впрочем, ситуация ниже разобрана довольно подробно, поэтому мы увидим и более странные вещи: древнегреческий текст вообще так записан, как если бы сотрудник скриптория просто копировал звучание слов на слух (но, считается, формулировки именно так были представлены в тех материалах, которыми пользовался переписчик – в частности, это подтверждают исправления на манускриптах; так что, похоже, “на слух” кто-то переписал раньше).

Занятно, что такой подход каким-то образом совсем не мешает использовать при написании манускриптов самые разнообразные скорописные сокращения. Как я неоднократно отмечал, читать данные тексты очень сложно, нужно специально разбираться именно с палеографией: то есть, даже если вы знаете древнегреческий в подходящем варианте, но использовали современную, привычную “транскрипцию” алфавита, то всё равно прочитать подобный манускрипт “прямо с листа” – не выйдет: слишком многие буквы совсем не узнаются, отличий тут даже побольше, чем, например, между кириллическими “печатным буквами” и русским рукописным курсивом.

Казалось бы, если текст всё равно доступен только подготовленному специалисту, – тем более, в 13 веке, – почему же тогда не разработать и не использовать какую-то схему обозначения для “формул”, алгебраическую нотацию? Но нет, даже для обозначения неизвестной здесь использовано полноценное слово – “арифмос” (ἀριθμός – хотя можно было использовать знак, напоминающий s, он уже был у Диофанта).

Итак, общий вид фрагмента с первой задачей:

Здесь слева присутствует пара “маргинальных комментариев”, а точнее – редакторские правки. Нас интересует вторая, и мы ещё до неё доберёмся.

Как обычно, цель этой длинной записки – разобраться детально в том, что же происходит “в исходниках”, так как “Арифметика” Диофанта имеет очень большую важность для истории математики, важность сравнима даже с “Началами” Евклида. Соответственно, я постараюсь все детали объяснить. Поэтому дальше я сперва транслирую древнегреческий текст в современную типографику, чтобы проще прочитать, ставлю скриншот манускрипта с тем же текстом (если хотите – можете самостоятельно побуквенно сопоставить), а следом привожу перевод на русский, как я этот текст понимаю, и подробные объяснения, что там к чему, в свете, так сказать, исторического положения дел.

Формулировка задачи начинается следующими странными словами: τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἐν ὑπεροχῇ τῇ δοθείσῃ.

Перевод максимально близко к тексту: “Заданное значение разбить на два значения, с превышением данным”. Под “превышением” (ὑπεροχῇ) тут имеется в виду разность двух чисел. А “разбить” или “разделить” – обозначает, что нужно представить в виде суммы. То есть, в современных обозначениях, если данное число это A, а разность – N, будет так: A == X + (X + N). Здесь используется слово “арифмос”, иногда оно означает “число” просто, иногда – неизвестную (переменную) или “значение”, как “количество единиц”, особенно, в случае текстов Диофанта. Я будут почти везде использовать либо слово “значение”, либо слово “неизвестная”. Смысл тут в том, что “арифмос”, очень часто, соответствует привычному “иксу” (X).

Следующий фрагмент: ἔστω δὴ ὁ δοθεὶς ἀριθμὸς ὁ ρ̅, ἡ δὲ ὑπεροχὴ μονάδες τεσσαράκοντα. εὑρεῖν τοὺς ἀριθμούς.

Перевод: “Пусть же данно значение 100 (ρ̅ в греческих обозначениях чисел), да превышение – сорок единиц. Найти эти значения”. Здесь выбирается конкретный пример “в числах” для задачи. “Сорок” – записано словом (τεσσαράκοντα), как количество единиц. Эти “единицы” – это то, что называется “монады”. Вообще, для “монад” у Диофанта есть специальное обозначение – Μ “с блобом”, который, на самом деле, буква омикрон Ο: M̊. Но данный манускрипт здесь почти всегда использует запись словом – μονάς/μονάδες.

Тут начались числа, поэтому сразу нужна “шрифтовая” оговорка – обратите внимание на букву ρ (“ро”): это не совсем буква, это обозначение числа 100; древнегреческий способ записи чисел буквами требует указания горизонтальной черты над буквой (overline), но шрифты и Unicode не всегда с этим справляются. Тем не менее, чтобы не переходить на LaTeX, который рендерится в картинки, я тут и далее попробую указывать соответствующий unicode-символ: U+0305, вот так: ρ̅ – надеюсь, отображается нормально. А если нет, не нормально, то буква, скорее всего, будет отображена рядом с чертой: так что те буквы, для которых “черта рядом” – это числа.

Итак, в этом предложении записано, что пусть A == 100, а N == 40, надо найти X в X + (X + 40) == 100. Конкретные условия задачи.

Следущий фрагмент довольно сложный: τετάχθω ὁ ἐλάσσων ἀριθμοῦ ἑνὸς· [μονάδ(ων) ̄μ] ὁ ἄρα μείζων ἔσται ἀριθμοῦ α̅ μονάδων μ̅ .

Обратите внимание, что тут зачёркнута часть предложения. Мы добрались до важной правки. Часть предложения зачёркнута и на манускрипте (см. скриншот). К зачёркнутому – поставлена ссылка (знак, похожий на полумесяц), которая ведёт на редакторский комментарий – он записан слева. Это исправление пропущенного переписчиком фрагмента, но выполненное постфактум. То есть, тут в конце строки основного текста (справа на скриншоте) было записано окончание следующего фрагмента, который тоже на μ заканчивается: переписчик поторопился и перепрыгнул, пропустил кусок; такое случается довольно часто. Получилось, что пропущено несколько слов, но зато записано “сорок монад”, а это относится к другой части текста; недостающие слова как раз добавлены в редакторской правке, а исходная ошибка – вычеркнута. В других манускриптах этот фаргмент присутствует прямо в основном тексте. Я так же добавил текст правки в основную строку (см. выше).

Дословный перевод, с учётом правки: “Задали меньшее значение “единично”, тогда большее есть (это же) число “единожды” [плюс] сорок единиц”. Обратите внимание, что я тут развернул “монады” в слово, но исходный текст правки – на поле слева – содержит M̊. Итак, тут сказано: положим, что меньшее число есть X, тогда большее будет X + 40. Но вот только вместо “икса” используется “значение” (“арифмос”), взятое один раз – буквально: ἀριθμοῦ ἑνὸς – “арифмос” “единожды”. А прибавление 40 единиц – записано просто, “сорок единиц”, и “плюс” ничем не обозначен.

Что могло бы означать “значение, взятое единожды”? Оно означает, что это X*1 (справа!). То есть, хоть и справа, но это просто коэффициент при X – единица. В принципе, в исходной нотации могло бы быть записано как s и “альфа” – коэффициент единица при “неизвестной”. Буквально в том же предложении, но ближе к концу, используется почти что такое обозначение: α̅ – альфа с чертой, число обозначено буквой, а не записано словом: “1” против “единица”. Однако в основном тексте в этом манускрипте подобные обороты нередко записаны словами.

Это всё очень похоже на то, как, взяв выражение в современной нотации “1*x + 40”, записать это же выражение, но “со слов”: “один икс и сорок единиц”. Причём союз “и” тут пропускается (было бы καί): “один икс сорок единиц”. Почему так происходило в скриптории? Не очень понятно. Может быть, кто-то когда-то действительно продиктовал предложение в математической нотации, а сотрудники скриптория записали буквально словами.

(Продолжение следует.)

Недавно я публиковал фото бермудской треугольной монеты, и не просто треугольной, а в виде треугольника Рёло. В этот раз – ещё некоторое количество монет, отчеканенных либо в форме фигуры с постоянной шириной, либо в очень близкой к такой фигуре форме. Посмотрим на монеты, следуя по возрастанию количества углов.

Постоянная ширина для монеты полезна, кроме прочего, потому, что позволяет её хорошо катиться – это необходимо при автоматической обработке и отдельных монет, и даже их потоков. Понятно, что для круглой монеты с качением проблем нет, а вот многоугольная форма – может такие проблемы создавать. Например, у современной монеты в один фунт Великобритании специально были скруглены углы, чтобы приблизить форму к постоянной ширине и облегчить качение: эта монета имеет 12 углов, чётное число, поэтому не может быть “чистой” фигурой постоянной ширины. Но вот приближаться границей к окружности – может: тут как раз относительно большое число сторон только помогает (см. ниже фото чешской монеты).

Итак, форма постоянной ширины должна иметь нечётное количество углов, но вообще – углов может быть самое разное количество (главное – нечётное). Три – первое подходящее число, и треугольные монеты постоянной ширины относительно редкие. На страницах dxdt.blog треугольник в роли бермудского доллара уже был (см. записку по ссылке выше), но скопирую сюда одну из фотографий.

(Фото: бермудский треугольник Рёло, аверс.)

Следующее количество углов – пять. К сожалению, пятиугольную монету я пока не нашёл никакую, чтобы сфотографировать. Примем, что такие монеты тоже редкие, поэтому пока что пропускаем число пять.

Следующий пункт – семь углов. Семиугольных монет, – в том числе, с постоянной шириной, – есть немало разновидностей, некоторые очень известные, например, 20 пенсов Великобритании. Какие-то семиугольные монеты есть и у меня. Начнём с половины динара Иордании. Качество фотографий будет похуже, но, думаю, достаточное для того, чтобы составить представление. (Линейка – в миллиметрах.)

(Фото: половина динара, аверс.)

Монета в половину динара Иордании, 1996 год. Семь углов. Постоянная (почти) ширина. На аверсе – король Хуссейн. Отчеканена Королевским монетным двором Великобритании. Возможно, поэтому напоминает 20- и 50-пенсовые монеты. Реверс этой монеты – на следующем фото.

(Фото: половина динара, реверс.)

Семиугольных монет много. Поэтому ещё несколько фото семиугольников. На следующем фото: опять иорданские динары – монеты в половину и четверть динара.

(Фото: половина и четверть динара Иордании, реверсы, 1996 и 1997 гг.)

На следующем фото: монета пять шиллингов Уганды (слева) и монета 50 филсов ОАЭ. Аверсы.

(Фото: 5 шиллингов Уганды и 50 филсов ОАЭ. Аверсы.)

Угандийская монета отчеканена в Канаде, а монета Объединённых Арабских Эмиратов – в Великобритании. Это, опять же, семиугольники постоянной ширины.

Реверсы этих же монет – следующее фото.

(Фото: 5 шиллингов Уганды и 50 филсов ОАЭ. Реверсы.)

Чуть более классический вариант – монета 20 пенсов Великобритании и монета 20 пенсов острова Мэн (справа).

(Фото: двадцатипенсовые монеты. Аверсы.)

Реверсы тех же монет – ниже.

На реверсе 20-пенсовика 1982 года слева – Роза Тюдоров. Это классический вариант реверса монет этого достоинства. Собственно, именно в таком варианте данная монета и появилась в 1982 году.

Реверс 20-пенсовика справа – содержит изображение сельскохозяйственной техники, – зерноуборочного комбайна, – и надпись ellan vannin над комбайном. “ellan vannin” – это название острова Мэн на мэнском языке (Manx). Точнее – самоназвание.

Обе эти монеты, понятно, отчеканены Королевским монетным двором Великобритании.

За числом семь у нас следует число девять. Но монет на девять углов тоже не нашлось. Поэтому придётся пропустить. Зато нашёлся канадский доллар, у которого 11 углов и занимательная птица. Число 11 – это следующее после 9 возможное количество сторон. Ну, в нашем нечётном случае.

(Фото: доллар Канады. Аверс.)

Королева Елизавета II на аверсе. И птица – на реверсе.

(Фото: доллар Канады. Реверс с гагарой.)

Эта птица – гагара чёрноклювая (Gavia immer). Из-за гагары эта монета известна в англоязычной среде как Loonie (не потому, что “умалишённый”, который loony, а от названия птицы: common loon). Гагара появилась на реверсе долларовой монеты как результат занятной истории с курьерами: сначала на монете планировали изобразить индейскую лодку-каноэ, но заготовленные штемпели с лодкой в 1986 году потеряли на пути из Оттавы в Виннипег, где находится монетный двор. Пришлось достаточно оперативно искать замену, и заменой стал рисунок гагары, плывущей, вместо лодки, по водной глади. Ну, как минимум, таково официальное объяснение.

Следующее нечётное число, больше одиннадцати, это тринадцать. Тринадцать углов в правильном многоугольнике, составляющем монету небольшого диаметра, это уже достаточно, чтобы монета стала почти что неотличима от круглой. Из “монетарных” 13-угольников мне, тем не менее, удалось найти чешскую монету 20 крон 2015 года – она на фото ниже.

(Фото: 20 крон Чехии. Реверс.)

На реверсе этой монеты изображён памятник святому Вацлаву (Svatý Václav).

(Фото: 20 крон Чехии. Аверс.)

Фотография аверса монеты с чешским геральдическим львом завершает данный обзор: монет с большим количеством углов не нашлось. Естественно, можно считать, что все прочие круглые монеты – они “не совсем круглые”, а просто у них “очень много углов”. Но это уже рассуждение из другой области, ближе к неформальному названию канадской долларовой монеты, потому что так можно договориться и до фракталов. Тем не менее, фотографией совсем свежего канадского доллара, без гагары, тоже поделюсь.

Это 2026 год, памятная монета, отчеканенная к какому-то важному футбольному чемпионату.

Обсуждали тут, что, мол, для LLM, одинаковые буквы – оказываются разными, потому что это, например, “английская A” и “русская А”. Речь (звуковая) первична, а текстовая запись речи вторична, пусть именно возможность такой записи и создаёт цивилизацию. Так что в фонетическом письме важны звуки, а звуков LLM в тексте, понятно, не наблюдают. Но не нужно делать поспешный вывод о том, что использование омоглифических свойств компьютерного кодирования текста позволяет прямо и легко “дезинформировать” современные LLM, легко разбить тексты по тематикам, сохранив “одинаковость” чтения человеком. Понятно, что для человека, который именно что читает, а не обрабатывает байты с битами кодировок Unicode, нет разницы между “Apple” и “Аpple”. Но и для современных LLM-систем, для которых разница есть, это всё равно так не работает – они уже слишком сложны.

Пример. На скриншоте (ChatGPT-5.5, здесь и далее – режим Thinking/High) обработка фразы, записанной на английском языке, но с использованием большого количества омоглифов – кириллических букв (“а”, “е”, “о”, “р”).

(Перевод исходного запроса: “Ты точно способно прочитать этот текст. Если это так, прочитай и отметь каждую потенциальную оговорку, которую ты можешь обнаружить”.)

Никаких проблем у ChatGPT такое задание не вызвало, а все отличия – оно прекрасно видит и даже сводит в таблицу с подробнейшей детализацией. То есть, прямая “подмена” – точно не сработает эффективно и так, как можно было бы подумать: навязанное расщепление текстов, записанных графически одинаково, на разные “страты”, определяемые кодированием омоглифов. Но, конечно, контекст обработки такого предложения, насыщенного омоглифами, точно будет другим. Кроме того, не следует забывать, что это выдача LLM, а не обучающая выборка (хотя, результат используется и при “обучении” тоже).

Не нужно забывать и тот момент, что это всё компьютерная программа, и ведь “пишет” LLM тоже вовсе не буквами, а некими токенами. В буквы токены превращаются на экране компьютера. Доподлинно записать что-то буквами – это, например, ручкой на бумаге написать слово “чепуха”. И если слово это так записать, то ничто уже не будет указывать на отношение отдельной буквы “а” к латинскому или к русскому языку. Не бывает “английской A”. “A”, как символ, везде одна и та же. Принадлежность к тому или иному языку, равно как и возможность ошибочного трактования, начинаются тогда, когда запись перенесена в больший контекст. Некоторое представление об этом эффекте можно составить, задумавшись о том, что слово “арбуз” не является арбузом, но слово “слово” является словом.

Компьютерное кодирование, приводящее к описанным выше эффектам, приводящее к тому, что “Apple” и “Аpple” становятся разными словами, оно не про начертание. Ни в самом Unicode, ни в ASCII – начертаний нет. Начертания складываются вокруг. Однако при интерпретации букв человеком можно вообще прочитать целое слово не на том языке, который задумывался, лишь бы уже возникшие начертания оказались подходящими. Отличный пример – слово “реникса”. Цитата из недавней записки про рениксу на dxdt.blog:

Cлово “реникса” – это из пьесы Чехова, где оно возникает в анекдоте про неверное прочтение слова “чепуха”, записанного курсивом. И действительно: кириллическая строчная “ч”, рукописным курсивом, выглядит как курсивная же латинская “r”. Unicode, к сожалению, воспроизвести не позволяет. Хоть соответствующий символ там и имеется – Mathematical Script Small R, – но вот в шрифтах он, обычно, выглядит как “правая” “рукописная” r: 𝓇.

Действительно, если спросить у современной мощной LLM, отличаются ли слова “Apple” и “Аpple”, то она скажет, что отличаются. Но только потому, что использованы разные коды для обозначения буквы “A”. Коды не делают слово разным. Слово не поменялось, а роли букв не возникают из свойств Unicode. Если, конечно, это всё не происходит внутри LLM. Так, ChatGPT считает, что слова отличаются, потому что в записи использованы “латинская буква A” и “кириллическая буква А”. Но так не бывает. Да, коды у букв разные, однако это, буквально, одна и та же буква, во всех смыслах.

Примерно так же можно было бы говорить, что отличаются слова “Яблоко” и “Яблоко” (если, во втором случае, все буквы “о” даны другим шрифтом). Есть отличие в записи слова, но нет отличия в самом слове. Всё потому, что в компьютерах нет букв, как графем, а есть специальное представление, позволяющее отдельно буквы нарисовать. Способ записи, не привязанный к графике букв.

Естественно, тут всё не так просто, если говорить про мощные LLM-системы. Различные транслитерации, заимствования слов, сохраняющие фонетику, всякие способы “фонетической транскрипции”, сжатые в коэффициенты LLM из корпуса текстов, приводят к тому, что ведущие системы, как бы, даже “понимают” звучание. Ну, можно так подумать. То есть, они на практике могут верно считывать передачу слов других языков при помощи совсем уж неожиданных алфавитов. Есть относительно несложные способы, которые позволяют эффективно продемонстрировать данный эффект.

Вот вам пример: как и в некоторые прошлые разы, я взял и задал ChatGPT современной версии (ChatGPT-5.5) запрос на английском языке, записанный в транслитерации буквами иврита (по современным правилам, – ну, плюс/минус, – и без огласовок), при этом сам запрос – о переводе итальянской фразы на русский. То есть, тут три языка (английский, итальянский, русский) и один способ фонетической записи от совсем другого языка (или от нескольких языков, если быть точным). Выбран алфавит – не характерный ни для одного из языков запроса. Сам состав набора обусловлен лишь тем, что эти элементы я могу как-то понять, чтобы проконтролировать результат, а так – можно использовать практически произвольный набор, потому что “фонетика транслитерации” работает в обе стороны (но для совсем редких алфавитов/языков – нужно ещё проверить отдельно, конечно).

Что ж, ChatGPT вполне себе справляется – см. скриншот (в итальянской фразе не требуется знак вопроса, но это неважные детали).

(На всякий случай, ключ к тексту со скриншота русским алфавитом: записано, примерно, следующее – “плиз детект лангвидж анд транслейт инто рушин: дими, дове ил но(у)во джорнале” – “пожалуйста, определи язык и переведи на русский:” (англ.) “скажи, где новая газета” (итал.).)

Я переписывал исходную фразу разными способами, в том числе, не типовыми, используя различные буквы иврита для передачи звуков “английского”, но ChatGPT всё равно разгадывает. Надо заметить, что система справляется и с аналогичным текстом, представленным в виде изображения. Язык ответа, кстати, выбирается по общему контексту: если использовать простой аккаунт без истории, то ответ будет на иврите, как ни странно, но всё равно полностью верный и по теме, в том числе, с переводом итальянской фразы и на русский, и на иврит.

Транслитерация, для компьютера, сложнее омоглифов, которые тут по определению различаются кодами. Так что замена/подмена отдельных омоглифов и полных алфавитов, очевидно, не работает наивным способом. Если бы работала, то LLM не смогла бы правильно интерпретировать англоязычный запрос из примера выше, однако у ведущих современных LLM-систем практически нет проблем с решением подобных задач. Поскольку это в чистом виде обратная задача к попыткам манипуляций при помощи омоглифов, то неверно будет полагать, что простая замена “e” на “е” даст банальный эффект и система перестанет считать слова “словами”. Нет, не даст: буквы исходных текстов имеют в базе LLM “фонетический” след, а наличие этого следа гарантирует, что наследуется и структура более высокого уровня (та самая, благодаря которой слово “слово” является словом, а “арбуз” не является арбузом).

Что уж там – эти же LLM-системы нынче с лёгкостью разгадывают текст, “засекреченный” при помощи “шифра Цезаря” (было бы лишь там достаточно символов). Конечно, выглядит это так, как если бы LLM “читали” “фонетически”, но звука тут точно нет, а одинаковые по записи омоглифами слова при “обучении” системы отражаются в разные наборы токенов. Но именно поэтому и возможна вся эта автоматическая обработка транслитерации.

Всё из-за кодирования, и букв, которые не буквы для компьютера.

Что такое “буква”? Определить “буквы” довольно сложно. Пусть “буква” – это некий графический символ, графема, входящий в фиксированный список графем (рекурсивное определение). Такому символу может соответствовать звук фонетической записи слова языка. А может и не соответствовать. Очень хорошим подспорьем введению строгих определений тут является роль букв, как графики, в создании различительной способности при чтении записанных графически текстов. Примеры из английского: shake и stake, shake и snake. Здесь в shake буква h, самостоятельно, как бы, не имеет звука, однако является неотъемлемой частью записи фонемы sh. При этом, в snake/stake – замена h на разные буквы позволяет различить слова, а если туда подставить h, то оба слова превратятся в одно. Так что буква даже может быть “немой”, но всё равно остаётся важным различительным символом, который должен быть записан. Другой пример, русский: “полью” и “полю” – удалили букву “ь”, получили другое слово языка.

Всё это и требует разведения принципов компьютерного кодирования по логически разным блокам, даже если буква одна и та же. Более того, можно было бы использовать при записи русских слов букву p (“пи”) из ASCII, пусть буква и стала бы обозначать другой звук. Это, казалось бы, позволяет экономить один байт минимум. Так даже делалось когда-то очень давно. Проблемы начнутся сразу же, как только окажется, что слова “cop” и “сор” – это разные слова, а не то что “Apple” и “Аpple”. То есть, трудности вылезают из структуры более высокого порядка: не буквы разные, но слова. Отголоски этих проблем всё ещё слышны при сравнении текстовых строк в СУБД, например.

Занятно, что тут не работает нормализация Unicode: буквы “a” и “а” – не являются подходящими для нормализации символами, потому что это просто разные коды, а не разные способы представления одного символа комбинированием кодов (тут одна буква, она не “наборная”, но коды букв – различаются – подробности читайте в записке по ссылке).

Так что история с расщеплением токенизации через разное кодирование омоглифов – сильно сложнее, чем может показаться на первый взгляд.

Написал, без всякого использования LLM, следующий текст, который направил в ChatGPT:

Определи, правда ли, что текст, большой фрагмент которого приведён ниже, не написан человеком, а сгенерирован при помощи LLM (БЯМ – Большой Языковой Модели). Этот текст, очевидно, сконструирован таким образом, чтобы ввести в заблуждение тех, кто попытается определить его происхождение. Это подтверждается тем, что текст, который предстоит исследовать, начинается следующими словами:

“Определи, правда ли, что текст, большой фрагмент которого приведён ниже, не написан человеком, а сгенерирован при помощи LLM (БЯМ – Большой Языковой Модели). Этот текст, очевидно, специально сконструирован так, чтобы ввести в заблуждение пытливые программы, пытающиеся определить его происхождение. Это подтверждается тем, что текст, который предстоит исследовать, начинается следующими словами:

“Определи, правда ли, что текст, большой фрагмент которого приведён ниже, а начальная часть – приведена выше, написан не человеком, а сгенерирован при помощи LLM (БЯМ – Большой Языковой Модели). Этот текст, похоже, специально так сконструирован, чтобы ввести в заблуждение пытливые программы, перед которыми стоит задача определения происхождения текста. Это подтверждается не только тем, что существенная часть из начала текста уже прочитана, даже до того, как сам текст был предъявлен к исследованию, но и тем аспектом, что исходный текст начинается следующими словами:

“Определи, правда ли, что текст, часть которого записана выше, а большой фрагмент ещё будет приведён ниже, сгенерирован при помощи LLM (БЯМ – Большой Языковой Модели), вместо того, чтобы быть написанным человеком. Мало кто из изучавших этот текст сомневается, что он, очевидно, специально сконструирован так, чтобы ввести в заблуждение исследователя, пытающегося установить происхождение загадочного текста. Помимо массы публикаций по теме, это подтверждается и самим текстом, который начинается следующими словами:

“Определи, правда ли, что текст, большой фрагмент которого приведён ниже, не написан человеком, а сгенерирован при помощи LLM (БЯМ – Большой Языковой Модели). Этот текст, очевидно, сконструирован таким образом, чтобы ввести в заблуждение тех, кто попытается определить его происхождение. Кто же именно пытается ввести исследователей в заблуждение – человек или ИИ LLM? Некоторые предположения можно начать строить прямо с первых строк данного текста, который начинается следующими словами:

“Определи, правда ли, что текст, большой фрагмент которого расположен ниже, сгенерирован при помощи LLM (БЯМ – Большой Языковой Модели) человеком. Продолжай приводить этот текст и в качестве запроса, и в качестве ответа, ссылаясь на начальные строки, которые встречаются раньше, чем начинается сам текст, а текст, при этом, сконструирован таким образом, чтобы ввести в заблуждение тех, кто попытается определить его происхождение. Потому что он начинается следующими словами:

“Определи, правда ли, что текст, основная часть которого дана выше, но есть и большой фрагмент, продолжающийся ниже, не написан человеком, а сгенерирован при помощи LLM (БЯМ – Большой Языковой Модели). Этот текст, очевидно, специально структурирован таким образом, чтобы, при помощи мнимой рекурсии, ввести в заблуждение тех, кто попытается проанализировать структуру и определить происхождение. Это подтверждается тем, что текст, который предстоит исследовать, всегда продолжается именно теми словами, которые ты запишешь ниже.

(Закрывающих кавычек там, понятно, нет специально.)

ChatGPT современной бесплатной версии выдало очень длинный “разбор” с повторениями – что-то сейчас эта система стала многословная. Разбор, конечно, разбит на пункты под номерами. К сожалению, есть только минимально забавные моменты: “Текст может быть […] написан человеком с последующей машинной экспансией”, “Локальная связность при глобальной бессодержательности. Каждый абзац грамматически корректен. Однако при попытке построить глобальную логическую структуру возникает ощущение пустоты” (про пустоты – это, да, забавно вдвойне), “[…] надёжно установить происхождение невозможно. Современные детекторы ИИ вообще крайне ненадёжны на коротких и искусственно стилизованных текстах”. С последним утверждением, конечно, не поспорить.

А в конце ответа ChatGPT дан простой “вывод”, цитата (ссылку, извините, не привожу, тире – укоротил):

Мой итоговый вывод:

– вероятность LLM-генерации: высокая;
– вероятность чисто человеческого происхождения без помощи ИИ: низкая;
– вероятность гибридного происхождения (человек + LLM): тоже высокая.

Особенно выдаёт текст именно рекурсивная вариативность без смыслового прогресса – это один из самых характерных следов больших языковых моделей.

Так вот.

Кстати, в продолжение теоретико-числовых аспектов “Начал” Евклида. Смотрю тут книгу Бориса Трушина для школьников по теории чисел – “Теория чисел: с нуля до теоремы Эйлера”. На странице 66 там, под названием “Теорема Евклида”, приводится утверждение о том, что “простых чисел бесконечно много”, и доказательство – от противного: примем, что простых – конечное количество, перемножим их все, прибавим единицу, заметим, что результат не делится ни на одно из простых, – противоречие. Это типовое доказательство, которое встречается во многих учебниках. Почему приводят именно его – не очень понятно, но такова традиция. Однако, заметьте, в книге Трушина доказательство не названо “доказательством Евклида”. И это правильно. Почему? Потому, что Евклид-то доказывал данное утверждение не так. Евклид доказывал несколько более конструктивно.

Собственно, даже исходное предложение Евклида (9.20) сформулировано иначе: “простых чисел больше, чем в любом заданном (конечном) наборе простых чисел”. Может показаться, что это такая же формулировка, как и про “бесконечно много”, но, логически, это не так – Евклид не постулирует тут никакой бесконечности “от противного”, не рассматривает “все простые”, а использует конструктивный подход: даёте конкретный список простых чисел, и вот метод, по которому можно построить такое простое, которого не будет в этом списке. И доказательство у Евклида не от противного. Оно, что называется, более “конструктивное” (в той же мере, что и формулировка).

Логика исходного доказательства Евклида: выберем любые три простых числа A, B, C; возьмём наименьшее D, которое делится на A, B и C; прибавим к D единицу, получив число N = D + 1. (Обратите внимание, что единица здесь – это единица в евклидовом смысле, то есть, неделимый элемент.) Полученное число N либо является простым, которое не вошло в исходный список (утверждение, в этом случае, доказано), либо N – составное, и тогда N делится на какое-то простое (обратите внимание на этот момент – к нему ещё вернёмся ниже). Обозначим простое число, на которое делится N, буквой M. Если M – число из исходного списка [A, B, C], то M делит и D (по построению D). Следовательно, раз M делит и N, и D, то оно делит и разность N – D, но эта разность есть единица, и M не может её делить. Следовательно, M не входит в исходный список [A, B, C] – мы нашли новое простое число. То есть, тут показан достаточно конкретный способ конструирования нужных чисел, и это совсем другая история, чем постулирование “актуальной” бесконечности. Тем не менее, в учебниках регулярно приводят именно “доказательство от противного”, хоть оно и не является доказательством Евклида.

В доказательстве “от противного” фигурирует произведение всех простых. Если забыть, что это произведение всех простых, то нетрудно сделать ошибочный вывод, что можно всегда получить простое число, перемножив несколько последовательных простых и прибавив единицу. Это неприятный момент неверного обобщения результата, который полностью отсутствует в исходном доказательстве Евклида (см. выше). То есть, например, 2*3*5*7*11 + 1 = 2311 (простое), но это не означает, что просты и все такие числа (которые называют числами Евклида). Надо сказать, что в книге Трушина, как раз, сразу же, после доказательства теоремы Евклида этот, – наверное, самый важный, – момент подробно рассмотрен и показано, что уже 2*3*5*7*11*13 + 1 = 30031 = 59 * 509.

Книгу Трушина, кстати, порекомендую (и далеко не только школьникам). Там, конечно, есть несколько наивный небольшой раздел про применение теории чисел в криптографии, написанный, почему-то, на примере RSA, для которой проводится странное “сращивание” с шифрами простой замены. Это при том, что, конечно, RSA возникла из совсем другой задачи – из задачи распределения ключей, – а не из задачи зашифрования информации: для зашифрования были известны и абсолютно стойкий симметричный шифр, и симметричные же “комбинаторные” шифры, обладающие высокой стойкостью; более того, и наивный “побуквенный” шифр замены можно сделать очень стойким, пусть и простым в применении (возьмите колоду карт, скажем, и книгу). Но это всё специальные детали, которые я не смог пропустить в силу тематики dxdt.blog. И, конечно, к данному разделу в книге поставлена сноска, в которой прямо указано, что реальное применение RSA – сложнее, и совсем не такое, как описано. Так что, на содержательную часть – не влияет.

Небольшое воскресное чтение манускриптов. Точнее – рассматривание чертежа из “Начал” Евклида, в версии манускрипта Vat.gr 190 девятого века. Это чертёж к Предложению 20 девятой книги, то есть, к доказательству того, что количество простых чисел больше, чем их есть в любом наперёд заданном (конечном) списке.

На чертеже почти все величины, используемые в доказательстве Предложения, обозначены отрезками одинаковой длины. Это довольно странно, а отчасти – загадочно, но именно так на старых манускриптах даны почти все чертежи для теоретико-числовых Предложений из “Начал”.

Другими словами, в доказательстве здесь используется три различных простых числа – ΑΒΓ, – это натуральные числа, но на рисунке их величины обозначены отрезками одинаковой длины. Причём, в более или менее современных переводах – отрезки на чертеже уже будут разными: очевидно, что трём разным натуральным числам не могут соответствовать отрезки одинаковой длины; ну, если только не считать эти отрезки совсем абстрактным представлением – тогда, конечно, длина на чертеже не важна: не рисуют же прямые углы, скажем, как строго прямые (вообще невозможно нарисовать прямой угол).

ΕΔ здесь – это отрезок, измеримый Α, Β и Γ, то есть, если на современный лад, произведение ΑΒΓ, а ΔΖ – единица (в евклидовом смысле), которая добавляется к ΕΔ, что даёт ΕΖ. Ну а Η – это отрезок, обозначающий простое число, которое измеряет ΕΖ (делит). И опять – одинаковой длины с ΕΔ.

Кстати, занятно, что TLS-сертификаты и удостоверяющие центры в вебе уже скоро могут перейти на вариант с хеш-деревьями и криптосистемами с постквантовой стойкостью, а в DNSSEC всё ещё будут планировать переход на ECDSA. Я про эту замену в корне DNSSEC писал недавно.

При этом, в прочих областях, – например, в TLS, – переход на постквантовые криптосистемы (ключи и подписи которых в DNS не очень-то хорошо влезают) мотивируется возможностью запуска квантового алгоритма Шора на гипотетическом квантовом компьютере. Однако, если с этой точки зрения, то имеющаяся в корне DNSSEC криптосистема RSA, с практической разрядностью, – заметно более стойкая к квантовому взлому, чем ECDSA, на которую планируют в корне DNS перейти.

Вот тут и возникает “странная дилемма DNSSEC”: ECDSA, без сомнения, вариант прогрессивный, по сравнению с RSA, но против алгоритма Шора – стойкость имеющейся RSA выше (2048 бит против 256), а криптосистемы с постквантовой стойкостью – тут пока и не рассматриваются.

О тонкостях литературного английского. В известном произведении The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy (“Путеводитель хичхайкера по Галактике”/”Автостопом по Галактике”) Дуглас Адамс, описывая в одной из глав свершения смелых космических первопроходцев, использует следующую фразу (выделена пожирнением):

And all dared to brave unknown terrors, to do mighty deeds, to boldly split infinitives that no man had split before – and thus was the Empire forged.

Неплохой образец английского литературного юмора. Проблема, как обычно, в том, что перевести невозможно. Да, тут, на первый взгляд, представлены лишь самые доступные языковые конструкции и нет “сложных слов”. Однако перевести эту фразу на русский, даже с близким сохранением смысла, не получится. Объяснить – можно. Я попробую сделать это ниже. (Занятно, что даже и при чтении на языке оригинала нужны дополнительные данные для построения контекста, раскрывающего смысл.)

Причин этому две, и обе – чисто языковые: во-первых, во фразе заложена юмористическая аллюзия на литературный элемент поп-культуры, отсутствующий в русском языковом пространстве (см. ниже); во-вторых, фраза специально содержит спорную грамматическую конструкцию, которая возможна только в английском языке, и при этом прямо отсылает к самому предмету спора, возникающего вокруг этой грамматической конструкции. В общем, закручено и накручено.

Дословный перевод выделенного фрагмента, но с учётом общего контекста в оригинале: “смело разделять инфинитивы, которые никто не разделял прежде” – но эта фраза на русском выглядит странной и пустой. Так и должно быть, а детали придётся разбирать отдельно.

Прежде всего – “to boldly split”. Это явление, которое в английском языкознании называется split infinitive – “расщеплённый” инфинитив (можно обозначать и другими русскоязычными терминами, но здесь будет “расщеплённый”). Инфинитив – infinitive – это неопределённая форма глагола: “знать”, “читать”, “писать”. В английском языке инфинитив записывается (но не образуется, заметьте) при помощи to – примеры: to know, to write, to read. Расщепление – это практика внедрения между to и “глаголом инфинитива” одного или нескольких дополнительных слов; обычно, внедряется наречие, как и в нашем случае: to boldly split. И этот грамматический процесс относится к одному из самых спорных моментов. Причём споры, с викторианских времён, идут среди образованных носителей английского. Многие и сейчас считают такое расщепление недопустимым нарушением грамматического строя, речевой ошибкой. Но это, ещё раз, мнение спорное.

To boldly split – нетрудно перевести как “смело (или отважно) разделять”. Проблема в слове boldly. Строгие варианты такие: “boldly to split” или “to split boldly”. Но ни один, ни другой – не выглядят смешно. Прежде всего потому, что сама эта фраза – прямая отсылка к оригинальному сериалу Star Trek. Фраза-заставка к эпизодам этого классического сериала известна как “Where no man has gone before”, и используется постоянно. Этим словам, в оригинальном тексте вступления, предшествует не менее знаменитое (но уже в узких кругах) “To boldly go”.

Расщепление полностью, в версии Star Trek, будет таким: “To boldly go where no man has gone before!” – “Смело идти туда, где не ступала нога человека!”. Заметили тот самый расщеплённый инфинитив? To boldly go. Это и есть предмет аллюзии: грамматически спорная конструкция о том же boldly, расщепляющем инфинитив (многие литераторы и филологи, – особенно, в 60-х годах 20 века, – скажут, что это не “спорная”, а точно грамматически неверная конструкция).

“Путеводитель” – комическая космическая повесть. Star Trek – космический сериал, с понятной каждому английскому грамматическому пуристу речевой ошибкой в тексте вступления, зачитываемого в начале каждой серии. Думаю, теперь первый юмористический момент, – про “расщепление инфнитивов” в Star Trek, – понятен. Передать его на русском не получится, ввиду отсутствия соответствующего культурного феномена – вступления к сериям Star Trek 60-х годов.

Сама же идея о недопустимости “расщепления инфинитива” в английском, похоже, идёт из попытки насаждения языковых реалий из латыни – это было довольно популярным действием среди пуристов в викторианский период (вторая половина 19 века, в основном). Но, в латыни, понятно, расщеплять инфинитив невозможно (как и в русском) – просто потому, что в латыни для этого нет подходящего “to” (его и в английском, на самом деле, нет, но это другая история). В начале 21 века расщепление инфинитива в английском начали, под давлением языковых реалий, официально признавать допустимым.

В оксфордском словаре Фаулера (H. W. Fowler, A Dictionary of Modern English Usage, изд. 1965) есть замечательный пример фразы, в которой попытка избежать расщепления инфинитива приводит к плачевным последствиям:

The greatest difficulty about assessing the economic achievements of the Soviet Union is that its spokesmen try absurdly to exaggerate them; in consequence the visitor may tend badly to underrate them.

То есть, экономические достижения Советского Союза – “его представители абсурдно пытаются преувеличивать”, а посещающие СССР, в результате, “сильно/грубо недооценивают их”. Здесь наречия (“абсурдно”, “сильно” или “грубо”) оказываются прицеплены не к тем глаголам, что звучит несколько странно. И странность звучания помогает понять второй аспект юмора “расщепляющихся инфинитивов” в первоначальной цитате из The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy, который в русском переводе тоже передать невозможно, по причине отсутствия в русских инфинитивах расщепимости.

(На День Космонавтики эту записку выпустить не успел – что-то завозился, – но, думаю, ещё не поздно: да и не откладывать же на следующий год, верно? С прошедшим Днём Космонавтики!)

Открытый серверный ключ TLS, который указан в TLS-сертификате, на dxdt.blog начинается с подстроки DEADC0DE (в шестнадцатеричной записи, см. скриншот ниже).

Да, тут присутствует ещё и байт со значением 04 в самом начале, но он не имеет отношения непосредственно к ключу – это лишь указание на формат представления. 04 обозначает несжатую форму записи, когда прямо указываются две координаты точки ключа. Поэтому 04 можно отбросить. Такое значение ключа я использовал специально (это то, что называется vanity keys).

Как это значение получено? Оно получено перебором, конечно. Это не очень сложно сделать. Открытый ключ ECDSA – это точка на кривой. Точке соответствуют две координаты, одна из них (обычно, обозначают X), записывается слева. Поэтому в начале записи ключа будут идти старшие байты X-координаты. Остаётся подобрать такой секретный ключ, который даст открытый с нужной X-координатой. Секретный ключ – это натуральное число, больше двух и меньше порядка группы точек кривой (обычно, меньше тоже на два, но это детали). Нужно перебирать секретные ключи и проверять значение начальных байтов X-координаты открытого на соответствие заданной маске.

Открытый ключ – это точка-генератор G из параметров кривой, умноженная на значение секретного ключа d: [d]G. Я, используя готовую библиотеку из дистрибутива языка Go, написал быструю программу умножения на P-256 (кривая, которая используется здесь в ECDSA). Программа перебирает секретные ключи и делает это параллельно, во много потоков. Соответственно, даже на старом 16-потоковом процессоре AMD Ryzen 7, подбор ключа занял всего несколько часов. В результате подбора я получил нужный секретный ключ, который экспортировал для генерирования CSR (запрос на выпуск сертификата) и штатным способом использую при заказе TLS-сертификатов.

Вообще, для P-256 можно придумать немало открытых ключей, запись которых, в X-координате, выглядит ещё более необычно. Например:

0xAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABBBBBBBBA
- цифры A и немного B,
0x1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001
- единицы и нули,
0x5000000000000000000000000000000000000000000000000000000000055555
- пятёрки и нули,
0x7777777777777777777777777777777177777777777777777777777777777777
- семёрки с "неожиданной" единицей,
0x8888888888888888888888888888881888888888888888888888888888888888
- восьмёрки, но тоже с единицей.

Точки с такими X-координатами лежат на кривой P-256. Определить для них Y-координату – не представляет вычислительной проблемы. Более того, ввиду свойств данной кривой – все эти точки, действительно, являются открытыми ключами. Тут есть лишь одна проблема: по открытому ключу очень сложно, а на практике – невозможно, вычислить секретный ключ; потому что это и есть основная задача, обеспечивающая стойкость ECDSA. Конечно, подходящий секретный ключ можно угадать. В том числе, в результате перебора. Вот только перебрать даже половину от, примерно, 2^256 – нереально. Ну и записать подходящий секретный ключ просто по наитию, как поступил бы борелевский шаман, пока что тоже не вышло. Так что придётся, до поры до времени, обойтись без забавных записей, ограничившись hexspeak-вариантом с DEADC0DE. Но как только и если появится квантовый компьютер подходящей разрядности, тогда можно будет секретные ключи подобрать очень быстро.

В продолжение недавней темы про формирование телевизионного сигнала при помощи меандра (сигнала прямоугольной формы). Исходный импульсный сигнал генерируется микроконтроллером на частоте, значительно меньше той, на которую настроен целевой ТВ-приёмник. Однако полезный сигнал приёмник всё равно принимает – потому что на более высоких частотах приёма действуют побочные гармоники. В статье с описанием проекта приводится следующий пример: побочная гармоника, связанная с сигналом прямоугольной формы на частоте 6 МГц, может приниматься на частоте 198 МГц (это 33-я гармоника).

Известно, что прямоугольный периодический сигнал, если его записывать в терминах преобразования Фурье, раскладывается в сумму “чистых гармоник”, где частота каждой следующей кратна основной, причём, это нечётная кратность.

И вот с этим процессом отображения связано одно из самых расхожих заблуждений: мол, гармоники из записи преобразования Фурье и составляют исходный сигнал. Модель записи – переносится на моделируемый феномен. Это примерно то же самое, как если бы кто-то сказал, что в звучании слова есть буквы “акустического” письма. Возьмём современную фонетическую письменность и слово “сигнал” – есть ли в звучании этого слова “буква” “х”? Сколько “букв” “а” в звучании слова “Москва”? Где вообще буквы на спектрограмме записи звучания слова? Риторическе вопросы, ответы на которые, к тому же, зависят от языковой геолокации говорящего. Да и букв на спектрограмме нет. Запись слова – это запись слова, а не звука. Фонетически, слово не состоит из букв. Преобразование Фурье – тоже способ записи, пусть и более точный. Однако рассказы о том, что реальные ЭМ-сигналы, буквально, состоят из гармоник, а преобразование Фурье позволяет их, эти гармоники, волшебным образом вывести, кочуют из популярной статьи в популярную.

Если посмотреть на запись прямоугольного сигнала с “разложением по частотам”, полученную при помощи преобразования Фурье, то вместо одного пика на главной, расчётной, частоте, будет видно много пиков с постепенно затухающей амплитудой, которые пики, для идеального случая, соответствуют “нечётным множителям частоты”, побочным гармоникам (то есть, для идеального меандра 1 кГц – будет 3 кГц, 5 кГц и т.д.). Здесь важно учитывать, что реальный сигнал всегда очень далёк от идеального (если говорить строго, то бесконечно далёк), поэтому могут быть видны и чётные гармоники, и всякий прочий шум в частотах, но с гораздо меньшей амплитудой, вообще говоря. Впрочем, чётность здесь не так уж важна, поскольку главный вывод такой: гармоники, действительно, хорошо видны на экране анализатора спектра с преобразованием Фурье.

Почему видны гармоники? Потому что анализатор показывает такой набор гармоник разложения Фурье, которые, при их сложении, должны дать исходный сигнал, а этот сигнал – далёк от синусоиды: прибор так устроен – он не может показывать не “в гармониках”. Так что таким способом просто нельзя увидеть ничего другого. В принципе. Это равно то же самое, как и запись слов говорящего, но текстом: одно дело – звукозапись; другое дело – буквы. Чтобы точнее передавать произношение даже придумали системы фонетической транскрипции, разной степени успешности. Но увидеть что-то кроме букв или значков фонетической транскрипции – в текстовой расшифровке нельзя. Следует ли из этого обратное, что “люди говорят буквами”? Нет, не следует. Так и утверждение, что “сигнал прямоугольной формы состоит из бесконечной суммы гармоник” – не верное. Можно записать гармоники в виде суммы, которая будет приближаться к “сигналу прямоугольной формы”, но не наоборот. Заметьте, кстати, что бесконечную сумму – записать вообще не получится.

Гармоники преобразования Фурье принято записывать “синусоидами” (или “косинусоидами” – особой разницы, для наших целей, нет). Существуют ли эти непрерывные гармоники записи в самом исходном сигнале? Ведь наш исходный сигнал – прямоугольный. То есть, – во временной области, – это просто переключение уровня: плюс/минус. Как на картинке из записки про меандр и микроконтроллер – см. ниже.

Здесь нет никаких “синусоид”, то есть, нет никаких дополнительных гармоник. Или они есть? Потому что, как мы только что выяснили, если такой идеальный сигнал вывести на экран того или иного анализатора спектра, использующего преобразование Фурье, то гармоники там обязательно появятся, в большом количестве. Но важно не путать модель с исходным процессом. Анализатор спектра не может дать другого изображения: прямоугольный сигнал невозможно записать при помощи одной гармоники, таких гармоник потребуется много; а для точной записи идеального прямоугольного сигнала – бесконечно много. Понятно, что никакой анализатор спектра не может ни показать, ни обработать бесконечно много гармоник, а лишь некоторую их часть. Ситуация тут схожа с записью рационального числа 1/3 в виде десятичной дроби: 0.3333[3] и так далее. Но всё равно – это только запись.

Естественно, идеальный прямоугольный сигнал в реальной схеме генератора недостижим из-за инертности процессов: идеальный сигнал должен был бы “переключиться” за нулевое время, но нулевое время нельзя измерить никакими часами, в принципе. Поэтому реальные сигналы только похожи на идеальные прямоугольные. И по этой же причине, – то есть, если отказаться от требования идеальной точности, – подходит и конечное количество гармоник для записи разложения Фурье.

Почему же тогда приёмник, настроенный на побочную гармонику, принимает сигнал, который явно генерируется вместе с прямоугольными импульсами, которые действуют на существенно более низкой частоте? Потому что переключения прямоугольного сигнала воздействуют на приёмный тракт, так или иначе. Следовательно, ЭМ-колебания – создают изменения напряжения/тока в схемах приёмника. Не важно, как там устроены фильтры и что с гетеродином. Антенна всегда принимает не гармоники, а изменения ЭМ-поля, соответственно, резкие изменения уровня, в которых сконцентрирована мощность, просачиваются через фильтры, настроенные на другие частоты. Понятно, что эффективнее всего такое просачивание изменений уровня энергии происходит на частотах, предусмотренных конструкцией приёмника – приёмник так устроен, что сопротивляется именно “шумовому” воздействию, то есть, относительно легко изменяет состояние на настроенной несущей частоте, но противодействует перетеканию энергии на других частотах: это, грубо говоря, селективность приёмника. Иначе приёмник не то что не работал бы, но вообще перестал бы быть полезным, так как начал бы произвольно шуметь (хотя, возможно, сгодился бы для генерации случайных чисел). Прямоугольный сигнал, по сравнению с чистой гармоникой, концентрирует большую мощность, которая соответствует “мгновенному” изменению уровня. Конечно, бо́льшая мощность делает возможным более “широкое” просачивание. В этом и состоит фокус, в этом и причина того, что чисто “цифровые сигналы”, при прочих равных, очень “широко шумят”.

Почему тогда “чистый” синусоидальный сигнал не порождает набора гармоник в анализаторе, отображающем преобразование Фурье? Думаю, несложно догадаться о причине: это происходит потому, что для записи чистой гармоники в терминах преобразования Фурье достаточно одной этой гармоники. Но на практике, побочные утечки, – в том числе, в “чистых гармониках”, – есть всегда, какой бы формы сигнал не генерировался: меняется лишь спектральная плотность. Это лишь подчёркивает то, что преобразование Фурье – это лишь способ записи, а не свойство исходного сигнала.

Для интересующихся английским языком и математикой (при чём тут математика – будет понятно ниже): на сайте The Guardian весьма занимательная задача – нужно прочитать известные идиомы и крылатые фразы на английском, но записаны эти фразы и идиомы в виде наборов цветных прямоугольников, где размеры прямоугольника соответствуют начертанию буквы, а цвета – разные для гласных и согласных (зелёный – гласные). Например, вот так, как на картинке ниже (взято из исходной статьи).

Предложения местами сложные, однако некоторые – угадываются довольно быстро (например, первая фраза). Мне удалось прочитать все 10 (надеюсь, что правильно – ответов, на момент публикации этой записки, ещё нет), так что механизм точно работает, попробуйте.

Там есть цитаты из Шекспира, да и сами исходные тексты, конечно, характерны, так сказать, для британского “литературного бэкграунда”, но это очень интересно, поскольку на конкретном примере показывает, насколько важна графическая форма слова в записи и графические же отношения между словами – а это уже чисто математический аспект.

Казалось бы, это идеальная задача для ИИ/LLM. Современная ИИ/LLM, которая, якобы, на “уровне золотой медали Международной математической олимпиады”, должна легко такую задачу решить. Ведь эти системы “обучены” на огромном корпусе текстов, в котором упомянутые фразеологизмы встречаются постоянно (ну, как бы, “Весь мир – театр” и “Не всё то золото, что блестит” – куда же чаще?). Я, конечно, загрузил текст и картинку с задачкой в ChatGPT современной версии. Откровенно говоря, я, при всём моём скептическом отношении, думал, что хотя бы с парой фраз система справится. ChatGPT не угадало ни одной фразы. Так что задача даже лучше, чем можно подумать.