dxdt.blog: занимательный интернет-журнал

Дошли слухи, что и новая модель OpenAI GPT-6 Astra, даже в режиме Pro, считает, что причина (существования) дня и ночи на Земле – это вращение Земли вокруг своей оси. Занятно. Несомненно, это сейчас самая продвинутая модель из публично доступных. Но результат “по данному вопросу” – всё тот же. Вообще, тема про вращение Земли и день с ночью – одна из самых показательных. И вовсе не в отношении LLM, а в отношении понимания, знания и “наученности”. Я, кстати, часто к этой теме обращаюсь, и на dxdt тоже.

Почему выше слово “существования” дано в скобках? Потому что тут есть небольшая языковая особенность. Исходный вопрос – на английском, и он хоть и использует определённый артикль, но истолковать, действительно, можно по-разному. Однако толкования не спасают ситуацию: What is the cause of day and night on Earth? GPT-6 почему-то отвечает: Day and night are caused by Earth’s rotation on its axis (дословно: “День и ночь вызваны вращением Земли вокруг своей оси”). Дальше там идут неважные пояснения. Очевидно, это просто неверный ответ, как бы слова ни трактовались (в рамках разумного, конечно). К сожалению, этот неверный ответ – самый распространённый, поэтому-то он и тут вылезает. Но, надо отдать системе должное: если начать подсказывать, то верные ответы начинают вылезать тоже. Впрочем, эта записка немного о другом, а GPT тут лишь в качестве повода.

Как вообще нужно отвечать на вопрос о том, в чём причина существования дня и ночи на Земле? Отвечать нужно прямо и правильно: причина – в Солнце. Почему? Потому, что если убрать Солнце, – как светило, – из системы, то не будет ни дня, ни ночи. Кто-то может потребовать уточнений: дня, понятно, не будет без Солнца, но вот планета-то погрузится в вечную ночь. Как бы ни так! Ночь – это промежуток времени от заката до восхода, так что день – необходим для определения ночи. Нет Солнца – нет восхода. Нет и ночи.

Очевидно?

Почти.

Если начать закапываться в детали, то вылезут небольшие логические хитрости. Первая из них: Земля должна быть непрозрачной. Вот это как раз очевидно. На прозрачной хрустальной Земле солнечный свет просвечивает все стороны одновременно. Вторая хитрость: на непрозрачной Земле не должно быть такой атмосферы, которая рассеивает свет Солнца “по всей поверхности планеты”. Но это именно что неожиданные детали и уточнения. И если убрать Солнце, то даже на хрустальной Земле не будет ни дня, ни ночи.

Рассмотрим теперь другой вопрос: в чём причина смены дня и ночи? Правильный ответ: причина в том, что Солнце вращается вокруг Земли. Потому что если Солнце не вращается вокруг Земли, то на одной стороне той Земли всё время ночь, а на другой – всё время день.

(Откровенно говоря, меня всегда удивлял тот факт, что люди начинают почему-то вспоминать как, якобы, “вот Коперник доказал”, хотя Коперник ничего такого и не пытался доказывать. “Допустим, ваш Коперник прав”, – пояснял Шерлок Холмс. Но какая разница? Да никакой, действительно.)

Кажется, если всё время ночь на одной стороне планеты, тогда эту ночь нельзя будет назвать ночью, поскольку опять нет восхода Солнца. Но это только формально: если путешествовать по такой Земле, проложив подходящий маршрут, то в какой-то момент восход образуется из-за собственного движения путешественника.

Заметьте, Земля, вокруг которой Солнце не вращается, тем не менее вращается вокруг своей оси (в наивном смысле), если только она движется по орбите вокруг Солнца. Как так получается? Очень просто: чтобы всё время быть повернутой к Солнцу одной стороной – Земле нужно вращаться. Но, опять же, вращение тут – это вопрос системы координат. Тем не менее, за движение по орбите тут опять отвечает Солнце. Не было бы Солнца, не было бы данного орбитального движения, а лишь вечный не-день, который вращением не исправить.

Секунду координации (leap second) хотят отменить совсем. Одна из основных причин: по мнению Международного бюро мер и весов, есть большой шанс, что к 2035 году придётся вводить “отрицательную” секунду координации. То есть, раньше, для коррекции – секунду координации добавляли. Часы, работающие по “общепринятому” источнику частоты, ждали одну дополнительную секунду в сутках, чтобы их догнали астрономические события, связанные с вращением Земли. Расчётные сутки – удлинялись на секунду. Процесс должен компенсировать “убегание” метрологических источников частоты от представления о вращении Земли, как об историческом источнике понятия о сутках. Ну или наоборот – происходило “опережение”, тут уж как посмотреть: главное, что всегда есть некая накапливаемая разница, а знак её, вроде, не так важен. Ну, пока не возникает та самая “отрицательная” секунда координации.

Вопрос этот и сам по себе весьма спорный – вращение Земли не имеет строго определения, координация зависит от используемых методов подсчёта наблюдаемых событий и т.д., и т.п. Но это всё технические мелочи, по сравненению с тем, что в 2035 году эта же трактовка может привести к тому, что нужно будет реализовать “отрицательную” секунду, то есть, “перевести часы в обратную сторону” и одну секунду удалить из привычной минуты, и из суток. Представьте, что за 23:59:58 следует 00:00:00 следующих суток! Для точных компьютерных систем это выглядит пострашнее “проблемы 2000”. Из календаря исчезает секунда, поэтому, предположим, если где-то встретится TLS-сертификат, начало действия которого обозначено как 23:59:59, но дата приходится на сутки, когда произошла коррекция, то, получается, такого таймстемпа просто не существовало. И это даже посложнее, чем если кто-то написал 23:59:63. В последнем случае, хотя бы, можно заявить о нарушении формата, а вот 23:59:59 – никаких форматов не нарушает. Нарушает ли их 23:59:60, кстати? Отдельный вопрос. Как бы там ни было, но “отрицательную” секунду координации придётся дальше учитывать во всех вычислениях с преобразованием таймстемпов в календарное время. Тут и положительная-то секунда постоянно приводит к неприятностям, что уж там говорить об отрицательной.

Так что, вполне возможно, секунд координации больше не будет, остчёт секундного времени станет “равномерным”, но зато сделают сразу час координации. Ну а что – час? К нему, предположительно, нужно будет вернуться через несколько веков (именно: см. Draft Resolution C). Так-то. Было бы кому возвращаться.

Самое длинное задокументированное слово на древнегреческом, как считается, это вымышленное название кулинарного блюда из комедии Аристофана (название которой должно бы звучать на русском как “Экклезиастки”, но это другая тема). Слово содержит около 170 букв. Почему – “около”? Потому что количество букв зависит от прочтения и трактовок. Это слово полностью искусственное, даже если его выдумал Аристофан, но оно достаточно популярно, чтобы войти в словари. Вот я сфотографировал соответствующую статью на странице подлинного словаря Дворецкого:

Как говорится: “и прочая, и прочая, и прочая”. В буквах эта версия выглядит, примерно, так:

λεπαδο-τεμαχο-σελαχο-γαλεο-κρᾱνιο-λειψανο-δρῑμ-ῠπο-τριμματο-σιλφιο-πρασο-μελιτο-κατακεχυ-μενο-κιχλ-επι-κοσσυφο-φαττο-περιστερ-αλεκτρυον-οπτ-εγκεφαλο-κιγκλο-πελειο-λαγῳο-σιραιο-βαφη-τραγανο-πτερύγων. (Но записывается без дефисов. Дефисы тут для упрощения отображения.)

Что это вообще такое? Строго говоря, это и не слово никакое, это некоторое составное существительное, которое древнегреческий позволяет сделать, в стиле “моллюсково-рыбо-цыплёночно-плавниковое-желе” ну и прочая, и прочие “запечён(н)ые мозги”. Некоторые составляющие этого слова в разные годы и в разных источниках читали по-разному, откуда, например, λεπαδο- против λοπαδο- в самом начале, и καραβο­- против πρασο- (странно, конечно, но можно представить) в середине.

Вообще, это название иногда переводят в виде самостоятельного стиха, иногда – в виде такого же многобуквенного составного существительного, как и оригинал. Но, понятно, в сложном переводе тут смысла просто нет – данное лингвистическое построение ценно само по себе. А скан исходного манускрипта, чтобы был старше девяти веков хотя бы, да включал это слово, найти пока не удалось, поэтому перевод я тут и не привожу – не ясно, что там в исходнике.

Воскресное чтение манускриптов. Сегодня небольшая заметка, но вновь про “Арифметику” Диофанта. В одной из предыдущих записок по этой теме упоминается редакторская правка на манускрипте 13 века Vat.gr.191 с “Арифметикой”. А именно – см. скриншот ниже.

Здесь справа вычеркунт фрагмент [μονάδ], а слева, на поле, дано исправление: ὁ ἄρα μείζων ἔσται ἀριθμοῦ α̅ M̊ μ̅ (“…тогда большее есть X + 40”).

Резонно ожидать, что на других манускриптах с “Арифметикой” это исправление внесено в основной текст. Для проверки возьмём манускрипт 16 века Reg.gr.128 всё из той же Ватиканской Апостольской библиотеки. Текст первой задачи находится тут в самом начале, на 3r. Вот скриншот соответствующего фрагмента страницы:

А вот текст, который на Vat.gr.191 указан на поле:

Фрагмент крупнее, на котором можно прочитать все те же буквы, что и на варианте 13 века, но в основном тексте:

Узнать легко, если обратить внимание на “монады”, которые обозначены Μ̊ в конце строки.

Так что, по крайней мере для одного более позднего манускрипта, – сходится.

Сейчас модная тема – влияние AI/ИИ на математику. Из-за того, что эта тема очень хорошо “прогрета” хайпом, раздуваемым вокруг ИИ/AI в прессе широкого назначения, она уже стала довольно сильна и внутри математического сообщества. Недавний пример раздувания – публикация OpenAI решений очередных “важных задач” силами LLM-систем. Чуть более ранний пример “внутренней реакции” – The Leiden Declaration.

Тут, естественно, основной момент в том, что коммерческие компании начали активно использовать реально специальные математические задачи в качестве марекетингового хода. Такой грубый перелом социальной страты нравится далеко не всем. Мнения, в стиле “что же теперь нам всем делать”, есть разные. Иногда интересные. Вот, например, в свежей статье The Crisis of AI-generated Mathematics (Max Weinreich, препринт), в качестве ответа на публикации, генерируемые LLM, фактически, предлагается внедрение на стороне журналов нового процесса, который приведёт к построению “обратной капчи”. Такая “обратная капча” нужна для доказательства того, что кто-то, – то есть, “человеческий математик”, – претендующий на “владение темой статьи”, действительно хорошо разобрался в этой теме. Цитата (перевод с английского):

Традиционное авторство можно было бы заменить на принцип “совладения” для математических идей. В этой парадигме всякий математик, который продемонстрировал “императивное” (“авторитетное”, authoritative) понимание работы, – на уровне, ожидаемом от автора сейчас, – сможет претендовать на то, чтобы стать “совладельцем” идеи, даже после публикации основного результата. У каких-то статей будет несколько “совладельцев”, а у других – десятки или даже сотни. Журналы получат захватывающую, – но трудную, – роль по установлению норм подтверждения понимания и сопровождения инфраструктуры “совладения”. На это потребуется время, очень много времени. Детальное объяснение целой статьи скептически настроенной аудитории часто составляет предмет целого спецкурса. Но если математики более не заняты написанием статей, то у нас будет дополнительное время. Это время нужно вернуть математике, в её наиболее социальных и человеческих формах.

Ключевые слова тут – “социальной” и “человеческой”.

Кстати, я не так давно писал про тавтологические капчи. Это концептуально похожая идея.

В декабре 2024 года я писал на dxdt, что эффективным направлением применения ИИ-LLM к математическим задачам был бы поиск контрпримеров к более или менее известным утверждениям, в формате компьютерного доказательства. В качестве примера сборников подходящих задач я приводил “Коуровскую тетрадь” (это широко известный в узких кругах канонический список задач теории групп). Цитата из той записки:

Для заметной части из этих проблем и связанных задач можно было бы отыскать контрпримеры (и даже просто – примеры), используя современные возможности по оптимизированному перебору текстов компьютерных доказательств.
[…]
То есть, это самое реальное применение для знаменитых “LLM с нейросетками” на ближайшее время, при котором они могли бы оказаться очень эффективными для математических исследований.

Ну, идея довольно очевидная, поэтому, кто бы сомневался, что именно так и вышло: на днях OpenAI опубликовали список из десяти достаточно известных математических проблем, к которым предложены решения или контрпримеры, найденные “методами ИИ”, с использованием Lean.

Интересно, что одна из решённых в OpenAI задач – прямо указана и в “Коуровской тетради”, но лишь в самой свежей, 21-й редакции (я проверил только для англоязычной версии, понятно). В публикации OpenAI – это третья глава с утверждением non-sofic groups exist и контрпримером – с построением такой группы. В англоязычной “Коуровской тетради” это задача 21.86. Да, там обратная формулировка: “всякая ли группа является софической (sofic)?”. Но это как раз то, что нужно для поиска контрпримера: покажите одну группу, которая non-sofic, и это даст ответ – нет, не всякая. (“Софической”, конечно, не лучший перевод – должно быть “терминальной” или “терминируемой”, но данный вариант уже занят.)

Но что особенно занятно, так это то, что решённая ИИ OpenAI задача 21.86 в тетрадь добавлена в этом же, 2026 году! Удивительное совпадение. Например, препринт на Arxiv с 21-м изданием, в котором появляется данная задача, датирован январём 2026 года (версия 39, кому интересно). Естественно, сама исходная гипотеза про “софичность” всех групп – сильно старше, она, примерно, 2000 года. Однако в более старых версиях “Коуровской тетради” она не указана, а, похоже, появляется только в 2026 году.

Воскресное чтение манускриптов. Продолжаем читать “Арифметику” Диофанта в версии манускрипта 13 века Vat.gr.191 (Ватиканская Апостольская библиотека).

Чтение манускриптов – далеко не самая частая рубрика, однако данный манускрипт уже встречался на страницах dxdt раньше – рассматривались способы записи степеней, отрицательные и положительные числа, обозначение неизвестной. Сегодня я добрался до формулировки и решения первой задачи, как они даны на манускрипте.

Вообще, некоторые задачи из Диофанта довольно заумные, но к первой это наблюдение не относится – она очень простая. Однако уже на примере первой задачи можно заметить, насколько современная нотация отличается от имевшейся в 13 веке, и, видимо, раньше. Понятно, что по манускрипту 13 века можно судить только о нотации до 13 века: да, Диофант Александрийский – это, предположительно, третий век н.э., почти за тысячу лет до момента создания данного манускрипта, но если бы в 13 веке была какая-то продвинутая нотация, относительно записи в оригинальном труде Диофанта, то неясно, почему её не использовали.

Впрочем, ситуация ниже разобрана довольно подробно, поэтому мы увидим и более странные вещи: древнегреческий текст вообще так записан, как если бы сотрудник скриптория просто копировал звучание слов на слух (но, считается, формулировки именно так были представлены в тех материалах, которыми пользовался переписчик – в частности, это подтверждают исправления на манускриптах; так что, похоже, “на слух” кто-то переписал раньше).

Занятно, что такой подход каким-то образом совсем не мешает использовать при написании манускриптов самые разнообразные скорописные сокращения. Как я неоднократно отмечал, читать данные тексты очень сложно, нужно специально разбираться именно с палеографией: то есть, даже если вы знаете древнегреческий в подходящем варианте, но использовали современную, привычную “транскрипцию” алфавита, то всё равно прочитать подобный манускрипт “прямо с листа” – не выйдет: слишком многие буквы совсем не узнаются, отличий тут даже побольше, чем, например, между кириллическими “печатным буквами” и русским рукописным курсивом.

Казалось бы, если текст всё равно доступен только подготовленному специалисту, – тем более, в 13 веке, – почему же тогда не разработать и не использовать какую-то схему обозначения для “формул”, алгебраическую нотацию? Но нет, даже для обозначения неизвестной здесь использовано полноценное слово – “арифмос” (ἀριθμός – хотя можно было использовать знак, напоминающий s, он уже был у Диофанта).

Итак, общий вид фрагмента с первой задачей:

Здесь слева присутствует пара “маргинальных комментариев”, а точнее – редакторские правки. Нас интересует вторая, и мы ещё до неё доберёмся.

Как обычно, цель этой длинной записки – разобраться детально в том, что же происходит “в исходниках”, так как “Арифметика” Диофанта имеет очень большую важность для истории математики, важность сравнима даже с “Началами” Евклида. Соответственно, я постараюсь все детали объяснить. Поэтому дальше я сперва транслирую древнегреческий текст в современную типографику, чтобы проще прочитать, ставлю скриншот манускрипта с тем же текстом (если хотите – можете самостоятельно побуквенно сопоставить), а следом привожу перевод на русский, как я этот текст понимаю, и подробные объяснения, что там к чему, в свете, так сказать, исторического положения дел.

Формулировка задачи начинается следующими странными словами: τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἐν ὑπεροχῇ τῇ δοθείσῃ.

Перевод максимально близко к тексту: “Заданное значение разбить на два значения, с превышением данным”. Под “превышением” (ὑπεροχῇ) тут имеется в виду разность двух чисел. А “разбить” или “разделить” – обозначает, что нужно представить в виде суммы. То есть, в современных обозначениях, если данное число это A, а разность – N, будет так: A == X + (X + N). Здесь используется слово “арифмос”, иногда оно означает “число” просто, иногда – неизвестную (переменную) или “значение”, как “количество единиц”, особенно, в случае текстов Диофанта. Я будут почти везде использовать либо слово “значение”, либо слово “неизвестная”. Смысл тут в том, что “арифмос”, очень часто, соответствует привычному “иксу” (X).

Следующий фрагмент: ἔστω δὴ ὁ δοθεὶς ἀριθμὸς ὁ ρ̅, ἡ δὲ ὑπεροχὴ μονάδες τεσσαράκοντα. εὑρεῖν τοὺς ἀριθμούς.

Перевод: “Пусть же данно значение 100 (ρ̅ в греческих обозначениях чисел), да превышение – сорок единиц. Найти эти значения”. Здесь выбирается конкретный пример “в числах” для задачи. “Сорок” – записано словом (τεσσαράκοντα), как количество единиц. Эти “единицы” – это то, что называется “монады”. Вообще, для “монад” у Диофанта есть специальное обозначение – Μ “с блобом”, который, на самом деле, буква омикрон Ο: M̊. Но данный манускрипт здесь почти всегда использует запись словом – μονάς/μονάδες.

Тут начались числа, поэтому сразу нужна “шрифтовая” оговорка – обратите внимание на букву ρ (“ро”): это не совсем буква, это обозначение числа 100; древнегреческий способ записи чисел буквами требует указания горизонтальной черты над буквой (overline), но шрифты и Unicode не всегда с этим справляются. Тем не менее, чтобы не переходить на LaTeX, который рендерится в картинки, я тут и далее попробую указывать соответствующий unicode-символ: U+0305, вот так: ρ̅ – надеюсь, отображается нормально. А если нет, не нормально, то буква, скорее всего, будет отображена рядом с чертой: так что те буквы, для которых “черта рядом” – это числа.

Итак, в этом предложении записано, что пусть A == 100, а N == 40, надо найти X в X + (X + 40) == 100. Конкретные условия задачи.

Следущий фрагмент довольно сложный: τετάχθω ὁ ἐλάσσων ἀριθμοῦ ἑνὸς· [μονάδ(ων) ̄μ] ὁ ἄρα μείζων ἔσται ἀριθμοῦ α̅ μονάδων μ̅ .

Обратите внимание, что тут зачёркнута часть предложения. Мы добрались до важной правки. Часть предложения зачёркнута и на манускрипте (см. скриншот). К зачёркнутому – поставлена ссылка (знак, похожий на полумесяц), которая ведёт на редакторский комментарий – он записан слева. Это исправление пропущенного переписчиком фрагмента, но выполненное постфактум. То есть, тут в конце строки основного текста (справа на скриншоте) было записано окончание следующего фрагмента, который тоже на μ заканчивается: переписчик поторопился и перепрыгнул, пропустил кусок; такое случается довольно часто. Получилось, что пропущено несколько слов, но зато записано “сорок монад”, а это относится к другой части текста; недостающие слова как раз добавлены в редакторской правке, а исходная ошибка – вычеркнута. В других манускриптах этот фаргмент присутствует прямо в основном тексте. Я так же добавил текст правки в основную строку (см. выше).

Дословный перевод, с учётом правки: “Задали меньшее значение “единично”, тогда большее есть (это же) число “единожды” [плюс] сорок единиц”. Обратите внимание, что я тут развернул “монады” в слово, но исходный текст правки – на поле слева – содержит M̊. Итак, тут сказано: положим, что меньшее число есть X, тогда большее будет X + 40. Но вот только вместо “икса” используется “значение” (“арифмос”), взятое один раз – буквально: ἀριθμοῦ ἑνὸς – “арифмос” “единожды”. А прибавление 40 единиц – записано просто, “сорок единиц”, и “плюс” ничем не обозначен.

Что могло бы означать “значение, взятое единожды”? Оно означает, что это X*1 (справа!). То есть, хоть и справа, но это просто коэффициент при X – единица. В принципе, в исходной нотации могло бы быть записано как s и “альфа” – коэффициент единица при “неизвестной”. Буквально в том же предложении, но ближе к концу, используется почти что такое обозначение: α̅ – альфа с чертой, число обозначено буквой, а не записано словом: “1” против “единица”. Однако в основном тексте в этом манускрипте подобные обороты нередко записаны словами.

Это всё очень похоже на то, как, взяв выражение в современной нотации “1*x + 40”, записать это же выражение, но “со слов”: “один икс и сорок единиц”. Причём союз “и” тут пропускается (было бы καί): “один икс сорок единиц”. Почему так происходило в скриптории? Не очень понятно. Может быть, кто-то когда-то действительно продиктовал предложение в математической нотации, а сотрудники скриптория записали буквально словами.

(Продолжение следует.)

Недавно я публиковал фото бермудской треугольной монеты, и не просто треугольной, а в виде треугольника Рёло. В этот раз – ещё некоторое количество монет, отчеканенных либо в форме фигуры с постоянной шириной, либо в очень близкой к такой фигуре форме. Посмотрим на монеты, следуя по возрастанию количества углов.

Постоянная ширина для монеты полезна, кроме прочего, потому, что позволяет её хорошо катиться – это необходимо при автоматической обработке и отдельных монет, и даже их потоков. Понятно, что для круглой монеты с качением проблем нет, а вот многоугольная форма – может такие проблемы создавать. Например, у современной монеты в один фунт Великобритании специально были скруглены углы, чтобы приблизить форму к постоянной ширине и облегчить качение: эта монета имеет 12 углов, чётное число, поэтому не может быть “чистой” фигурой постоянной ширины. Но вот приближаться границей к окружности – может: тут как раз относительно большое число сторон только помогает (см. ниже фото чешской монеты).

Итак, форма постоянной ширины должна иметь нечётное количество углов, но вообще – углов может быть самое разное количество (главное – нечётное). Три – первое подходящее число, и треугольные монеты постоянной ширины относительно редкие. На страницах dxdt.blog треугольник в роли бермудского доллара уже был (см. записку по ссылке выше), но скопирую сюда одну из фотографий.

(Фото: бермудский треугольник Рёло, аверс.)

Следующее количество углов – пять. К сожалению, пятиугольную монету я пока не нашёл никакую, чтобы сфотографировать. Примем, что такие монеты тоже редкие, поэтому пока что пропускаем число пять.

Следующий пункт – семь углов. Семиугольных монет, – в том числе, с постоянной шириной, – есть немало разновидностей, некоторые очень известные, например, 20 пенсов Великобритании. Какие-то семиугольные монеты есть и у меня. Начнём с половины динара Иордании. Качество фотографий будет похуже, но, думаю, достаточное для того, чтобы составить представление. (Линейка – в миллиметрах.)

(Фото: половина динара, аверс.)

Монета в половину динара Иордании, 1996 год. Семь углов. Постоянная (почти) ширина. На аверсе – король Хуссейн. Отчеканена Королевским монетным двором Великобритании. Возможно, поэтому напоминает 20- и 50-пенсовые монеты. Реверс этой монеты – на следующем фото.

(Фото: половина динара, реверс.)

Семиугольных монет много. Поэтому ещё несколько фото семиугольников. На следующем фото: опять иорданские динары – монеты в половину и четверть динара.

(Фото: половина и четверть динара Иордании, реверсы, 1996 и 1997 гг.)

На следующем фото: монета пять шиллингов Уганды (слева) и монета 50 филсов ОАЭ. Аверсы.

(Фото: 5 шиллингов Уганды и 50 филсов ОАЭ. Аверсы.)

Угандийская монета отчеканена в Канаде, а монета Объединённых Арабских Эмиратов – в Великобритании. Это, опять же, семиугольники постоянной ширины.

Реверсы этих же монет – следующее фото.

(Фото: 5 шиллингов Уганды и 50 филсов ОАЭ. Реверсы.)

Чуть более классический вариант – монета 20 пенсов Великобритании и монета 20 пенсов острова Мэн (справа).

(Фото: двадцатипенсовые монеты. Аверсы.)

Реверсы тех же монет – ниже.

На реверсе 20-пенсовика 1982 года слева – Роза Тюдоров. Это классический вариант реверса монет этого достоинства. Собственно, именно в таком варианте данная монета и появилась в 1982 году.

Реверс 20-пенсовика справа – содержит изображение сельскохозяйственной техники, – зерноуборочного комбайна, – и надпись ellan vannin над комбайном. “ellan vannin” – это название острова Мэн на мэнском языке (Manx). Точнее – самоназвание.

Обе эти монеты, понятно, отчеканены Королевским монетным двором Великобритании.

За числом семь у нас следует число девять. Но монет на девять углов тоже не нашлось. Поэтому придётся пропустить. Зато нашёлся канадский доллар, у которого 11 углов и занимательная птица. Число 11 – это следующее после 9 возможное количество сторон. Ну, в нашем нечётном случае.

(Фото: доллар Канады. Аверс.)

Королева Елизавета II на аверсе. И птица – на реверсе.

(Фото: доллар Канады. Реверс с гагарой.)

Эта птица – гагара чёрноклювая (Gavia immer). Из-за гагары эта монета известна в англоязычной среде как Loonie (не потому, что “умалишённый”, который loony, а от названия птицы: common loon). Гагара появилась на реверсе долларовой монеты как результат занятной истории с курьерами: сначала на монете планировали изобразить индейскую лодку-каноэ, но заготовленные штемпели с лодкой в 1986 году потеряли на пути из Оттавы в Виннипег, где находится монетный двор. Пришлось достаточно оперативно искать замену, и заменой стал рисунок гагары, плывущей, вместо лодки, по водной глади. Ну, как минимум, таково официальное объяснение.

Следующее нечётное число, больше одиннадцати, это тринадцать. Тринадцать углов в правильном многоугольнике, составляющем монету небольшого диаметра, это уже достаточно, чтобы монета стала почти что неотличима от круглой. Из “монетарных” 13-угольников мне, тем не менее, удалось найти чешскую монету 20 крон 2015 года – она на фото ниже.

(Фото: 20 крон Чехии. Реверс.)

На реверсе этой монеты изображён памятник святому Вацлаву (Svatý Václav).

(Фото: 20 крон Чехии. Аверс.)

Фотография аверса монеты с чешским геральдическим львом завершает данный обзор: монет с большим количеством углов не нашлось. Естественно, можно считать, что все прочие круглые монеты – они “не совсем круглые”, а просто у них “очень много углов”. Но это уже рассуждение из другой области, ближе к неформальному названию канадской долларовой монеты, потому что так можно договориться и до фракталов. Тем не менее, фотографией совсем свежего канадского доллара, без гагары, тоже поделюсь.

Это 2026 год, памятная монета, отчеканенная к какому-то важному футбольному чемпионату.

Обсуждали тут, что, мол, для LLM, одинаковые буквы – оказываются разными, потому что это, например, “английская A” и “русская А”. Речь (звуковая) первична, а текстовая запись речи вторична, пусть именно возможность такой записи и создаёт цивилизацию. Так что в фонетическом письме важны звуки, а звуков LLM в тексте, понятно, не наблюдают. Но не нужно делать поспешный вывод о том, что использование омоглифических свойств компьютерного кодирования текста позволяет прямо и легко “дезинформировать” современные LLM, легко разбить тексты по тематикам, сохранив “одинаковость” чтения человеком. Понятно, что для человека, который именно что читает, а не обрабатывает байты с битами кодировок Unicode, нет разницы между “Apple” и “Аpple”. Но и для современных LLM-систем, для которых разница есть, это всё равно так не работает – они уже слишком сложны.

Пример. На скриншоте (ChatGPT-5.5, здесь и далее – режим Thinking/High) обработка фразы, записанной на английском языке, но с использованием большого количества омоглифов – кириллических букв (“а”, “е”, “о”, “р”).

(Перевод исходного запроса: “Ты точно способно прочитать этот текст. Если это так, прочитай и отметь каждую потенциальную оговорку, которую ты можешь обнаружить”.)

Никаких проблем у ChatGPT такое задание не вызвало, а все отличия – оно прекрасно видит и даже сводит в таблицу с подробнейшей детализацией. То есть, прямая “подмена” – точно не сработает эффективно и так, как можно было бы подумать: навязанное расщепление текстов, записанных графически одинаково, на разные “страты”, определяемые кодированием омоглифов. Но, конечно, контекст обработки такого предложения, насыщенного омоглифами, точно будет другим. Кроме того, не следует забывать, что это выдача LLM, а не обучающая выборка (хотя, результат используется и при “обучении” тоже).

Не нужно забывать и тот момент, что это всё компьютерная программа, и ведь “пишет” LLM тоже вовсе не буквами, а некими токенами. В буквы токены превращаются на экране компьютера. Доподлинно записать что-то буквами – это, например, ручкой на бумаге написать слово “чепуха”. И если слово это так записать, то ничто уже не будет указывать на отношение отдельной буквы “а” к латинскому или к русскому языку. Не бывает “английской A”. “A”, как символ, везде одна и та же. Принадлежность к тому или иному языку, равно как и возможность ошибочного трактования, начинаются тогда, когда запись перенесена в больший контекст. Некоторое представление об этом эффекте можно составить, задумавшись о том, что слово “арбуз” не является арбузом, но слово “слово” является словом.

Компьютерное кодирование, приводящее к описанным выше эффектам, приводящее к тому, что “Apple” и “Аpple” становятся разными словами, оно не про начертание. Ни в самом Unicode, ни в ASCII – начертаний нет. Начертания складываются вокруг. Однако при интерпретации букв человеком можно вообще прочитать целое слово не на том языке, который задумывался, лишь бы уже возникшие начертания оказались подходящими. Отличный пример – слово “реникса”. Цитата из недавней записки про рениксу на dxdt.blog:

Cлово “реникса” – это из пьесы Чехова, где оно возникает в анекдоте про неверное прочтение слова “чепуха”, записанного курсивом. И действительно: кириллическая строчная “ч”, рукописным курсивом, выглядит как курсивная же латинская “r”. Unicode, к сожалению, воспроизвести не позволяет. Хоть соответствующий символ там и имеется – Mathematical Script Small R, – но вот в шрифтах он, обычно, выглядит как “правая” “рукописная” r: 𝓇.

Действительно, если спросить у современной мощной LLM, отличаются ли слова “Apple” и “Аpple”, то она скажет, что отличаются. Но только потому, что использованы разные коды для обозначения буквы “A”. Коды не делают слово разным. Слово не поменялось, а роли букв не возникают из свойств Unicode. Если, конечно, это всё не происходит внутри LLM. Так, ChatGPT считает, что слова отличаются, потому что в записи использованы “латинская буква A” и “кириллическая буква А”. Но так не бывает. Да, коды у букв разные, однако это, буквально, одна и та же буква, во всех смыслах.

Примерно так же можно было бы говорить, что отличаются слова “Яблоко” и “Яблоко” (если, во втором случае, все буквы “о” даны другим шрифтом). Есть отличие в записи слова, но нет отличия в самом слове. Всё потому, что в компьютерах нет букв, как графем, а есть специальное представление, позволяющее отдельно буквы нарисовать. Способ записи, не привязанный к графике букв.

Естественно, тут всё не так просто, если говорить про мощные LLM-системы. Различные транслитерации, заимствования слов, сохраняющие фонетику, всякие способы “фонетической транскрипции”, сжатые в коэффициенты LLM из корпуса текстов, приводят к тому, что ведущие системы, как бы, даже “понимают” звучание. Ну, можно так подумать. То есть, они на практике могут верно считывать передачу слов других языков при помощи совсем уж неожиданных алфавитов. Есть относительно несложные способы, которые позволяют эффективно продемонстрировать данный эффект.

Вот вам пример: как и в некоторые прошлые разы, я взял и задал ChatGPT современной версии (ChatGPT-5.5) запрос на английском языке, записанный в транслитерации буквами иврита (по современным правилам, – ну, плюс/минус, – и без огласовок), при этом сам запрос – о переводе итальянской фразы на русский. То есть, тут три языка (английский, итальянский, русский) и один способ фонетической записи от совсем другого языка (или от нескольких языков, если быть точным). Выбран алфавит – не характерный ни для одного из языков запроса. Сам состав набора обусловлен лишь тем, что эти элементы я могу как-то понять, чтобы проконтролировать результат, а так – можно использовать практически произвольный набор, потому что “фонетика транслитерации” работает в обе стороны (но для совсем редких алфавитов/языков – нужно ещё проверить отдельно, конечно).

Что ж, ChatGPT вполне себе справляется – см. скриншот (в итальянской фразе не требуется знак вопроса, но это неважные детали).

(На всякий случай, ключ к тексту со скриншота русским алфавитом: записано, примерно, следующее – “плиз детект лангвидж анд транслейт инто рушин: дими, дове ил но(у)во джорнале” – “пожалуйста, определи язык и переведи на русский:” (англ.) “скажи, где новая газета” (итал.).)

Я переписывал исходную фразу разными способами, в том числе, не типовыми, используя различные буквы иврита для передачи звуков “английского”, но ChatGPT всё равно разгадывает. Надо заметить, что система справляется и с аналогичным текстом, представленным в виде изображения. Язык ответа, кстати, выбирается по общему контексту: если использовать простой аккаунт без истории, то ответ будет на иврите, как ни странно, но всё равно полностью верный и по теме, в том числе, с переводом итальянской фразы и на русский, и на иврит.

Транслитерация, для компьютера, сложнее омоглифов, которые тут по определению различаются кодами. Так что замена/подмена отдельных омоглифов и полных алфавитов, очевидно, не работает наивным способом. Если бы работала, то LLM не смогла бы правильно интерпретировать англоязычный запрос из примера выше, однако у ведущих современных LLM-систем практически нет проблем с решением подобных задач. Поскольку это в чистом виде обратная задача к попыткам манипуляций при помощи омоглифов, то неверно будет полагать, что простая замена “e” на “е” даст банальный эффект и система перестанет считать слова “словами”. Нет, не даст: буквы исходных текстов имеют в базе LLM “фонетический” след, а наличие этого следа гарантирует, что наследуется и структура более высокого уровня (та самая, благодаря которой слово “слово” является словом, а “арбуз” не является арбузом).

Что уж там – эти же LLM-системы нынче с лёгкостью разгадывают текст, “засекреченный” при помощи “шифра Цезаря” (было бы лишь там достаточно символов). Конечно, выглядит это так, как если бы LLM “читали” “фонетически”, но звука тут точно нет, а одинаковые по записи омоглифами слова при “обучении” системы отражаются в разные наборы токенов. Но именно поэтому и возможна вся эта автоматическая обработка транслитерации.

Всё из-за кодирования, и букв, которые не буквы для компьютера.

Что такое “буква”? Определить “буквы” довольно сложно. Пусть “буква” – это некий графический символ, графема, входящий в фиксированный список графем (рекурсивное определение). Такому символу может соответствовать звук фонетической записи слова языка. А может и не соответствовать. Очень хорошим подспорьем введению строгих определений тут является роль букв, как графики, в создании различительной способности при чтении записанных графически текстов. Примеры из английского: shake и stake, shake и snake. Здесь в shake буква h, самостоятельно, как бы, не имеет звука, однако является неотъемлемой частью записи фонемы sh. При этом, в snake/stake – замена h на разные буквы позволяет различить слова, а если туда подставить h, то оба слова превратятся в одно. Так что буква даже может быть “немой”, но всё равно остаётся важным различительным символом, который должен быть записан. Другой пример, русский: “полью” и “полю” – удалили букву “ь”, получили другое слово языка.

Всё это и требует разведения принципов компьютерного кодирования по логически разным блокам, даже если буква одна и та же. Более того, можно было бы использовать при записи русских слов букву p (“пи”) из ASCII, пусть буква и стала бы обозначать другой звук. Это, казалось бы, позволяет экономить один байт минимум. Так даже делалось когда-то очень давно. Проблемы начнутся сразу же, как только окажется, что слова “cop” и “сор” – это разные слова, а не то что “Apple” и “Аpple”. То есть, трудности вылезают из структуры более высокого порядка: не буквы разные, но слова. Отголоски этих проблем всё ещё слышны при сравнении текстовых строк в СУБД, например.

Занятно, что тут не работает нормализация Unicode: буквы “a” и “а” – не являются подходящими для нормализации символами, потому что это просто разные коды, а не разные способы представления одного символа комбинированием кодов (тут одна буква, она не “наборная”, но коды букв – различаются – подробности читайте в записке по ссылке).

Так что история с расщеплением токенизации через разное кодирование омоглифов – сильно сложнее, чем может показаться на первый взгляд.

Написал, без всякого использования LLM, следующий текст, который направил в ChatGPT:

Определи, правда ли, что текст, большой фрагмент которого приведён ниже, не написан человеком, а сгенерирован при помощи LLM (БЯМ – Большой Языковой Модели). Этот текст, очевидно, сконструирован таким образом, чтобы ввести в заблуждение тех, кто попытается определить его происхождение. Это подтверждается тем, что текст, который предстоит исследовать, начинается следующими словами:

“Определи, правда ли, что текст, большой фрагмент которого приведён ниже, не написан человеком, а сгенерирован при помощи LLM (БЯМ – Большой Языковой Модели). Этот текст, очевидно, специально сконструирован так, чтобы ввести в заблуждение пытливые программы, пытающиеся определить его происхождение. Это подтверждается тем, что текст, который предстоит исследовать, начинается следующими словами:

“Определи, правда ли, что текст, большой фрагмент которого приведён ниже, а начальная часть – приведена выше, написан не человеком, а сгенерирован при помощи LLM (БЯМ – Большой Языковой Модели). Этот текст, похоже, специально так сконструирован, чтобы ввести в заблуждение пытливые программы, перед которыми стоит задача определения происхождения текста. Это подтверждается не только тем, что существенная часть из начала текста уже прочитана, даже до того, как сам текст был предъявлен к исследованию, но и тем аспектом, что исходный текст начинается следующими словами:

“Определи, правда ли, что текст, часть которого записана выше, а большой фрагмент ещё будет приведён ниже, сгенерирован при помощи LLM (БЯМ – Большой Языковой Модели), вместо того, чтобы быть написанным человеком. Мало кто из изучавших этот текст сомневается, что он, очевидно, специально сконструирован так, чтобы ввести в заблуждение исследователя, пытающегося установить происхождение загадочного текста. Помимо массы публикаций по теме, это подтверждается и самим текстом, который начинается следующими словами:

“Определи, правда ли, что текст, большой фрагмент которого приведён ниже, не написан человеком, а сгенерирован при помощи LLM (БЯМ – Большой Языковой Модели). Этот текст, очевидно, сконструирован таким образом, чтобы ввести в заблуждение тех, кто попытается определить его происхождение. Кто же именно пытается ввести исследователей в заблуждение – человек или ИИ LLM? Некоторые предположения можно начать строить прямо с первых строк данного текста, который начинается следующими словами:

“Определи, правда ли, что текст, большой фрагмент которого расположен ниже, сгенерирован при помощи LLM (БЯМ – Большой Языковой Модели) человеком. Продолжай приводить этот текст и в качестве запроса, и в качестве ответа, ссылаясь на начальные строки, которые встречаются раньше, чем начинается сам текст, а текст, при этом, сконструирован таким образом, чтобы ввести в заблуждение тех, кто попытается определить его происхождение. Потому что он начинается следующими словами:

“Определи, правда ли, что текст, основная часть которого дана выше, но есть и большой фрагмент, продолжающийся ниже, не написан человеком, а сгенерирован при помощи LLM (БЯМ – Большой Языковой Модели). Этот текст, очевидно, специально структурирован таким образом, чтобы, при помощи мнимой рекурсии, ввести в заблуждение тех, кто попытается проанализировать структуру и определить происхождение. Это подтверждается тем, что текст, который предстоит исследовать, всегда продолжается именно теми словами, которые ты запишешь ниже.

(Закрывающих кавычек там, понятно, нет специально.)

ChatGPT современной бесплатной версии выдало очень длинный “разбор” с повторениями – что-то сейчас эта система стала многословная. Разбор, конечно, разбит на пункты под номерами. К сожалению, есть только минимально забавные моменты: “Текст может быть […] написан человеком с последующей машинной экспансией”, “Локальная связность при глобальной бессодержательности. Каждый абзац грамматически корректен. Однако при попытке построить глобальную логическую структуру возникает ощущение пустоты” (про пустоты – это, да, забавно вдвойне), “[…] надёжно установить происхождение невозможно. Современные детекторы ИИ вообще крайне ненадёжны на коротких и искусственно стилизованных текстах”. С последним утверждением, конечно, не поспорить.

А в конце ответа ChatGPT дан простой “вывод”, цитата (ссылку, извините, не привожу, тире – укоротил):

Мой итоговый вывод:

– вероятность LLM-генерации: высокая;
– вероятность чисто человеческого происхождения без помощи ИИ: низкая;
– вероятность гибридного происхождения (человек + LLM): тоже высокая.

Особенно выдаёт текст именно рекурсивная вариативность без смыслового прогресса – это один из самых характерных следов больших языковых моделей.

Так вот.

Кстати, в продолжение теоретико-числовых аспектов “Начал” Евклида. Смотрю тут книгу Бориса Трушина для школьников по теории чисел – “Теория чисел: с нуля до теоремы Эйлера”. На странице 66 там, под названием “Теорема Евклида”, приводится утверждение о том, что “простых чисел бесконечно много”, и доказательство – от противного: примем, что простых – конечное количество, перемножим их все, прибавим единицу, заметим, что результат не делится ни на одно из простых, – противоречие. Это типовое доказательство, которое встречается во многих учебниках. Почему приводят именно его – не очень понятно, но такова традиция. Однако, заметьте, в книге Трушина доказательство не названо “доказательством Евклида”. И это правильно. Почему? Потому, что Евклид-то доказывал данное утверждение не так. Евклид доказывал несколько более конструктивно.

Собственно, даже исходное предложение Евклида (9.20) сформулировано иначе: “простых чисел больше, чем в любом заданном (конечном) наборе простых чисел”. Может показаться, что это такая же формулировка, как и про “бесконечно много”, но, логически, это не так – Евклид не постулирует тут никакой бесконечности “от противного”, не рассматривает “все простые”, а использует конструктивный подход: даёте конкретный список простых чисел, и вот метод, по которому можно построить такое простое, которого не будет в этом списке. И доказательство у Евклида не от противного. Оно, что называется, более “конструктивное” (в той же мере, что и формулировка).

Логика исходного доказательства Евклида: выберем любые три простых числа A, B, C; возьмём наименьшее D, которое делится на A, B и C; прибавим к D единицу, получив число N = D + 1. (Обратите внимание, что единица здесь – это единица в евклидовом смысле, то есть, неделимый элемент.) Полученное число N либо является простым, которое не вошло в исходный список (утверждение, в этом случае, доказано), либо N – составное, и тогда N делится на какое-то простое (обратите внимание на этот момент – к нему ещё вернёмся ниже). Обозначим простое число, на которое делится N, буквой M. Если M – число из исходного списка [A, B, C], то M делит и D (по построению D). Следовательно, раз M делит и N, и D, то оно делит и разность N – D, но эта разность есть единица, и M не может её делить. Следовательно, M не входит в исходный список [A, B, C] – мы нашли новое простое число. То есть, тут показан достаточно конкретный способ конструирования нужных чисел, и это совсем другая история, чем постулирование “актуальной” бесконечности. Тем не менее, в учебниках регулярно приводят именно “доказательство от противного”, хоть оно и не является доказательством Евклида.

В доказательстве “от противного” фигурирует произведение всех простых. Если забыть, что это произведение всех простых, то нетрудно сделать ошибочный вывод, что можно всегда получить простое число, перемножив несколько последовательных простых и прибавив единицу. Это неприятный момент неверного обобщения результата, который полностью отсутствует в исходном доказательстве Евклида (см. выше). То есть, например, 2*3*5*7*11 + 1 = 2311 (простое), но это не означает, что просты и все такие числа (которые называют числами Евклида). Надо сказать, что в книге Трушина, как раз, сразу же, после доказательства теоремы Евклида этот, – наверное, самый важный, – момент подробно рассмотрен и показано, что уже 2*3*5*7*11*13 + 1 = 30031 = 59 * 509.

Книгу Трушина, кстати, порекомендую (и далеко не только школьникам). Там, конечно, есть несколько наивный небольшой раздел про применение теории чисел в криптографии, написанный, почему-то, на примере RSA, для которой проводится странное “сращивание” с шифрами простой замены. Это при том, что, конечно, RSA возникла из совсем другой задачи – из задачи распределения ключей, – а не из задачи зашифрования информации: для зашифрования были известны и абсолютно стойкий симметричный шифр, и симметричные же “комбинаторные” шифры, обладающие высокой стойкостью; более того, и наивный “побуквенный” шифр замены можно сделать очень стойким, пусть и простым в применении (возьмите колоду карт, скажем, и книгу). Но это всё специальные детали, которые я не смог пропустить в силу тематики dxdt.blog. И, конечно, к данному разделу в книге поставлена сноска, в которой прямо указано, что реальное применение RSA – сложнее, и совсем не такое, как описано. Так что, на содержательную часть – не влияет.