dxdt.blog: занимательный интернет-журнал

Воскресное чтение манускриптов. Продолжение разбора задач из “Арифметики” Диофанта в версии манускрипта Vat.gr.191 (13 век, Ватиканская Апостольская библиотека).

Часть вторая. Первая часть заканчивается разбором формулировки первой задачи в конкретных числах: 100 == X + (X + 40). Если не читали первую часть, то имеет смысл прочитать, ну, перед тем, как приступать ко второй.

Вообще, первая и вторая части тут относятся к одной записке, из которой я решил сделать две, так как рубрика что-то очень редкая. При этом, данный манускрипт с “Арифметикой” (а там не только “Арифметика”, которая начинается с листа 360r) встречался на страницах dxdt уже несколько раз. И, возможно, ещё встретится (если доступы к онлайн-архиву останутся). Так что эта “вторая часть” – это локальная вторая часть, и она посвящена дальнейшему разбору записи первой задачи.

Заметьте, что фундаментальная особенность серии про чтение манускриптов – это именно записи, а не сами задачи (или другие объекты) в современном изложении. Дело в том, что современность изложения, как выясняется, подразумевает достаточно много изменений, в том числе, подразумевает уничтожение “странностей”, которые кому-то показались несущественными. Один из примеров – чертежи в “Началах” Евклида: оказывается, на доступных древних манускриптах с “Началами” отрезки на чертежах к теоретико-числовым Предложениям имеют одинаковую (или почти одинаковую) длину – но если взять современное изложение “Начал”, то там эти отрезки будут перерисованы с различными длинами, соответствующими различным подразумеваемым числовым значениям (больше число – длиннее отрезок).

Нередко анахронизмы, наведённые переносом современной терминологии в прошлое, вообще переворачивают ситуацию с ног на голову. Отличный пример – распространённое представление, что, якобы, Аристотель считал, что тяжёлые тела падают быстрее лёгких. Но в трудах Аристотеля речь вообще о другом процессе. Начать с того, что сама концепция “падения тела”, как её привычно воспринимают сейчас, отсутствует у Аристотеля в принципе: современная трактовка “падения” требует понятия о гравитации, о некотором “притяжении”, а у Аристотеля – тела, “падая”, не падают, в современном смысле, но движутся сквозь среду к их естественному месту в мире, а гравитации – нет. Это, впрочем, тема для другой записки. Тем более, что про эту максимально ошибочную интерпретацию подхода Аристотеля я упоминал ранее.

Анахронизмы – анахронизмами, конечно, но ведь даже доступные манускрипты – это далеко не исходные публикации, а переписанные спустя несколько веков ныне утраченные “исходники” (в кавычках – потому что непонятно, что за материалы использовались на самом деле). Так, рассматриваемый здесь манускрипт Vat.gr.191, согласно его датировке, почти на тысячу лет моложе, чем период, когда действовал сам Диофант. Но тут уж ничего не поделать.

Вернёмся, впрочем, к самой формулировке первой задачи. Ещё раз общий вид фрагмента с задачей со скриншота манускрипта.

В прошлый раз остановились в самом начале третьей строки и разобрали большую редакторскую правку, которая записана слева.

То есть, выбрали “неизвестную” и выяснили, что “вторая часть” – это будет “неизвестная” плюс сорок единиц или X + (X + 40) в современной нотации. Читаем следующий фрагмент.

Здесь (в современной типографике) написано: συναμφότεροι ἄρα γίνονται ἀριθμοὶ δύο μοναδες μ̅· δέδονται δὲ μονάδες ρ̅. Максимально близкий перевод: “Вместе, таким образом, выражают неизвестную дважды, единиц 40: даёт же [всего] единиц 100”. Здесь μ̅ и ρ̅ это числа 40 и 100, соответственно, но обозначены эти числа буквами (с чертой, overline).

Таким образом, из X + (X + 40) мы переходим к X*2 + 40. Здесь X*2 это и есть ἀριθμοὶ δύο – “арифмосы” “дважды” (δύο; вообще, это, пожалуй, максимально знакомое русскоязычному читателю древнегреческое слово: буквально, “два”, даже читается едва ли не более похоже, чем английский вариант того же слова – two; и можно было бы перевести как “дуо-арифмос”, но это, конечно, не совсем так). После “двух арифмосов” и “40 единиц” подчёркивается, что всего дано 100. То есть, сумма должна быть равна сотне единиц (μονάδες ρ̅).

Итак, добрались до X*2 + 40, и 100 – в сумме. Читаем дальше.

Написано: μονάδες ἄρα ρ̅ ἴσαι εἰσὶν ἀριθμοῖς δυσὶ μονάσι μ̅ . Дословный перевод: “единиц, таким образом, сто (100), равны неизвестным двум (и) единицам 40”. Или более естественно: “Таким образом, 100 равно двум неизвестным плюс 40”. То есть, здесь записано: 100 == X*2 + 40.

Задача полностью сформулирована в конкретных числах. Заметьте, что сделанно это с объяснением шагов и преобразований. То есть, что получаем сейчас, если современным языком: “Разность чисел 40, сумма 100; найти числа; запишем формулу X + (X + 40) == 100; следовательно, 2X + 40 == 100”. Совсем простая задача для начальной школы. Как я уже отметил, далеко не все задачи в “Арифметике” Диофанта столь же простые. Далее, на манускрипте, начинается решение. Смотрим.

В современной типографике: καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια, ἀφαιρῶ ἀπὸ τῶν ρ̄ μονάδου μ̄. Перевод: “И из подобного подобное, вычитаю из 100 единиц 40”. К этому фрагменту встречается дополнение, которого нет в рассматриваемом манускрипте Vat.gr.191. В дополнении сказано, что 40 нужно вычитать и из части с удвоенной неизвестной. Скорее всего, у Диофанта достаточным объяснением является вводный фрагмент: “и из подобного подобное”. Этот фрагмент означает, что “единицы” (монады, μοναδες) вычитаются из “единиц”, а неизвестные (арифмос) – остаются. В современных обозначениях: (X*2 + 40) – 40 == 100 – 40.

Текст: λοιποὶ ἀριθμοὶ δύο ἴσοι μονάσιν ξ̄, ἕκαστος ἄρα γίνεσται ἀριθμὸς μονὰδων λ̄. Что дословно означает: “Остаток – неизвестных две равны единицам 60, каждая, таким образом, выходит неизвестная [в] единиц 30”. И здесь имеется в виду то, сколько именно единиц в каждой неизвестной “помещается”. На современном языке, первый шаг (левая часть, до 60): X*2 == 60. Число 60 – это буква кси с чертой (ξ̄). Следующий шаг: X == 60/2 == 30. Число 30 – это лямбда с чертой (λ̄)

Финальный фрагмент.

Это уже ответ. Написано: ἐπὶ τὰσ ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων μονάδων τριάκοντα. ὁ δὲ μείζων μονάδου ο̄. καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά. Перевод: “В действительности: стало же меньшее единиц тридцать, да большее единиц 70. И продемонстрированное очевидно”. “В действительности” (в “иопстаси”, потому что ὑποστάσεις) тут надо читать как “окончательный результат”, то есть, числа ответа: 30 и 70 (ο̄).

А заключительный типовой оборот – “καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά”, – это некий аналог “что и требовалось доказать”, но только в том смысле, что, благодаря продемонстрированному, стал очевидным полученный ответ.

Воскресное чтение манускриптов. Продолжаем читать “Арифметику” Диофанта в версии манускрипта 13 века Vat.gr.191 (Ватиканская Апостольская библиотека).

Чтение манускриптов – далеко не самая частая рубрика, однако данный манускрипт уже встречался на страницах dxdt раньше – рассматривались способы записи степеней, отрицательные и положительные числа, обозначение неизвестной. Сегодня я добрался до формулировки и решения первой задачи, как они даны на манускрипте.

Вообще, некоторые задачи из Диофанта довольно заумные, но к первой это наблюдение не относится – она очень простая. Однако уже на примере первой задачи можно заметить, насколько современная нотация отличается от имевшейся в 13 веке, и, видимо, раньше. Понятно, что по манускрипту 13 века можно судить только о нотации до 13 века: да, Диофант Александрийский – это, предположительно, третий век н.э., почти за тысячу лет до момента создания данного манускрипта, но если бы в 13 веке была какая-то продвинутая нотация, относительно записи в оригинальном труде Диофанта, то неясно, почему её не использовали.

Впрочем, ситуация ниже разобрана довольно подробно, поэтому мы увидим и более странные вещи: древнегреческий текст вообще так записан, как если бы сотрудник скриптория просто копировал звучание слов на слух (но, считается, формулировки именно так были представлены в тех материалах, которыми пользовался переписчик – в частности, это подтверждают исправления на манускриптах; так что, похоже, “на слух” кто-то переписал раньше).

Занятно, что такой подход каким-то образом совсем не мешает использовать при написании манускриптов самые разнообразные скорописные сокращения. Как я неоднократно отмечал, читать данные тексты очень сложно, нужно специально разбираться именно с палеографией: то есть, даже если вы знаете древнегреческий в подходящем варианте, но использовали современную, привычную “транскрипцию” алфавита, то всё равно прочитать подобный манускрипт “прямо с листа” – не выйдет: слишком многие буквы совсем не узнаются, отличий тут даже побольше, чем, например, между кириллическими “печатным буквами” и русским рукописным курсивом.

Казалось бы, если текст всё равно доступен только подготовленному специалисту, – тем более, в 13 веке, – почему же тогда не разработать и не использовать какую-то схему обозначения для “формул”, алгебраическую нотацию? Но нет, даже для обозначения неизвестной здесь использовано полноценное слово – “арифмос” (ἀριθμός – хотя можно было использовать знак, напоминающий s, он уже был у Диофанта).

Итак, общий вид фрагмента с первой задачей:

Здесь слева присутствует пара “маргинальных комментариев”, а точнее – редакторские правки. Нас интересует вторая, и мы ещё до неё доберёмся.

Как обычно, цель этой длинной записки – разобраться детально в том, что же происходит “в исходниках”, так как “Арифметика” Диофанта имеет очень большую важность для истории математики, важность сравнима даже с “Началами” Евклида. Соответственно, я постараюсь все детали объяснить. Поэтому дальше я сперва транслирую древнегреческий текст в современную типографику, чтобы проще прочитать, ставлю скриншот манускрипта с тем же текстом (если хотите – можете самостоятельно побуквенно сопоставить), а следом привожу перевод на русский, как я этот текст понимаю, и подробные объяснения, что там к чему, в свете, так сказать, исторического положения дел.

Формулировка задачи начинается следующими странными словами: τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἐν ὑπεροχῇ τῇ δοθείσῃ.

Перевод максимально близко к тексту: “Заданное значение разбить на два значения, с превышением данным”. Под “превышением” (ὑπεροχῇ) тут имеется в виду разность двух чисел. А “разбить” или “разделить” – обозначает, что нужно представить в виде суммы. То есть, в современных обозначениях, если данное число это A, а разность – N, будет так: A == X + (X + N). Здесь используется слово “арифмос”, иногда оно означает “число” просто, иногда – неизвестную (переменную) или “значение”, как “количество единиц”, особенно, в случае текстов Диофанта. Я будут почти везде использовать либо слово “значение”, либо слово “неизвестная”. Смысл тут в том, что “арифмос”, очень часто, соответствует привычному “иксу” (X).

Следующий фрагмент: ἔστω δὴ ὁ δοθεὶς ἀριθμὸς ὁ ρ̅, ἡ δὲ ὑπεροχὴ μονάδες τεσσαράκοντα. εὑρεῖν τοὺς ἀριθμούς.

Перевод: “Пусть же данно значение 100 (ρ̅ в греческих обозначениях чисел), да превышение – сорок единиц. Найти эти значения”. Здесь выбирается конкретный пример “в числах” для задачи. “Сорок” – записано словом (τεσσαράκοντα), как количество единиц. Эти “единицы” – это то, что называется “монады”. Вообще, для “монад” у Диофанта есть специальное обозначение – Μ “с блобом”, который, на самом деле, буква омикрон Ο: M̊. Но данный манускрипт здесь почти всегда использует запись словом – μονάς/μονάδες.

Тут начались числа, поэтому сразу нужна “шрифтовая” оговорка – обратите внимание на букву ρ (“ро”): это не совсем буква, это обозначение числа 100; древнегреческий способ записи чисел буквами требует указания горизонтальной черты над буквой (overline), но шрифты и Unicode не всегда с этим справляются. Тем не менее, чтобы не переходить на LaTeX, который рендерится в картинки, я тут и далее попробую указывать соответствующий unicode-символ: U+0305, вот так: ρ̅ – надеюсь, отображается нормально. А если нет, не нормально, то буква, скорее всего, будет отображена рядом с чертой: так что те буквы, для которых “черта рядом” – это числа.

Итак, в этом предложении записано, что пусть A == 100, а N == 40, надо найти X в X + (X + 40) == 100. Конкретные условия задачи.

Следущий фрагмент довольно сложный: τετάχθω ὁ ἐλάσσων ἀριθμοῦ ἑνὸς· [μονάδ(ων) ̄μ] ὁ ἄρα μείζων ἔσται ἀριθμοῦ α̅ μονάδων μ̅ .

Обратите внимание, что тут зачёркнута часть предложения. Мы добрались до важной правки. Часть предложения зачёркнута и на манускрипте (см. скриншот). К зачёркнутому – поставлена ссылка (знак, похожий на полумесяц), которая ведёт на редакторский комментарий – он записан слева. Это исправление пропущенного переписчиком фрагмента, но выполненное постфактум. То есть, тут в конце строки основного текста (справа на скриншоте) было записано окончание следующего фрагмента, который тоже на μ заканчивается: переписчик поторопился и перепрыгнул, пропустил кусок; такое случается довольно часто. Получилось, что пропущено несколько слов, но зато записано “сорок монад”, а это относится к другой части текста; недостающие слова как раз добавлены в редакторской правке, а исходная ошибка – вычеркнута. В других манускриптах этот фаргмент присутствует прямо в основном тексте. Я так же добавил текст правки в основную строку (см. выше).

Дословный перевод, с учётом правки: “Задали меньшее значение “единично”, тогда большее есть (это же) число “единожды” [плюс] сорок единиц”. Обратите внимание, что я тут развернул “монады” в слово, но исходный текст правки – на поле слева – содержит M̊. Итак, тут сказано: положим, что меньшее число есть X, тогда большее будет X + 40. Но вот только вместо “икса” используется “значение” (“арифмос”), взятое один раз – буквально: ἀριθμοῦ ἑνὸς – “арифмос” “единожды”. А прибавление 40 единиц – записано просто, “сорок единиц”, и “плюс” ничем не обозначен.

Что могло бы означать “значение, взятое единожды”? Оно означает, что это X*1 (справа!). То есть, хоть и справа, но это просто коэффициент при X – единица. В принципе, в исходной нотации могло бы быть записано как s и “альфа” – коэффициент единица при “неизвестной”. Буквально в том же предложении, но ближе к концу, используется почти что такое обозначение: α̅ – альфа с чертой, число обозначено буквой, а не записано словом: “1” против “единица”. Однако в основном тексте в этом манускрипте подобные обороты нередко записаны словами.

Это всё очень похоже на то, как, взяв выражение в современной нотации “1*x + 40”, записать это же выражение, но “со слов”: “один икс и сорок единиц”. Причём союз “и” тут пропускается (было бы καί): “один икс сорок единиц”. Почему так происходило в скриптории? Не очень понятно. Может быть, кто-то когда-то действительно продиктовал предложение в математической нотации, а сотрудники скриптория записали буквально словами.

(Продолжение следует.)

Воскресное чтение манускриптов. Продолжаем несколько беспорядочное чтение предисловия из “Арифметики” Диофанта. В версии манускрипта 13 века Vat.gr.191 из Ватиканской Апостольской библиотеки. В прошлый раз – изучали фрагмент про “минус на минус” и обозначение “отрицательных” величин. В этот раз – вернёмся немного назад и прочитаем про два других обозначения: про “число”, как “Число” и про “монаду” (почти как в языке Haskell).

Мы раньше уже встречались с обозначением степеней (неизвестной) у Диофанта, и там был “кубо-кубос” (κυβόκυβος – Κ^ΥΚ ) для шестой степени – то есть, “куб плюс куб”. Там же был и квадрат – “дунамис” (“динамис”). Случай, когда никакой степени при неизвестной нет, – это, в современных обозначениях, просто x, – Диофант описывает отдельно.

В манускрипте написано: “Не получившее никакого названия [степени], но содержащее в себе неопределённое количество единиц, Числом (ἀριθμός) назовём, и пусть его обозначение – ς”.

Однако обозначение ς, “сигма” тут – весьма условное: знак только похож на сигму, но это точно не сигма. Так, на данном манускрипте вообще-то используется некий S-образный знак с волной и кружочком, он в середине скриншота, а увеличенный фрагмент – дан ниже.

В разных источниках этот знак переменной тоже разный. Кроме “похожего на сигму”, как здесь, встречаются: Ч-подобный знак, разные “волны с точками и кружками”, иногда иные варианты (дзета и т.д.). Очень загадочный знак. Непонятно, откуда он взялся, если не из сокращения слова ἀριθμός, тем более, что такая логика хорошо укладывается в схему именования других объектов Диофантом, как “кубусы” с каппой и т.д. (см. например, T. L. Heath. Diophantus of Alexandria).

Да и на рассматриваемом здесь манускрипте Vat.gr.191 нетрудно заметить, что вместо этого странного значка, далее по тексту, часто используется как раз скорописное сокращение для слова ἀριθμός. Так что, вполне возможно, что обозначение неизвестной в первой степени и у исходного Диофанта – это ни “сигма”, ни ещё какая-то буква, а специальный знак для слова “арифмос” (откуда, понятно, происходит “арифметика”).

Теперь к монадам. Вторая часть выделенного на скриншоте текста (после странного “сигма-знака” для “арифмоса”) – это описание и название для свободного коэффициента. То есть, для константы, которая входит в уравнение, соотвествующее той или иной задаче. Константы нужно отличать от переменных: “Другой знак для неизменяемого и определённого количества единиц будет “Μ”, несущая “Ο” сверху: M̊” – написано у Диофанта. Диофант задаёт при помощи этого обозначение контекст вычислений. Не сомневайтесь – тут прямо противопоставлены “переменные” и “константы”, в соседних предложениях. Это “мю” (Μ) в обозначении свободного коэффициента – первая буква слова μονάς – “монас”/”монада”. Монада используется у Диофанта именно в смысле выделенного инструмента, позволяющего понятийно отделить место для числа, от самого числа, при преобразованиях. Если вы подумали, что монадой, по принципу использования, тут является “арифмос”, как переменная, то это не так – у Диофанта понятия вводятся из соображений выделения отличий между преобразованиями. Поэтому и степени переменной обозначаются разными именами: “динамис”, “дианамо-динамис”, “кубо-кубос”, а не как принято сейчас – коэффициентом при обозначении неизвестной. Поэтому монада тут нужна именно для фиксирования преобразования. Ну, то есть, сейчас бы, на техничном языке, сказали бы, что это “функториальный инструмент”. Почти что как монада, используемая для обёртывания, например, операций ввода в Haskell. Да и название совпадает, что, конечно, естественно: сам термин “монада” – образован от древнегреческого слова.

Некоторое время назад мы уже находили на манускриптах древние знаки “дипле”, которые сейчас используются с той же целью – для обозначения цитируемого фрагмента текста в сообщении электронной почты, например. В этот раз – в тексте Диофанта используется монада, причём, в том же понятийном ключе, как и в современном языке программирования Haskell, но не только там.

Воскресное чтение манускриптов. Продолжаем читать фрагменты “Арифметики” Диофанта, в изложении манускрипта 13 века Vat.gr.191 из Ватиканской Апостольской библиотеки (пока ещё до сайта библиотеки есть доступ). Манускрипт на древнегреческом. В прошлый раз изучали, как обозначаются степени (неизвестной) при помощи букв Δ и Κ на том же манускрипте. В этот раз – предложение про “отрицательность” и “положительность”. Как говорится, “минус на минус даёт плюс”. Как ни странно, но буквально это и написано в данном манускрипте, на следующей странице после определения записи степеней. А именно – см. скриншот ниже (я выделил соответствующий фрагмент).

Здесь сразу пара занятных моментов.

Во-первых, Диофант не использует концепцию отрицательных и положительных чисел в полном смысле, как это описывали бы сейчас, то есть, при помощи понятия обратных по сложению чисел, сумма которых равна нулю. Зато у Диофанта есть понятие “дефицит” (“нехватка” – там в женском роде, но это неважно), которое обозначается словом λεῖψις, и обратное к “дефициту” понятие – “достояние”, которое обозначается словом ὕπαρξις (здесь, видимо, в общем значении – “существование”, но в смысле – “имущество”, а именно, “то, что есть”).

Это, как бы, “убыток” и “наличие”, но, вообще-то, – эквивалентны “минусу” и “плюсу”. И вот здесь, во фрагменте со скриншота, Диофант пишет, что “дефицит на дефицит умноженный, даёт достояние, а дефицит на достояние – даёт дефицит”. То есть, буквально, “минус на минус – даёт плюс”, а “минус на плюс” – даёт минус.

Во-вторых, здесь же вводится обозначение для “дефицита” – в виде некоторого символа, типа “шалаша” из трёх чёрточек, который сейчас принято обозначать “𐅢” – если на вашем устройстве не отображается, то это такая вот усечённая “индейская национальная изба”, как в известном советском мультфильме. Однако в тексте с манускрипта эти три чёрточки интерпретируются несколько иначе. То есть, сам фрагмент с манускрипта (конец третьей подсвеченной строки, в современной типографике, без знаков препинания): “καὶ τῆς λείψεως σημεῖον Ψ ἐλλιπὲς κάτω νεῦον 𐅢”. Это переводится так: “и дефицита обозначение – Ψ, урезанное, вниз обращённое: 𐅢”. Однако данный фрагмент выглядит странным: зачем переворачивать и усекать пси? Так что данный кусочек мог быть дописан к исходному тексту в качестве пояснения, кем-то из сотрудников скриптория, а в исходнике Диофанта его не было.

Тут не нужно забывать, что манускрипт-то – 13 века, но исходный текст старше на тысячу лет, или около того, поскольку период деятельности Диофанта Александрийского – это третий век. Дописать пояснение могли раньше, не в 13 веке. Но всё равно, на момент дополнения текста, исходнику могло быть несколько веков. Смысл пояснения про “пси-переворот” в том, что странный знак нужно было описать текстом, для тех, кто будет переписывать манускрипт позднее. Забавно, но, буквально, та же история, как и в предыдущем абзаце, где я попытался описать символ словами про индейскую избу, на тот случай, если символ не отображается на вашем устройстве.

При этом сам Диофант, предположим, использовал просто некий вариант Λ с дополнительной “ногой”, потому что Λ (лямбда) – это первая буква слова λεῖψις, но чистую лямбду сложно отличить от обозначения числа 30 (см. например, T. L. Heath. Diophantus of Alexandria. Cambridge, 1910). Довольно интересная трактовка.

И, кстати, странные закорючки в начале первой и второй строки фрагмента на скриншоте выше, это скорописное сокращение слова ἐπί, кто бы мог подумать: см. скриншот ниже.

Слово встречается много раз, в том числе, на скриншоте, а сокращение – содержит все диакритические знаки из современной типографики, если приглядеться.

Ферма сформулировал самую знаменитую теорему имени Ферма на полях одного из изданий “Арифметики” Диофанта. Труды Диофанта сейчас доступны и в более древних вариантах, чем тот, которым пользовался Ферма. Но, понятно, всё в электронном виде. Однако это позволяет очередной раз взглянуть на древнюю математическую нотацию, чтобы оценить разрыв с нотацией современной.

Воскресное чтение манускриптов. Cегодня – совсем небольшой фрагмент “Арифметики” Диофанта в версии манускрипта 13 века н.э. Vat.gr.191 из коллекции Ватиканской Апостольской библиотеки. Диофант Александрийский, как считается, работал в третьем веке нашей эры, то есть, примерно, за десять веков до написания данного манускрипта. В этом фрагменте (лист 360r) Диофант определяет свою нотацию для записи степеней неизвестной – квадрата, куба и так далее – см. скриншот.

В выделенном фрагменте Диофант пишет (перевод – максимально близко к тексту): “Соответственно, тогда каждое из тех чисел, сокращённое обозначение получив, элементом арифметической теории становится; назовём же теперь квадратную степень, и да станет она обозначаться [буквой] Δ, имеющей сверху Υ, [Δ^Υ] степень”.

Дельта здесь – это первая буква δύναμις. На данном манускрипте, как раз, написано с ошибкой – указана строчная буква δ. Почему δύναμις? Это как в русском “динамо-” – “сила, мощь”, но в значении английского power. То есть, это именно степень, но вторая – квадрат.

Дальше идёт третья степень: “Дальше – куб, и с [буквой] Κ, имеющей сверху Υ, Κ^Υ – куб”. Каппа здесь, конечно, от κύβος, “кубос” или куб.

Дальнейший текст на скриншоте не выделен, но, на базе этих двух обозначений, для квадрата и куба, Диофант далее систематически строит “составные” степени, вплоть до шестой. Например, Δ^ΥΔ – “дельта-дельта” или, если хотите буквально, “динамодинамис” – δυναμοδύναμις (середина нижней строки на скриншоте, если хотите прочитать исходник). Δ^ΥΔ, это, конечно, четвертая степень – потому что “квадрат квадрата”.

На полях данного манускрипта тоже есть заметки – схолии. Но это тема для другой записки.

Кстати, в продолжение записки про геометрическую алгебру Евклида и разность квадратов – воскресное чтение манускриптов (давно не было). Как известно, основная часть трудов Евклида дошла до нас лишь в средневековых “копиях копий”. То есть, на манускриптах. Один из важнейших таких манускриптов – Vat.gr.190 из Ватиканской апостольской библиотеки, датируемый девятым веком нашей эры и содержащий тексты “Элементов” (“Начал”). Фрагмент с записью формулировки Предложения 5 из второй книги на древнегреческом приведён на скриншоте ниже.

За исключением комментариев на полях и между строк (схолии), это как раз тот текст, который упоминается в исходной записке (плюс пара строк начала доказательства; сама формулировка заканчивается словом τετραγώνῳ во второй строке снизу на скриншоте, а схолии легко распознать, – не не прочитать, – благодаря другим чернилам и почерку).

А вот чертёж из манускрипта, соответствующий этому Предложению, почему-то подкачал – см. следующий скриншот.

Здесь и точка Γ не делит прямую линию на равные части, и Δ прижата не к той границе. Казалось бы, для геометрии это не так уж важно, смысл не меняется, но всё же.

Воскресное чтение манускриптов. Сегодня у нас фрагмент “Илиады”. Не только на манускрипте, но и на папирусе. Не всё из записей на папирусах, что считается фрагментами “Илиады”, точно укладывается в современный канонический текст, представленный на манускрипте Venetus A (ну, насколько он может быть каноническим: “Илиада”, между прочим, опубликована, – ну, в строгом смысле, то есть, напечатана, – впервые только в 15 веке). При этом именно кусочки папирусов дают одну из важнейших хронологических опор, позволяющих определить, что текст “Илиады” древнее, чем Venetus A, который датируется десятым веком нашей эры.

На папирусе (точнее, на кусочке папируса) P.Mich.Inv.6972 (датируется вторым веком до н.э.), который представлен на скриншоте ниже, как раз пример отличающегося в некоторых деталях текста.

Здесь две колонки – левая и правая. Они соответствуют строкам 421-434 и 445-460 десятой книги (песни) “Илиады”. При этом, например, слово из первой строки папируса – ἐπιτρωπῶσι (“доверяют”) – хоть и укладывается в Venetus A (см. ниже), но это другое слово: на Venetus A используется ἐπιτραπέουσι (“вверяют”/”вверямши”). И там, и там – строка заканчивается одинаково: φυλάσσειν (“сторожить/охранять”). Соответствующий фрагмент Venetus A (я отметил строку 421 и упомянутое слово):

Увеличенный фрагмент папируса с повышением контраста:

И это не только не единственное расхождение, но и не самое существенное: так, на этом же папирусе присутствует совсем другая версия строки 433 (тема для отдельной заметки). То есть, как минимум, более древние записи сильно расходились с “современным” древнегреческим текстом.

Интересно, что из других, максимально древних, источников по “Илиаде” есть, например, различные художественные сюжеты, запечатлённые, скажем, на барельефах, на керамических сосудах. Их много. Эти сюжеты укладываются в какие-то знаковые текстовые описания сцен из “Илиады”. Однако, несмотря не все археологические изыскания, остаётся вопрос: рисовались ли те сюжеты по текстам, или тексты, – возможно, много позднее, – были написаны под нарисованные сюжеты?

Воскресное чтение манускриптов. Манускрипт Vat.gr.1605 из Ватиканской Апостольской библиотеки уже несколько раз упоминался на dxdt.ru. Например, в связи с “кубосом”, иллюстрирующим способ вычисления объёмов. На соседней с “кубосом” странице этого манускрипта, а также на странице предыдушей, описаны и нарисованы круги, тоже с вычислениями. Их и рассмотрим.

Специалиста, подготовившего исходные тексты манускрипта, называют иногда Героном Византийским (не Александрийским, на которого он ссылается), иногда Героном Младшим, а также – византийским Анонимом. Манускрипт Vat.gr.1605 датируют одинадцатым веком, первая часть труда посвящена осадным машинам, методам взятия крепостей и прочим хитростям военного дела, а вторая часть называется “Геодезия” и посвящена сугубо практическим методам измерений “на местности”, которые необходимы, кроме прочего, “для правильного определения высоты крепостных стен, без приближения к ним”. Методы дистанционного измерения здесь, конечно, оптические и основаны на применении диоптры (διόπτρα) – угломерного прибора, предшественника теодолита. (Способы применения диоптры подробно разобраны у более известного Герона – Александрийского.) Именно при помощи диоптры предлагается измерять первый круг. Соответствующая схема круга – на скриншоте из манускрипта.

Буквой α обозначен центр круга, по периметру которого сидят кустики и лежат камни (и они тут не просто так нарисованы – см. ниже). Радиус круга – ρε под чертой (черта обозначает запись числа); это число 105, в греческих буквенных обозначениях: ρ == 100; ε == 5; Единица измерения длины: оргия (ὄργυια); то есть, буквально, сажень, однако это не важно для геометрической интерпретации. Слева, в вертикальной записи, обозначена длина окружности: χξ, что соответствует 600 + 60 == 660. Ближе к центру, снизу от α, – площадь круга: λδ καὶ χν, что означает 34 (λδ) [тысячи] и (лигатура ϗ) 600 + 50 == 650, всё вместе: 34650 (квадратных саженей). Тысячи на иллюстрации обозначены диагональной чертой перед λ, а в тексте – прямо записаны словом как “тысячи” (χιλιάδων), что хорошо видно на скриншоте (нижняя строка, я отметил зелёными линями и буквами).

Зачем кустики и камни? Герон Византийский в тексте подробно описывает, как нужно строить окружность на местности. Это ведь практическое руководство. Описание такое: установить диоптру в будущий центр, в точку α, после чего взять прямую линию визирования по некоторой другой точке, обозначив её β, – тогда αβ будет радиусом, – и дальше, поворачивая визир диоптры, отмечать в плоскости круга на земле опорные точки по визуальным ориентирам – кустам, камням или другим хорошо заметным предметам; на иллюстрации соответствующие интервалы обозначены буквами по алфавиту. Потому что диоптра – это такой инструмент с транспортиром (диском), винтами и визиром, установленный на моноподе. Так что, пусть манускрипт и подготовлен почти тысячу лет назад, но логика текста отражена на иллюстрации почти во всех необходимых для практического руководства деталях: не хватает только изображения, собственно, диоптры.

В тексте манускрипта приводится и подробный расчёт параметров размеченного на земле круга, исходя из радиуса, который определяется при помощи измерения диоптрой. А именно: радиус нужно удвоить, получив диаметр: 105 * 2 == 210; так как длина окружности составляет “3⅐ диаметра”, то она равна 660, “поскольку это число содержит три раза по 210 и одну седьмую от 210”. Здесь отношение длины окружности к диаметру принято 3⅐, – приблизительно 3.14 в десятичной записи, – неплохое рациональное приближение современного π. Площадь круга находится из тех соображений, что произведение диаметра на длину окружности – это четыре площади круга, соответственно, нужно взять одну четверть от 210*660, что и даст 34650.

Заметьте, между прочим, что хоть это и 11 век, но одна четверть, как ни странно, тут уже сокращённо записывается с горизонтальной чертой, и очень похоже на 1/4 (см. в центр скриншота, отмечено зелёными цифрами и стрелкой).

Со вторым кругом всё несколько проще. Так пишет и сам Герон Византийский: здесь окружность рисуется при помощи натянутой от центра верёвки, человеком, у которого не оказалось экзотического прибора – диоптры.

Этот круг поменьше. Радиус: λε == 30 + 5 == 35 саженей; периметр: ςκ == 200 + 20 == 220 саженей; площадь круга: γων == 3 (тыс) + 800 + 50 == 3850 саженей – ровно в девять раз меньше предыдущего круга, что очередной раз подчёркивает полезные свойства рациональных чисел.

Воскресное чтение манускриптов. Классический способ оформления цитируемых фрагментов в переписке по электронной почте основан на знаке “больше” – “>”, – который ставится в начале строки, с нужным количеством повторов, когда цитата оказывается внутри цитаты. Нередко этот же знак используется для обособления цитат и вне электронной почты, например, при переписке в чате.

Схожие знаки встречаются и в средневековых манускриптах (и не только там). Пусть метод очевидный, но всё равно занятный. Вот, например, встретился такой фрагмент манускрипта Urb.gr.15 (“Слова” Григория Богослова, десятый век, Ватиканская Апостольская библиотека):

И здесь знаками, напоминающими “>”, отмечена цитата из книги пророка Михея (Мих.2:10), использованная в тексте Григория Богослова (Слово 9), который ссылается на соответствующий стих так (самое начало текста на скриншоте): […]”Μιχαίας λέγειν, χαμόθεν ἡμᾶς ἀνέλκων ἐπι τὰ ἡμέτερα ὕψη” (“[…]Михей говорит, от земли нас поднимая на нашу (собственную) высоту”).

А более близкий к “>” по начертанию знак называется “дипле” (διπλῆ), и в дополнение к нему нередко, – но не всегда, – шли точки, расположенные сверху и снизу. Знак, конечно, не обязательно обозначал библейскую цитату, как и цитату вообще. Пример из Venetus A:

Этот фрагмент “про птицеведов”, кстати, недавно встречался в заметке про квантовые вычисления у Гомера.

Рентгенофлуоресцентный анализ микроскопических фрагментов нарисованных точек позволяет находить следы меди в чернилах, что, в свою очередь, облегчает датировки.

Воскресное чтение манускриптов. Ватиканский кодекс (Vat.gr.1209) – один из важнейших источников библейских текстов на древнегреческом. Основную часть манускрипта датируют четвёртым веком (н.э.), но в нём есть добавления, сделанные в 15 веке – новые листы с переписанным текстом подшиты взамен утраченных. На полях и между колонками текста данного манускрипта встречаются необычные “умляуты” или “двойные точки” (distigmai) – см. скриншот ниже.

Считается, что такими точками обозначены места в тексте, которые отличаются в других источниках. Так, на фрагменте листа со скриншота точками обозначено начало 17 стиха второй главы Евангелия от Марка. То есть, это редакторские знаки. И вот, эти точки на данном манускрипте академические палеографы обнаружили и признали значимыми только в начале 90-х годов двадцатого века. Тридцать лет назад. Что несколько неожиданно. Ну, понятно, конечно, что если знаки эти всё же полагать редакторскими, то они просто должны были быть известны в такой роли и сильно раньше, но тогда в какой-то момент инструкция была утрачена, а “данные – удалены”.

Если знаки были поставлены в четвёртом, предположим, веке, то это могло бы означать, что уже тогда существовало много разных вариантов текста и сотрудник скриптория о них знал. Но если знаки добавлены позже, то о факте доступности разночтений сотруднику скриптория из четвёртого века – судить по таким отметкам уже нельзя. В манускрипт не только добавляли отметки на полях, но и вставляли листы со свежими записями, кроме того – обновлялись и оригинальные записи: выцветающий текст “прописывался” поверх свежими чернилами. Поэтому одни исследователи считали, что знаки поставлены в четвёртом веке, возможно, в ходе создания манускрипта, а другие – считали, что позже, в рамках деятельности по обновлению, систематизации и кодификации записей.

Естественно, момент датировки отметок о разночтениях в Ватиканском кодексе – это весьма важный, в исторической перспективе, момент. Недавно его прояснили при помощи сравнительного рентгенофлуоресцентного анализа чернил, которые встречаются на листах данного манускрипта. В свежей работе (“Did the Original Scribes Write the Distigmai in Codex Vaticanus B of the Bible?”, Gordon et al., The Vatican Library Review 3, 2, 125-156) чернила, которыми сделаны упомянутые отметки в виде двух точек, датируют началом 16 века. То есть, даже позже момента написания листов на замену утраченным. Датировка основана на наблюдении над примесями металлов в составе чернил.

(Source: “Did the Original Scribes Write the Distigmai in Codex Vaticanus B of the Bible?”, Gordon et al., The Vatican Library Review 3, 2, 125-156.)

Основа чернил содержит примеси, которые можно обнаружить при помощи спектрометрии. Конкретно – в качестве маркера используется медь. Основной текст манускрипта записан чернилами, которые содержат существенную долю медной примеси. Но есть и другие чернила, в которых медный след практически не заметен. Считается, что такие чернила без меди появились в Европе не раньше 16 века.

Все обсуждающиеся здесь редакторские знаки из двух точек оказались записаны на манускрипте чернилами без меди, а буквы окружающего текста, к которому отметки относятся, другие значки – чернилами с медным следом. Логичный вывод: вряд ли отметки сделаны раньше 16 века. Ну или придётся допустить, что в старых скрипториях использовались чернила двух типов: для основного текста – “с медным спектором”, а для особых точек на полях – не менее особые чернила, купоросная основа которых прошла дополнительную химическую очистку, а сами эти чернила поступили в гражданский оборот лишь двенадцать веков спустя.

Интересно, что если медный след на спектре является неплохим признаком для хронологической сортировки знаков, то цвет чернил – таким признаком здесь не является, так как почему-то загадочные двойные точки присутствуют в двух цветах: в “шоколадном” и “абрикосовом”. В работе предполагают, что это может быть результатом различной толщины слоя чернил.

Кстати, занятный момент, который исследователи выявили в результате “фингерпринтинга” чернил по спектру, связан с процессом обновления текста манускрипта. Как уже упоминалось выше, буквы основного текста манускрипта обводились позже (возможно, не раз). И вот, на некоторых страницах, чернила, которыми записан оригинальный (исходный) текст, отличались по полученному спектру от чернил, использованных для обновления на этой же странице, но совпадали с чернилами, использованными для обновления на другой странице.

Воскресное чтение манускриптов. А точнее – наблюдение над “вырезками” и рыбами. Так, из страниц манускрипта Vat.Gr.1990 (Ватиканская Апостольская библиотека), датируемых 10 веком, кто-то сделал немало вырезок, забрав себе орнаментальные виньетки, разделявшие статьи. Пример, сопровождающийся рисунком рыбы, на скриншоте (это вступление и начало текста одного из трудов, приписываемых Иоанну Златоусту):

Заметьте, что изображение рыбы вырезать не стали.

Вот пример с уцелевшей виньеткой и рыбой из того же манускрипта в начале другой статьи (написано, что это Слово Леонтия, пресвитера Константинопольского, на Пятидесятницу – изображения рыб, естественно, тут имеют конкретный смысл):

Удаление виньетки привело к потере части текста на обратной стороне листа. Можно было бы подумать, что удаляли, по соображениям цензуры, именно часть текста (такое бывает: “данные удалены”, как говорится), но нет – тут почему-то более или менее аккуратно вырезаны именно виньетки. Вряд ли виньетки содержали закодированные послания, по типу QR-кода. Хотя, всякое возможно в средневековом скриптории. Как бы там ни было, но возникшие лакуны в текстах, где возможно, потом заполняли по другим копиям или по переводам, например, латинским. Но если орнамент виньетки содержал код послания, то это послание потеряно.