dxdt.blog: занимательный интернет-журнал

Воскресное чтение манускриптов. Продолжение разбора задач из “Арифметики” Диофанта в версии манускрипта Vat.gr.191 (13 век, Ватиканская Апостольская библиотека).

Часть вторая. Первая часть заканчивается разбором формулировки первой задачи в конкретных числах: 100 == X + (X + 40). Если не читали первую часть, то имеет смысл прочитать, ну, перед тем, как приступать ко второй.

Вообще, первая и вторая части тут относятся к одной записке, из которой я решил сделать две, так как рубрика что-то очень редкая. При этом, данный манускрипт с “Арифметикой” (а там не только “Арифметика”, которая начинается с листа 360r) встречался на страницах dxdt уже несколько раз. И, возможно, ещё встретится (если доступы к онлайн-архиву останутся). Так что эта “вторая часть” – это локальная вторая часть, и она посвящена дальнейшему разбору записи первой задачи.

Заметьте, что фундаментальная особенность серии про чтение манускриптов – это именно записи, а не сами задачи (или другие объекты) в современном изложении. Дело в том, что современность изложения, как выясняется, подразумевает достаточно много изменений, в том числе, подразумевает уничтожение “странностей”, которые кому-то показались несущественными. Один из примеров – чертежи в “Началах” Евклида: оказывается, на доступных древних манускриптах с “Началами” отрезки на чертежах к теоретико-числовым Предложениям имеют одинаковую (или почти одинаковую) длину – но если взять современное изложение “Начал”, то там эти отрезки будут перерисованы с различными длинами, соответствующими различным подразумеваемым числовым значениям (больше число – длиннее отрезок).

Нередко анахронизмы, наведённые переносом современной терминологии в прошлое, вообще переворачивают ситуацию с ног на голову. Отличный пример – распространённое представление, что, якобы, Аристотель считал, что тяжёлые тела падают быстрее лёгких. Но в трудах Аристотеля речь вообще о другом процессе. Начать с того, что сама концепция “падения тела”, как её привычно воспринимают сейчас, отсутствует у Аристотеля в принципе: современная трактовка “падения” требует понятия о гравитации, о некотором “притяжении”, а у Аристотеля – тела, “падая”, не падают, в современном смысле, но движутся сквозь среду к их естественному месту в мире, а гравитации – нет. Это, впрочем, тема для другой записки. Тем более, что про эту максимально ошибочную интерпретацию подхода Аристотеля я упоминал ранее.

Анахронизмы – анахронизмами, конечно, но ведь даже доступные манускрипты – это далеко не исходные публикации, а переписанные спустя несколько веков ныне утраченные “исходники” (в кавычках – потому что непонятно, что за материалы использовались на самом деле). Так, рассматриваемый здесь манускрипт Vat.gr.191, согласно его датировке, почти на тысячу лет моложе, чем период, когда действовал сам Диофант. Но тут уж ничего не поделать.

Вернёмся, впрочем, к самой формулировке первой задачи. Ещё раз общий вид фрагмента с задачей со скриншота манускрипта.

В прошлый раз остановились в самом начале третьей строки и разобрали большую редакторскую правку, которая записана слева.

То есть, выбрали “неизвестную” и выяснили, что “вторая часть” – это будет “неизвестная” плюс сорок единиц или X + (X + 40) в современной нотации. Читаем следующий фрагмент.

Здесь (в современной типографике) написано: συναμφότεροι ἄρα γίνονται ἀριθμοὶ δύο μοναδες μ̅· δέδονται δὲ μονάδες ρ̅. Максимально близкий перевод: “Вместе, таким образом, выражают неизвестную дважды, единиц 40: даёт же [всего] единиц 100”. Здесь μ̅ и ρ̅ это числа 40 и 100, соответственно, но обозначены эти числа буквами (с чертой, overline).

Таким образом, из X + (X + 40) мы переходим к X*2 + 40. Здесь X*2 это и есть ἀριθμοὶ δύο – “арифмосы” “дважды” (δύο; вообще, это, пожалуй, максимально знакомое русскоязычному читателю древнегреческое слово: буквально, “два”, даже читается едва ли не более похоже, чем английский вариант того же слова – two; и можно было бы перевести как “дуо-арифмос”, но это, конечно, не совсем так). После “двух арифмосов” и “40 единиц” подчёркивается, что всего дано 100. То есть, сумма должна быть равна сотне единиц (μονάδες ρ̅).

Итак, добрались до X*2 + 40, и 100 – в сумме. Читаем дальше.

Написано: μονάδες ἄρα ρ̅ ἴσαι εἰσὶν ἀριθμοῖς δυσὶ μονάσι μ̅ . Дословный перевод: “единиц, таким образом, сто (100), равны неизвестным двум (и) единицам 40”. Или более естественно: “Таким образом, 100 равно двум неизвестным плюс 40”. То есть, здесь записано: 100 == X*2 + 40.

Задача полностью сформулирована в конкретных числах. Заметьте, что сделанно это с объяснением шагов и преобразований. То есть, что получаем сейчас, если современным языком: “Разность чисел 40, сумма 100; найти числа; запишем формулу X + (X + 40) == 100; следовательно, 2X + 40 == 100”. Совсем простая задача для начальной школы. Как я уже отметил, далеко не все задачи в “Арифметике” Диофанта столь же простые. Далее, на манускрипте, начинается решение. Смотрим.

В современной типографике: καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια, ἀφαιρῶ ἀπὸ τῶν ρ̄ μονάδου μ̄. Перевод: “И из подобного подобное, вычитаю из 100 единиц 40”. К этому фрагменту встречается дополнение, которого нет в рассматриваемом манускрипте Vat.gr.191. В дополнении сказано, что 40 нужно вычитать и из части с удвоенной неизвестной. Скорее всего, у Диофанта достаточным объяснением является вводный фрагмент: “и из подобного подобное”. Этот фрагмент означает, что “единицы” (монады, μοναδες) вычитаются из “единиц”, а неизвестные (арифмос) – остаются. В современных обозначениях: (X*2 + 40) – 40 == 100 – 40.

Текст: λοιποὶ ἀριθμοὶ δύο ἴσοι μονάσιν ξ̄, ἕκαστος ἄρα γίνεσται ἀριθμὸς μονὰδων λ̄. Что дословно означает: “Остаток – неизвестных две равны единицам 60, каждая, таким образом, выходит неизвестная [в] единиц 30”. И здесь имеется в виду то, сколько именно единиц в каждой неизвестной “помещается”. На современном языке, первый шаг (левая часть, до 60): X*2 == 60. Число 60 – это буква кси с чертой (ξ̄). Следующий шаг: X == 60/2 == 30. Число 30 – это лямбда с чертой (λ̄)

Финальный фрагмент.

Это уже ответ. Написано: ἐπὶ τὰσ ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων μονάδων τριάκοντα. ὁ δὲ μείζων μονάδου ο̄. καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά. Перевод: “В действительности: стало же меньшее единиц тридцать, да большее единиц 70. И продемонстрированное очевидно”. “В действительности” (в “иопстаси”, потому что ὑποστάσεις) тут надо читать как “окончательный результат”, то есть, числа ответа: 30 и 70 (ο̄).

А заключительный типовой оборот – “καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά”, – это некий аналог “что и требовалось доказать”, но только в том смысле, что, благодаря продемонстрированному, стал очевидным полученный ответ.

Воскресное чтение манускриптов. Продолжаем читать “Арифметику” Диофанта в версии манускрипта 13 века Vat.gr.191 (Ватиканская Апостольская библиотека).

Чтение манускриптов – далеко не самая частая рубрика, однако данный манускрипт уже встречался на страницах dxdt раньше – рассматривались способы записи степеней, отрицательные и положительные числа, обозначение неизвестной. Сегодня я добрался до формулировки и решения первой задачи, как они даны на манускрипте.

Вообще, некоторые задачи из Диофанта довольно заумные, но к первой это наблюдение не относится – она очень простая. Однако уже на примере первой задачи можно заметить, насколько современная нотация отличается от имевшейся в 13 веке, и, видимо, раньше. Понятно, что по манускрипту 13 века можно судить только о нотации до 13 века: да, Диофант Александрийский – это, предположительно, третий век н.э., почти за тысячу лет до момента создания данного манускрипта, но если бы в 13 веке была какая-то продвинутая нотация, относительно записи в оригинальном труде Диофанта, то неясно, почему её не использовали.

Впрочем, ситуация ниже разобрана довольно подробно, поэтому мы увидим и более странные вещи: древнегреческий текст вообще так записан, как если бы сотрудник скриптория просто копировал звучание слов на слух (но, считается, формулировки именно так были представлены в тех материалах, которыми пользовался переписчик – в частности, это подтверждают исправления на манускриптах; так что, похоже, “на слух” кто-то переписал раньше).

Занятно, что такой подход каким-то образом совсем не мешает использовать при написании манускриптов самые разнообразные скорописные сокращения. Как я неоднократно отмечал, читать данные тексты очень сложно, нужно специально разбираться именно с палеографией: то есть, даже если вы знаете древнегреческий в подходящем варианте, но использовали современную, привычную “транскрипцию” алфавита, то всё равно прочитать подобный манускрипт “прямо с листа” – не выйдет: слишком многие буквы совсем не узнаются, отличий тут даже побольше, чем, например, между кириллическими “печатным буквами” и русским рукописным курсивом.

Казалось бы, если текст всё равно доступен только подготовленному специалисту, – тем более, в 13 веке, – почему же тогда не разработать и не использовать какую-то схему обозначения для “формул”, алгебраическую нотацию? Но нет, даже для обозначения неизвестной здесь использовано полноценное слово – “арифмос” (ἀριθμός – хотя можно было использовать знак, напоминающий s, он уже был у Диофанта).

Итак, общий вид фрагмента с первой задачей:

Здесь слева присутствует пара “маргинальных комментариев”, а точнее – редакторские правки. Нас интересует вторая, и мы ещё до неё доберёмся.

Как обычно, цель этой длинной записки – разобраться детально в том, что же происходит “в исходниках”, так как “Арифметика” Диофанта имеет очень большую важность для истории математики, важность сравнима даже с “Началами” Евклида. Соответственно, я постараюсь все детали объяснить. Поэтому дальше я сперва транслирую древнегреческий текст в современную типографику, чтобы проще прочитать, ставлю скриншот манускрипта с тем же текстом (если хотите – можете самостоятельно побуквенно сопоставить), а следом привожу перевод на русский, как я этот текст понимаю, и подробные объяснения, что там к чему, в свете, так сказать, исторического положения дел.

Формулировка задачи начинается следующими странными словами: τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἐν ὑπεροχῇ τῇ δοθείσῃ.

Перевод максимально близко к тексту: “Заданное значение разбить на два значения, с превышением данным”. Под “превышением” (ὑπεροχῇ) тут имеется в виду разность двух чисел. А “разбить” или “разделить” – обозначает, что нужно представить в виде суммы. То есть, в современных обозначениях, если данное число это A, а разность – N, будет так: A == X + (X + N). Здесь используется слово “арифмос”, иногда оно означает “число” просто, иногда – неизвестную (переменную) или “значение”, как “количество единиц”, особенно, в случае текстов Диофанта. Я будут почти везде использовать либо слово “значение”, либо слово “неизвестная”. Смысл тут в том, что “арифмос”, очень часто, соответствует привычному “иксу” (X).

Следующий фрагмент: ἔστω δὴ ὁ δοθεὶς ἀριθμὸς ὁ ρ̅, ἡ δὲ ὑπεροχὴ μονάδες τεσσαράκοντα. εὑρεῖν τοὺς ἀριθμούς.

Перевод: “Пусть же данно значение 100 (ρ̅ в греческих обозначениях чисел), да превышение – сорок единиц. Найти эти значения”. Здесь выбирается конкретный пример “в числах” для задачи. “Сорок” – записано словом (τεσσαράκοντα), как количество единиц. Эти “единицы” – это то, что называется “монады”. Вообще, для “монад” у Диофанта есть специальное обозначение – Μ “с блобом”, который, на самом деле, буква омикрон Ο: M̊. Но данный манускрипт здесь почти всегда использует запись словом – μονάς/μονάδες.

Тут начались числа, поэтому сразу нужна “шрифтовая” оговорка – обратите внимание на букву ρ (“ро”): это не совсем буква, это обозначение числа 100; древнегреческий способ записи чисел буквами требует указания горизонтальной черты над буквой (overline), но шрифты и Unicode не всегда с этим справляются. Тем не менее, чтобы не переходить на LaTeX, который рендерится в картинки, я тут и далее попробую указывать соответствующий unicode-символ: U+0305, вот так: ρ̅ – надеюсь, отображается нормально. А если нет, не нормально, то буква, скорее всего, будет отображена рядом с чертой: так что те буквы, для которых “черта рядом” – это числа.

Итак, в этом предложении записано, что пусть A == 100, а N == 40, надо найти X в X + (X + 40) == 100. Конкретные условия задачи.

Следущий фрагмент довольно сложный: τετάχθω ὁ ἐλάσσων ἀριθμοῦ ἑνὸς· [μονάδ(ων) ̄μ] ὁ ἄρα μείζων ἔσται ἀριθμοῦ α̅ μονάδων μ̅ .

Обратите внимание, что тут зачёркнута часть предложения. Мы добрались до важной правки. Часть предложения зачёркнута и на манускрипте (см. скриншот). К зачёркнутому – поставлена ссылка (знак, похожий на полумесяц), которая ведёт на редакторский комментарий – он записан слева. Это исправление пропущенного переписчиком фрагмента, но выполненное постфактум. То есть, тут в конце строки основного текста (справа на скриншоте) было записано окончание следующего фрагмента, который тоже на μ заканчивается: переписчик поторопился и перепрыгнул, пропустил кусок; такое случается довольно часто. Получилось, что пропущено несколько слов, но зато записано “сорок монад”, а это относится к другой части текста; недостающие слова как раз добавлены в редакторской правке, а исходная ошибка – вычеркнута. В других манускриптах этот фаргмент присутствует прямо в основном тексте. Я так же добавил текст правки в основную строку (см. выше).

Дословный перевод, с учётом правки: “Задали меньшее значение “единично”, тогда большее есть (это же) число “единожды” [плюс] сорок единиц”. Обратите внимание, что я тут развернул “монады” в слово, но исходный текст правки – на поле слева – содержит M̊. Итак, тут сказано: положим, что меньшее число есть X, тогда большее будет X + 40. Но вот только вместо “икса” используется “значение” (“арифмос”), взятое один раз – буквально: ἀριθμοῦ ἑνὸς – “арифмос” “единожды”. А прибавление 40 единиц – записано просто, “сорок единиц”, и “плюс” ничем не обозначен.

Что могло бы означать “значение, взятое единожды”? Оно означает, что это X*1 (справа!). То есть, хоть и справа, но это просто коэффициент при X – единица. В принципе, в исходной нотации могло бы быть записано как s и “альфа” – коэффициент единица при “неизвестной”. Буквально в том же предложении, но ближе к концу, используется почти что такое обозначение: α̅ – альфа с чертой, число обозначено буквой, а не записано словом: “1” против “единица”. Однако в основном тексте в этом манускрипте подобные обороты нередко записаны словами.

Это всё очень похоже на то, как, взяв выражение в современной нотации “1*x + 40”, записать это же выражение, но “со слов”: “один икс и сорок единиц”. Причём союз “и” тут пропускается (было бы καί): “один икс сорок единиц”. Почему так происходило в скриптории? Не очень понятно. Может быть, кто-то когда-то действительно продиктовал предложение в математической нотации, а сотрудники скриптория записали буквально словами.

(Продолжение следует.)

Недавно я публиковал фото бермудской треугольной монеты, и не просто треугольной, а в виде треугольника Рёло. В этот раз – ещё некоторое количество монет, отчеканенных либо в форме фигуры с постоянной шириной, либо в очень близкой к такой фигуре форме. Посмотрим на монеты, следуя по возрастанию количества углов.

Постоянная ширина для монеты полезна, кроме прочего, потому, что позволяет её хорошо катиться – это необходимо при автоматической обработке и отдельных монет, и даже их потоков. Понятно, что для круглой монеты с качением проблем нет, а вот многоугольная форма – может такие проблемы создавать. Например, у современной монеты в один фунт Великобритании специально были скруглены углы, чтобы приблизить форму к постоянной ширине и облегчить качение: эта монета имеет 12 углов, чётное число, поэтому не может быть “чистой” фигурой постоянной ширины. Но вот приближаться границей к окружности – может: тут как раз относительно большое число сторон только помогает (см. ниже фото чешской монеты).

Итак, форма постоянной ширины должна иметь нечётное количество углов, но вообще – углов может быть самое разное количество (главное – нечётное). Три – первое подходящее число, и треугольные монеты постоянной ширины относительно редкие. На страницах dxdt.blog треугольник в роли бермудского доллара уже был (см. записку по ссылке выше), но скопирую сюда одну из фотографий.

(Фото: бермудский треугольник Рёло, аверс.)

Следующее количество углов – пять. К сожалению, пятиугольную монету я пока не нашёл никакую, чтобы сфотографировать. Примем, что такие монеты тоже редкие, поэтому пока что пропускаем число пять.

Следующий пункт – семь углов. Семиугольных монет, – в том числе, с постоянной шириной, – есть немало разновидностей, некоторые очень известные, например, 20 пенсов Великобритании. Какие-то семиугольные монеты есть и у меня. Начнём с половины динара Иордании. Качество фотографий будет похуже, но, думаю, достаточное для того, чтобы составить представление. (Линейка – в миллиметрах.)

(Фото: половина динара, аверс.)

Монета в половину динара Иордании, 1996 год. Семь углов. Постоянная (почти) ширина. На аверсе – король Хуссейн. Отчеканена Королевским монетным двором Великобритании. Возможно, поэтому напоминает 20- и 50-пенсовые монеты. Реверс этой монеты – на следующем фото.

(Фото: половина динара, реверс.)

Семиугольных монет много. Поэтому ещё несколько фото семиугольников. На следующем фото: опять иорданские динары – монеты в половину и четверть динара.

(Фото: половина и четверть динара Иордании, реверсы, 1996 и 1997 гг.)

На следующем фото: монета пять шиллингов Уганды (слева) и монета 50 филсов ОАЭ. Аверсы.

(Фото: 5 шиллингов Уганды и 50 филсов ОАЭ. Аверсы.)

Угандийская монета отчеканена в Канаде, а монета Объединённых Арабских Эмиратов – в Великобритании. Это, опять же, семиугольники постоянной ширины.

Реверсы этих же монет – следующее фото.

(Фото: 5 шиллингов Уганды и 50 филсов ОАЭ. Реверсы.)

Чуть более классический вариант – монета 20 пенсов Великобритании и монета 20 пенсов острова Мэн (справа).

(Фото: двадцатипенсовые монеты. Аверсы.)

Реверсы тех же монет – ниже.

На реверсе 20-пенсовика 1982 года слева – Роза Тюдоров. Это классический вариант реверса монет этого достоинства. Собственно, именно в таком варианте данная монета и появилась в 1982 году.

Реверс 20-пенсовика справа – содержит изображение сельскохозяйственной техники, – зерноуборочного комбайна, – и надпись ellan vannin над комбайном. “ellan vannin” – это название острова Мэн на мэнском языке (Manx). Точнее – самоназвание.

Обе эти монеты, понятно, отчеканены Королевским монетным двором Великобритании.

За числом семь у нас следует число девять. Но монет на девять углов тоже не нашлось. Поэтому придётся пропустить. Зато нашёлся канадский доллар, у которого 11 углов и занимательная птица. Число 11 – это следующее после 9 возможное количество сторон. Ну, в нашем нечётном случае.

(Фото: доллар Канады. Аверс.)

Королева Елизавета II на аверсе. И птица – на реверсе.

(Фото: доллар Канады. Реверс с гагарой.)

Эта птица – гагара чёрноклювая (Gavia immer). Из-за гагары эта монета известна в англоязычной среде как Loonie (не потому, что “умалишённый”, который loony, а от названия птицы: common loon). Гагара появилась на реверсе долларовой монеты как результат занятной истории с курьерами: сначала на монете планировали изобразить индейскую лодку-каноэ, но заготовленные штемпели с лодкой в 1986 году потеряли на пути из Оттавы в Виннипег, где находится монетный двор. Пришлось достаточно оперативно искать замену, и заменой стал рисунок гагары, плывущей, вместо лодки, по водной глади. Ну, как минимум, таково официальное объяснение.

Следующее нечётное число, больше одиннадцати, это тринадцать. Тринадцать углов в правильном многоугольнике, составляющем монету небольшого диаметра, это уже достаточно, чтобы монета стала почти что неотличима от круглой. Из “монетарных” 13-угольников мне, тем не менее, удалось найти чешскую монету 20 крон 2015 года – она на фото ниже.

(Фото: 20 крон Чехии. Реверс.)

На реверсе этой монеты изображён памятник святому Вацлаву (Svatý Václav).

(Фото: 20 крон Чехии. Аверс.)

Фотография аверса монеты с чешским геральдическим львом завершает данный обзор: монет с большим количеством углов не нашлось. Естественно, можно считать, что все прочие круглые монеты – они “не совсем круглые”, а просто у них “очень много углов”. Но это уже рассуждение из другой области, ближе к неформальному названию канадской долларовой монеты, потому что так можно договориться и до фракталов. Тем не менее, фотографией совсем свежего канадского доллара, без гагары, тоже поделюсь.

Это 2026 год, памятная монета, отчеканенная к какому-то важному футбольному чемпионату.

Ковёр из Байё (или гобелен – как больше нравится, потому что ковры тоже на стену вешают) – недавно доставили в Великобританию из Франции. Знаменитый ковёр будет выставляться в Лондоне, в Британском музее (первая партия билетов уже распродана).

Ковёр представляет собой летопись нормандского завоевания Англии, и эта летопись изложена в оригинальных картинках, начиная с подготовки экспедиции и заканчивая описанием битвы при Гастингсе – всего около 70 метров иллюстрированной ленты исторических событий. Техника изображения тоже редкая: аппликация с “контурной” вышивкой.

Скорее всего, ковёр изготовили в Англии, более девяти столетий назад, – то есть, это была другая Англия, не современная, – а потом достаточно быстро перевезли во Францию, где он, в основном, и находился все эти долгие годы.

А теперь ковёр вернулся на землю страны своего происхождения. Считается, что временно. Во Франции многие были против того, чтобы столь уникальный ковёр отправлять к истокам. Тем более, что ковёр прямо посвящён важнейшему для истории Англии событию 1066 года. Потому что – ну, правда, мало ли что может приключиться? Ковёр очень старый, уже ветхий, может испортиться в ходе поездки. Хуже того, ветхость ведь может послужить и основанием для задержки возвращения ковра, потому что в Лондон-то ковёр, вроде, доехал без видимых проблем, но ведь каждая поездка – это большой риск.

Ещё немного о разных занятных исторических артефактах. В этом году исполнилось 55 лет с момента децимализации денежной системы Великобритании: 15 февраля 1971 года пенсы сменили новые пенсы, каждый из которых был в 2.4 раза дороже. Децимализация – это переход на десятеричную систему счёта денежных знаков: в фунте стало 100 новых пенсов. С этим процессом прямо связано исчезновение из обращения шиллингов – я публиковал об этом отдельную большую статью с картинками.

Но у нас есть ещё один артефакт по этой теме, который в ту статью не попал, однако фотографиями я поделюсь.

Это специальный набор монет Britain’s First Decimal Coins, официально выпущенный для ознакомления жителей Великобритании с новой системой – с десятеричными монетами. Это такая небольшая книжечка-раскладушка, в которой слева вложена картонная табличка с описанием того, что же именно происходит, а справа – картонная же вставка с набором подлинных монет – новых пенсов: в полпенни, один пенни, два пенса, пять пенсов и десять пенсов. Выглядит артефакт вот как.

Обложка:

Раскрытая книжечка:

Набор был издан в 1968 году. И это тоже занимательно. Потому что это один из весьма немногих случаев (возможно, единственный в Великобритании), когда монеты официального чекана были выпущены “в оборот” на несколько лет раньше, чем началось их обращение в качестве платёжного средства.

Дело в том, что набор содержит монеты (полпенни, один новый пенни, два новых пенса – вся “бронза” на иллюстрации), которые стали официальным платёжным средством только в момент переключения на новую систему, 15 февраля 1971 года. До этого момента, ни полпенни, ни пенни с двумя пенсами – не имели аналога в старой монетной системе. Это у монет в пять пенсов и в десять пенсов были старые аналоги – шиллинг и флорин. Но не у “бронзы”.

Различные даты ввода в обращение, в том числе, планируемый 1971 год, – видны на самих монетах, см. увеличенный фрагмент ниже.

Надо заметить, что так как десятеричная система здесь относилась непосредственно к деньгам, в том числе, к наличным, она, так или иначе, прижилась, несмотря на различные конфликты и недовольство.

Небольшое воскресное чтение манускриптов. Точнее – рассматривание чертежа из “Начал” Евклида, в версии манускрипта Vat.gr 190 девятого века. Это чертёж к Предложению 20 девятой книги, то есть, к доказательству того, что количество простых чисел больше, чем их есть в любом наперёд заданном (конечном) списке.

На чертеже почти все величины, используемые в доказательстве Предложения, обозначены отрезками одинаковой длины. Это довольно странно, а отчасти – загадочно, но именно так на старых манускриптах даны почти все чертежи для теоретико-числовых Предложений из “Начал”.

Другими словами, в доказательстве здесь используется три различных простых числа – ΑΒΓ, – это натуральные числа, но на рисунке их величины обозначены отрезками одинаковой длины. Причём, в более или менее современных переводах – отрезки на чертеже уже будут разными: очевидно, что трём разным натуральным числам не могут соответствовать отрезки одинаковой длины; ну, если только не считать эти отрезки совсем абстрактным представлением – тогда, конечно, длина на чертеже не важна: не рисуют же прямые углы, скажем, как строго прямые (вообще невозможно нарисовать прямой угол).

ΕΔ здесь – это отрезок, измеримый Α, Β и Γ, то есть, если на современный лад, произведение ΑΒΓ, а ΔΖ – единица (в евклидовом смысле), которая добавляется к ΕΔ, что даёт ΕΖ. Ну а Η – это отрезок, обозначающий простое число, которое измеряет ΕΖ (делит). И опять – одинаковой длины с ΕΔ.

Раньше самолёты (и не только самолёты, конечно) ориентировались по звёздам. Для автоматизации процесса использовались аналоговые вычислители, которые и сейчас-то иногда превосходят цифровые на некоторых задачах, а уж в 60-х годах прошлого века – только такие и могли бы вычислять координаты в режиме онлайн. Подробное и с картинками описание такой аналоговой системы астронавигации, использовавшейся на борту самолёта B-52, – по ссылке (англ. много букв).

На этой иллюстрации из статьи – аналоговый вычислитель, выполнявший преобразование углов.

(via)

Воскресное чтение манускриптов. Продолжаем несколько беспорядочное чтение предисловия из “Арифметики” Диофанта. В версии манускрипта 13 века Vat.gr.191 из Ватиканской Апостольской библиотеки. В прошлый раз – изучали фрагмент про “минус на минус” и обозначение “отрицательных” величин. В этот раз – вернёмся немного назад и прочитаем про два других обозначения: про “число”, как “Число” и про “монаду” (почти как в языке Haskell).

Мы раньше уже встречались с обозначением степеней (неизвестной) у Диофанта, и там был “кубо-кубос” (κυβόκυβος – Κ^ΥΚ ) для шестой степени – то есть, “куб плюс куб”. Там же был и квадрат – “дунамис” (“динамис”). Случай, когда никакой степени при неизвестной нет, – это, в современных обозначениях, просто x, – Диофант описывает отдельно.

В манускрипте написано: “Не получившее никакого названия [степени], но содержащее в себе неопределённое количество единиц, Числом (ἀριθμός) назовём, и пусть его обозначение – ς”.

Однако обозначение ς, “сигма” тут – весьма условное: знак только похож на сигму, но это точно не сигма. Так, на данном манускрипте вообще-то используется некий S-образный знак с волной и кружочком, он в середине скриншота, а увеличенный фрагмент – дан ниже.

В разных источниках этот знак переменной тоже разный. Кроме “похожего на сигму”, как здесь, встречаются: Ч-подобный знак, разные “волны с точками и кружками”, иногда иные варианты (дзета и т.д.). Очень загадочный знак. Непонятно, откуда он взялся, если не из сокращения слова ἀριθμός, тем более, что такая логика хорошо укладывается в схему именования других объектов Диофантом, как “кубусы” с каппой и т.д. (см. например, T. L. Heath. Diophantus of Alexandria).

Да и на рассматриваемом здесь манускрипте Vat.gr.191 нетрудно заметить, что вместо этого странного значка, далее по тексту, часто используется как раз скорописное сокращение для слова ἀριθμός. Так что, вполне возможно, что обозначение неизвестной в первой степени и у исходного Диофанта – это ни “сигма”, ни ещё какая-то буква, а специальный знак для слова “арифмос” (откуда, понятно, происходит “арифметика”).

Теперь к монадам. Вторая часть выделенного на скриншоте текста (после странного “сигма-знака” для “арифмоса”) – это описание и название для свободного коэффициента. То есть, для константы, которая входит в уравнение, соотвествующее той или иной задаче. Константы нужно отличать от переменных: “Другой знак для неизменяемого и определённого количества единиц будет “Μ”, несущая “Ο” сверху: M̊” – написано у Диофанта. Диофант задаёт при помощи этого обозначение контекст вычислений. Не сомневайтесь – тут прямо противопоставлены “переменные” и “константы”, в соседних предложениях. Это “мю” (Μ) в обозначении свободного коэффициента – первая буква слова μονάς – “монас”/”монада”. Монада используется у Диофанта именно в смысле выделенного инструмента, позволяющего понятийно отделить место для числа, от самого числа, при преобразованиях. Если вы подумали, что монадой, по принципу использования, тут является “арифмос”, как переменная, то это не так – у Диофанта понятия вводятся из соображений выделения отличий между преобразованиями. Поэтому и степени переменной обозначаются разными именами: “динамис”, “дианамо-динамис”, “кубо-кубос”, а не как принято сейчас – коэффициентом при обозначении неизвестной. Поэтому монада тут нужна именно для фиксирования преобразования. Ну, то есть, сейчас бы, на техничном языке, сказали бы, что это “функториальный инструмент”. Почти что как монада, используемая для обёртывания, например, операций ввода в Haskell. Да и название совпадает, что, конечно, естественно: сам термин “монада” – образован от древнегреческого слова.

Некоторое время назад мы уже находили на манускриптах древние знаки “дипле”, которые сейчас используются с той же целью – для обозначения цитируемого фрагмента текста в сообщении электронной почты, например. В этот раз – в тексте Диофанта используется монада, причём, в том же понятийном ключе, как и в современном языке программирования Haskell, но не только там.

Уравнение Бомбелли – это кубическое уравнение . Рафаэль Бомбелли – итальянский инженер-математик 16 века. Он занимался гидротехникой. В том числе, масштабными проектами по осушению заболоченных лугов. Но в истории математики Бомбелли известен главным образом как автор трактата “Алгебра”, в котором, кроме прочего, описал объект, называемый сейчас “мнимой единицей”. Именно на примере упомянутого кубического уравнения, Бомбелли в “Алгебре” показывает, как найденные им “радикалы особого (другого) вида” можно применить для разрешения противоречий, связанных с “отрицательным числом под радикалом” в формуле Кардано.

Мы решим это знаменитое (в узких кругах) уравнение несколькими способами, выведем формулу Кардано, разберёмся, бывают ли “корни из отрицательных чисел”, поймём, откуда именно проблемные сочетания с минусом берутся в формуле Кардано, и что именно это означает, если отвлечься от бравурных заявлений вида “квадратные корни из отрицательных чисел существуют, но вам об этом не рассказывают”. А кроме того, определим, почему формула Кардано обычно бесполезна с практической точки зрения.

(Это немного дополненная версия статьи, которую я ранее опубликовал на “Хабре”.)
Читать полностью

Воскресное чтение манускриптов. Продолжаем читать фрагменты “Арифметики” Диофанта, в изложении манускрипта 13 века Vat.gr.191 из Ватиканской Апостольской библиотеки (пока ещё до сайта библиотеки есть доступ). Манускрипт на древнегреческом. В прошлый раз изучали, как обозначаются степени (неизвестной) при помощи букв Δ и Κ на том же манускрипте. В этот раз – предложение про “отрицательность” и “положительность”. Как говорится, “минус на минус даёт плюс”. Как ни странно, но буквально это и написано в данном манускрипте, на следующей странице после определения записи степеней. А именно – см. скриншот ниже (я выделил соответствующий фрагмент).

Здесь сразу пара занятных моментов.

Во-первых, Диофант не использует концепцию отрицательных и положительных чисел в полном смысле, как это описывали бы сейчас, то есть, при помощи понятия обратных по сложению чисел, сумма которых равна нулю. Зато у Диофанта есть понятие “дефицит” (“нехватка” – там в женском роде, но это неважно), которое обозначается словом λεῖψις, и обратное к “дефициту” понятие – “достояние”, которое обозначается словом ὕπαρξις (здесь, видимо, в общем значении – “существование”, но в смысле – “имущество”, а именно, “то, что есть”).

Это, как бы, “убыток” и “наличие”, но, вообще-то, – эквивалентны “минусу” и “плюсу”. И вот здесь, во фрагменте со скриншота, Диофант пишет, что “дефицит на дефицит умноженный, даёт достояние, а дефицит на достояние – даёт дефицит”. То есть, буквально, “минус на минус – даёт плюс”, а “минус на плюс” – даёт минус.

Во-вторых, здесь же вводится обозначение для “дефицита” – в виде некоторого символа, типа “шалаша” из трёх чёрточек, который сейчас принято обозначать “𐅢” – если на вашем устройстве не отображается, то это такая вот усечённая “индейская национальная изба”, как в известном советском мультфильме. Однако в тексте с манускрипта эти три чёрточки интерпретируются несколько иначе. То есть, сам фрагмент с манускрипта (конец третьей подсвеченной строки, в современной типографике, без знаков препинания): “καὶ τῆς λείψεως σημεῖον Ψ ἐλλιπὲς κάτω νεῦον 𐅢”. Это переводится так: “и дефицита обозначение – Ψ, урезанное, вниз обращённое: 𐅢”. Однако данный фрагмент выглядит странным: зачем переворачивать и усекать пси? Так что данный кусочек мог быть дописан к исходному тексту в качестве пояснения, кем-то из сотрудников скриптория, а в исходнике Диофанта его не было.

Тут не нужно забывать, что манускрипт-то – 13 века, но исходный текст старше на тысячу лет, или около того, поскольку период деятельности Диофанта Александрийского – это третий век. Дописать пояснение могли раньше, не в 13 веке. Но всё равно, на момент дополнения текста, исходнику могло быть несколько веков. Смысл пояснения про “пси-переворот” в том, что странный знак нужно было описать текстом, для тех, кто будет переписывать манускрипт позднее. Забавно, но, буквально, та же история, как и в предыдущем абзаце, где я попытался описать символ словами про индейскую избу, на тот случай, если символ не отображается на вашем устройстве.

При этом сам Диофант, предположим, использовал просто некий вариант Λ с дополнительной “ногой”, потому что Λ (лямбда) – это первая буква слова λεῖψις, но чистую лямбду сложно отличить от обозначения числа 30 (см. например, T. L. Heath. Diophantus of Alexandria. Cambridge, 1910). Довольно интересная трактовка.

И, кстати, странные закорючки в начале первой и второй строки фрагмента на скриншоте выше, это скорописное сокращение слова ἐπί, кто бы мог подумать: см. скриншот ниже.

Слово встречается много раз, в том числе, на скриншоте, а сокращение – содержит все диакритические знаки из современной типографики, если приглядеться.

Ферма сформулировал самую знаменитую теорему имени Ферма на полях одного из изданий “Арифметики” Диофанта. Труды Диофанта сейчас доступны и в более древних вариантах, чем тот, которым пользовался Ферма. Но, понятно, всё в электронном виде. Однако это позволяет очередной раз взглянуть на древнюю математическую нотацию, чтобы оценить разрыв с нотацией современной.

Воскресное чтение манускриптов. Cегодня – совсем небольшой фрагмент “Арифметики” Диофанта в версии манускрипта 13 века н.э. Vat.gr.191 из коллекции Ватиканской Апостольской библиотеки. Диофант Александрийский, как считается, работал в третьем веке нашей эры, то есть, примерно, за десять веков до написания данного манускрипта. В этом фрагменте (лист 360r) Диофант определяет свою нотацию для записи степеней неизвестной – квадрата, куба и так далее – см. скриншот.

В выделенном фрагменте Диофант пишет (перевод – максимально близко к тексту): “Соответственно, тогда каждое из тех чисел, сокращённое обозначение получив, элементом арифметической теории становится; назовём же теперь квадратную степень, и да станет она обозначаться [буквой] Δ, имеющей сверху Υ, [Δ^Υ] степень”.

Дельта здесь – это первая буква δύναμις. На данном манускрипте, как раз, написано с ошибкой – указана строчная буква δ. Почему δύναμις? Это как в русском “динамо-” – “сила, мощь”, но в значении английского power. То есть, это именно степень, но вторая – квадрат.

Дальше идёт третья степень: “Дальше – куб, и с [буквой] Κ, имеющей сверху Υ, Κ^Υ – куб”. Каппа здесь, конечно, от κύβος, “кубос” или куб.

Дальнейший текст на скриншоте не выделен, но, на базе этих двух обозначений, для квадрата и куба, Диофант далее систематически строит “составные” степени, вплоть до шестой. Например, Δ^ΥΔ – “дельта-дельта” или, если хотите буквально, “динамодинамис” – δυναμοδύναμις (середина нижней строки на скриншоте, если хотите прочитать исходник). Δ^ΥΔ, это, конечно, четвертая степень – потому что “квадрат квадрата”.

На полях данного манускрипта тоже есть заметки – схолии. Но это тема для другой записки.