dxdt.blog: занимательный интернет-журнал

Воскресное чтение манускриптов. Продолжение разбора задач из “Арифметики” Диофанта в версии манускрипта Vat.gr.191 (13 век, Ватиканская Апостольская библиотека).

Часть вторая. Первая часть заканчивается разбором формулировки первой задачи в конкретных числах: 100 == X + (X + 40). Если не читали первую часть, то имеет смысл прочитать, ну, перед тем, как приступать ко второй.

Вообще, первая и вторая части тут относятся к одной записке, из которой я решил сделать две, так как рубрика что-то очень редкая. При этом, данный манускрипт с “Арифметикой” (а там не только “Арифметика”, которая начинается с листа 360r) встречался на страницах dxdt уже несколько раз. И, возможно, ещё встретится (если доступы к онлайн-архиву останутся). Так что эта “вторая часть” – это локальная вторая часть, и она посвящена дальнейшему разбору записи первой задачи.

Заметьте, что фундаментальная особенность серии про чтение манускриптов – это именно записи, а не сами задачи (или другие объекты) в современном изложении. Дело в том, что современность изложения, как выясняется, подразумевает достаточно много изменений, в том числе, подразумевает уничтожение “странностей”, которые кому-то показались несущественными. Один из примеров – чертежи в “Началах” Евклида: оказывается, на доступных древних манускриптах с “Началами” отрезки на чертежах к теоретико-числовым Предложениям имеют одинаковую (или почти одинаковую) длину – но если взять современное изложение “Начал”, то там эти отрезки будут перерисованы с различными длинами, соответствующими различным подразумеваемым числовым значениям (больше число – длиннее отрезок).

Нередко анахронизмы, наведённые переносом современной терминологии в прошлое, вообще переворачивают ситуацию с ног на голову. Отличный пример – распространённое представление, что, якобы, Аристотель считал, что тяжёлые тела падают быстрее лёгких. Но в трудах Аристотеля речь вообще о другом процессе. Начать с того, что сама концепция “падения тела”, как её привычно воспринимают сейчас, отсутствует у Аристотеля в принципе: современная трактовка “падения” требует понятия о гравитации, о некотором “притяжении”, а у Аристотеля – тела, “падая”, не падают, в современном смысле, но движутся сквозь среду к их естественному месту в мире, а гравитации – нет. Это, впрочем, тема для другой записки. Тем более, что про эту максимально ошибочную интерпретацию подхода Аристотеля я упоминал ранее.

Анахронизмы – анахронизмами, конечно, но ведь даже доступные манускрипты – это далеко не исходные публикации, а переписанные спустя несколько веков ныне утраченные “исходники” (в кавычках – потому что непонятно, что за материалы использовались на самом деле). Так, рассматриваемый здесь манускрипт Vat.gr.191, согласно его датировке, почти на тысячу лет моложе, чем период, когда действовал сам Диофант. Но тут уж ничего не поделать.

Вернёмся, впрочем, к самой формулировке первой задачи. Ещё раз общий вид фрагмента с задачей со скриншота манускрипта.

В прошлый раз остановились в самом начале третьей строки и разобрали большую редакторскую правку, которая записана слева.

То есть, выбрали “неизвестную” и выяснили, что “вторая часть” – это будет “неизвестная” плюс сорок единиц или X + (X + 40) в современной нотации. Читаем следующий фрагмент.

Здесь (в современной типографике) написано: συναμφότεροι ἄρα γίνονται ἀριθμοὶ δύο μοναδες μ̅· δέδονται δὲ μονάδες ρ̅. Максимально близкий перевод: “Вместе, таким образом, выражают неизвестную дважды, единиц 40: даёт же [всего] единиц 100”. Здесь μ̅ и ρ̅ это числа 40 и 100, соответственно, но обозначены эти числа буквами (с чертой, overline).

Таким образом, из X + (X + 40) мы переходим к X*2 + 40. Здесь X*2 это и есть ἀριθμοὶ δύο – “арифмосы” “дважды” (δύο; вообще, это, пожалуй, максимально знакомое русскоязычному читателю древнегреческое слово: буквально, “два”, даже читается едва ли не более похоже, чем английский вариант того же слова – two; и можно было бы перевести как “дуо-арифмос”, но это, конечно, не совсем так). После “двух арифмосов” и “40 единиц” подчёркивается, что всего дано 100. То есть, сумма должна быть равна сотне единиц (μονάδες ρ̅).

Итак, добрались до X*2 + 40, и 100 – в сумме. Читаем дальше.

Написано: μονάδες ἄρα ρ̅ ἴσαι εἰσὶν ἀριθμοῖς δυσὶ μονάσι μ̅ . Дословный перевод: “единиц, таким образом, сто (100), равны неизвестным двум (и) единицам 40”. Или более естественно: “Таким образом, 100 равно двум неизвестным плюс 40”. То есть, здесь записано: 100 == X*2 + 40.

Задача полностью сформулирована в конкретных числах. Заметьте, что сделанно это с объяснением шагов и преобразований. То есть, что получаем сейчас, если современным языком: “Разность чисел 40, сумма 100; найти числа; запишем формулу X + (X + 40) == 100; следовательно, 2X + 40 == 100”. Совсем простая задача для начальной школы. Как я уже отметил, далеко не все задачи в “Арифметике” Диофанта столь же простые. Далее, на манускрипте, начинается решение. Смотрим.

В современной типографике: καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια, ἀφαιρῶ ἀπὸ τῶν ρ̄ μονάδου μ̄. Перевод: “И из подобного подобное, вычитаю из 100 единиц 40”. К этому фрагменту встречается дополнение, которого нет в рассматриваемом манускрипте Vat.gr.191. В дополнении сказано, что 40 нужно вычитать и из части с удвоенной неизвестной. Скорее всего, у Диофанта достаточным объяснением является вводный фрагмент: “и из подобного подобное”. Этот фрагмент означает, что “единицы” (монады, μοναδες) вычитаются из “единиц”, а неизвестные (арифмос) – остаются. В современных обозначениях: (X*2 + 40) – 40 == 100 – 40.

Текст: λοιποὶ ἀριθμοὶ δύο ἴσοι μονάσιν ξ̄, ἕκαστος ἄρα γίνεσται ἀριθμὸς μονὰδων λ̄. Что дословно означает: “Остаток – неизвестных две равны единицам 60, каждая, таким образом, выходит неизвестная [в] единиц 30”. И здесь имеется в виду то, сколько именно единиц в каждой неизвестной “помещается”. На современном языке, первый шаг (левая часть, до 60): X*2 == 60. Число 60 – это буква кси с чертой (ξ̄). Следующий шаг: X == 60/2 == 30. Число 30 – это лямбда с чертой (λ̄)

Финальный фрагмент.

Это уже ответ. Написано: ἐπὶ τὰσ ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων μονάδων τριάκοντα. ὁ δὲ μείζων μονάδου ο̄. καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά. Перевод: “В действительности: стало же меньшее единиц тридцать, да большее единиц 70. И продемонстрированное очевидно”. “В действительности” (в “иопстаси”, потому что ὑποστάσεις) тут надо читать как “окончательный результат”, то есть, числа ответа: 30 и 70 (ο̄).

А заключительный типовой оборот – “καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά”, – это некий аналог “что и требовалось доказать”, но только в том смысле, что, благодаря продемонстрированному, стал очевидным полученный ответ.

Воскресное чтение манускриптов. Продолжаем читать “Арифметику” Диофанта в версии манускрипта 13 века Vat.gr.191 (Ватиканская Апостольская библиотека).

Чтение манускриптов – далеко не самая частая рубрика, однако данный манускрипт уже встречался на страницах dxdt раньше – рассматривались способы записи степеней, отрицательные и положительные числа, обозначение неизвестной. Сегодня я добрался до формулировки и решения первой задачи, как они даны на манускрипте.

Вообще, некоторые задачи из Диофанта довольно заумные, но к первой это наблюдение не относится – она очень простая. Однако уже на примере первой задачи можно заметить, насколько современная нотация отличается от имевшейся в 13 веке, и, видимо, раньше. Понятно, что по манускрипту 13 века можно судить только о нотации до 13 века: да, Диофант Александрийский – это, предположительно, третий век н.э., почти за тысячу лет до момента создания данного манускрипта, но если бы в 13 веке была какая-то продвинутая нотация, относительно записи в оригинальном труде Диофанта, то неясно, почему её не использовали.

Впрочем, ситуация ниже разобрана довольно подробно, поэтому мы увидим и более странные вещи: древнегреческий текст вообще так записан, как если бы сотрудник скриптория просто копировал звучание слов на слух (но, считается, формулировки именно так были представлены в тех материалах, которыми пользовался переписчик – в частности, это подтверждают исправления на манускриптах; так что, похоже, “на слух” кто-то переписал раньше).

Занятно, что такой подход каким-то образом совсем не мешает использовать при написании манускриптов самые разнообразные скорописные сокращения. Как я неоднократно отмечал, читать данные тексты очень сложно, нужно специально разбираться именно с палеографией: то есть, даже если вы знаете древнегреческий в подходящем варианте, но использовали современную, привычную “транскрипцию” алфавита, то всё равно прочитать подобный манускрипт “прямо с листа” – не выйдет: слишком многие буквы совсем не узнаются, отличий тут даже побольше, чем, например, между кириллическими “печатным буквами” и русским рукописным курсивом.

Казалось бы, если текст всё равно доступен только подготовленному специалисту, – тем более, в 13 веке, – почему же тогда не разработать и не использовать какую-то схему обозначения для “формул”, алгебраическую нотацию? Но нет, даже для обозначения неизвестной здесь использовано полноценное слово – “арифмос” (ἀριθμός – хотя можно было использовать знак, напоминающий s, он уже был у Диофанта).

Итак, общий вид фрагмента с первой задачей:

Здесь слева присутствует пара “маргинальных комментариев”, а точнее – редакторские правки. Нас интересует вторая, и мы ещё до неё доберёмся.

Как обычно, цель этой длинной записки – разобраться детально в том, что же происходит “в исходниках”, так как “Арифметика” Диофанта имеет очень большую важность для истории математики, важность сравнима даже с “Началами” Евклида. Соответственно, я постараюсь все детали объяснить. Поэтому дальше я сперва транслирую древнегреческий текст в современную типографику, чтобы проще прочитать, ставлю скриншот манускрипта с тем же текстом (если хотите – можете самостоятельно побуквенно сопоставить), а следом привожу перевод на русский, как я этот текст понимаю, и подробные объяснения, что там к чему, в свете, так сказать, исторического положения дел.

Формулировка задачи начинается следующими странными словами: τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἐν ὑπεροχῇ τῇ δοθείσῃ.

Перевод максимально близко к тексту: “Заданное значение разбить на два значения, с превышением данным”. Под “превышением” (ὑπεροχῇ) тут имеется в виду разность двух чисел. А “разбить” или “разделить” – обозначает, что нужно представить в виде суммы. То есть, в современных обозначениях, если данное число это A, а разность – N, будет так: A == X + (X + N). Здесь используется слово “арифмос”, иногда оно означает “число” просто, иногда – неизвестную (переменную) или “значение”, как “количество единиц”, особенно, в случае текстов Диофанта. Я будут почти везде использовать либо слово “значение”, либо слово “неизвестная”. Смысл тут в том, что “арифмос”, очень часто, соответствует привычному “иксу” (X).

Следующий фрагмент: ἔστω δὴ ὁ δοθεὶς ἀριθμὸς ὁ ρ̅, ἡ δὲ ὑπεροχὴ μονάδες τεσσαράκοντα. εὑρεῖν τοὺς ἀριθμούς.

Перевод: “Пусть же данно значение 100 (ρ̅ в греческих обозначениях чисел), да превышение – сорок единиц. Найти эти значения”. Здесь выбирается конкретный пример “в числах” для задачи. “Сорок” – записано словом (τεσσαράκοντα), как количество единиц. Эти “единицы” – это то, что называется “монады”. Вообще, для “монад” у Диофанта есть специальное обозначение – Μ “с блобом”, который, на самом деле, буква омикрон Ο: M̊. Но данный манускрипт здесь почти всегда использует запись словом – μονάς/μονάδες.

Тут начались числа, поэтому сразу нужна “шрифтовая” оговорка – обратите внимание на букву ρ (“ро”): это не совсем буква, это обозначение числа 100; древнегреческий способ записи чисел буквами требует указания горизонтальной черты над буквой (overline), но шрифты и Unicode не всегда с этим справляются. Тем не менее, чтобы не переходить на LaTeX, который рендерится в картинки, я тут и далее попробую указывать соответствующий unicode-символ: U+0305, вот так: ρ̅ – надеюсь, отображается нормально. А если нет, не нормально, то буква, скорее всего, будет отображена рядом с чертой: так что те буквы, для которых “черта рядом” – это числа.

Итак, в этом предложении записано, что пусть A == 100, а N == 40, надо найти X в X + (X + 40) == 100. Конкретные условия задачи.

Следущий фрагмент довольно сложный: τετάχθω ὁ ἐλάσσων ἀριθμοῦ ἑνὸς· [μονάδ(ων) ̄μ] ὁ ἄρα μείζων ἔσται ἀριθμοῦ α̅ μονάδων μ̅ .

Обратите внимание, что тут зачёркнута часть предложения. Мы добрались до важной правки. Часть предложения зачёркнута и на манускрипте (см. скриншот). К зачёркнутому – поставлена ссылка (знак, похожий на полумесяц), которая ведёт на редакторский комментарий – он записан слева. Это исправление пропущенного переписчиком фрагмента, но выполненное постфактум. То есть, тут в конце строки основного текста (справа на скриншоте) было записано окончание следующего фрагмента, который тоже на μ заканчивается: переписчик поторопился и перепрыгнул, пропустил кусок; такое случается довольно часто. Получилось, что пропущено несколько слов, но зато записано “сорок монад”, а это относится к другой части текста; недостающие слова как раз добавлены в редакторской правке, а исходная ошибка – вычеркнута. В других манускриптах этот фаргмент присутствует прямо в основном тексте. Я так же добавил текст правки в основную строку (см. выше).

Дословный перевод, с учётом правки: “Задали меньшее значение “единично”, тогда большее есть (это же) число “единожды” [плюс] сорок единиц”. Обратите внимание, что я тут развернул “монады” в слово, но исходный текст правки – на поле слева – содержит M̊. Итак, тут сказано: положим, что меньшее число есть X, тогда большее будет X + 40. Но вот только вместо “икса” используется “значение” (“арифмос”), взятое один раз – буквально: ἀριθμοῦ ἑνὸς – “арифмос” “единожды”. А прибавление 40 единиц – записано просто, “сорок единиц”, и “плюс” ничем не обозначен.

Что могло бы означать “значение, взятое единожды”? Оно означает, что это X*1 (справа!). То есть, хоть и справа, но это просто коэффициент при X – единица. В принципе, в исходной нотации могло бы быть записано как s и “альфа” – коэффициент единица при “неизвестной”. Буквально в том же предложении, но ближе к концу, используется почти что такое обозначение: α̅ – альфа с чертой, число обозначено буквой, а не записано словом: “1” против “единица”. Однако в основном тексте в этом манускрипте подобные обороты нередко записаны словами.

Это всё очень похоже на то, как, взяв выражение в современной нотации “1*x + 40”, записать это же выражение, но “со слов”: “один икс и сорок единиц”. Причём союз “и” тут пропускается (было бы καί): “один икс сорок единиц”. Почему так происходило в скриптории? Не очень понятно. Может быть, кто-то когда-то действительно продиктовал предложение в математической нотации, а сотрудники скриптория записали буквально словами.

(Продолжение следует.)

Кстати, в продолжение теоретико-числовых аспектов “Начал” Евклида. Смотрю тут книгу Бориса Трушина для школьников по теории чисел – “Теория чисел: с нуля до теоремы Эйлера”. На странице 66 там, под названием “Теорема Евклида”, приводится утверждение о том, что “простых чисел бесконечно много”, и доказательство – от противного: примем, что простых – конечное количество, перемножим их все, прибавим единицу, заметим, что результат не делится ни на одно из простых, – противоречие. Это типовое доказательство, которое встречается во многих учебниках. Почему приводят именно его – не очень понятно, но такова традиция. Однако, заметьте, в книге Трушина доказательство не названо “доказательством Евклида”. И это правильно. Почему? Потому, что Евклид-то доказывал данное утверждение не так. Евклид доказывал несколько более конструктивно.

Собственно, даже исходное предложение Евклида (9.20) сформулировано иначе: “простых чисел больше, чем в любом заданном (конечном) наборе простых чисел”. Может показаться, что это такая же формулировка, как и про “бесконечно много”, но, логически, это не так – Евклид не постулирует тут никакой бесконечности “от противного”, не рассматривает “все простые”, а использует конструктивный подход: даёте конкретный список простых чисел, и вот метод, по которому можно построить такое простое, которого не будет в этом списке. И доказательство у Евклида не от противного. Оно, что называется, более “конструктивное” (в той же мере, что и формулировка).

Логика исходного доказательства Евклида: выберем любые три простых числа A, B, C; возьмём наименьшее D, которое делится на A, B и C; прибавим к D единицу, получив число N = D + 1. (Обратите внимание, что единица здесь – это единица в евклидовом смысле, то есть, неделимый элемент.) Полученное число N либо является простым, которое не вошло в исходный список (утверждение, в этом случае, доказано), либо N – составное, и тогда N делится на какое-то простое (обратите внимание на этот момент – к нему ещё вернёмся ниже). Обозначим простое число, на которое делится N, буквой M. Если M – число из исходного списка [A, B, C], то M делит и D (по построению D). Следовательно, раз M делит и N, и D, то оно делит и разность N – D, но эта разность есть единица, и M не может её делить. Следовательно, M не входит в исходный список [A, B, C] – мы нашли новое простое число. То есть, тут показан достаточно конкретный способ конструирования нужных чисел, и это совсем другая история, чем постулирование “актуальной” бесконечности. Тем не менее, в учебниках регулярно приводят именно “доказательство от противного”, хоть оно и не является доказательством Евклида.

В доказательстве “от противного” фигурирует произведение всех простых. Если забыть, что это произведение всех простых, то нетрудно сделать ошибочный вывод, что можно всегда получить простое число, перемножив несколько последовательных простых и прибавив единицу. Это неприятный момент неверного обобщения результата, который полностью отсутствует в исходном доказательстве Евклида (см. выше). То есть, например, 2*3*5*7*11 + 1 = 2311 (простое), но это не означает, что просты и все такие числа (которые называют числами Евклида). Надо сказать, что в книге Трушина, как раз, сразу же, после доказательства теоремы Евклида этот, – наверное, самый важный, – момент подробно рассмотрен и показано, что уже 2*3*5*7*11*13 + 1 = 30031 = 59 * 509.

Книгу Трушина, кстати, порекомендую (и далеко не только школьникам). Там, конечно, есть несколько наивный небольшой раздел про применение теории чисел в криптографии, написанный, почему-то, на примере RSA, для которой проводится странное “сращивание” с шифрами простой замены. Это при том, что, конечно, RSA возникла из совсем другой задачи – из задачи распределения ключей, – а не из задачи зашифрования информации: для зашифрования были известны и абсолютно стойкий симметричный шифр, и симметричные же “комбинаторные” шифры, обладающие высокой стойкостью; более того, и наивный “побуквенный” шифр замены можно сделать очень стойким, пусть и простым в применении (возьмите колоду карт, скажем, и книгу). Но это всё специальные детали, которые я не смог пропустить в силу тематики dxdt.blog. И, конечно, к данному разделу в книге поставлена сноска, в которой прямо указано, что реальное применение RSA – сложнее, и совсем не такое, как описано. Так что, на содержательную часть – не влияет.

Небольшое воскресное чтение манускриптов. Точнее – рассматривание чертежа из “Начал” Евклида, в версии манускрипта Vat.gr 190 девятого века. Это чертёж к Предложению 20 девятой книги, то есть, к доказательству того, что количество простых чисел больше, чем их есть в любом наперёд заданном (конечном) списке.

На чертеже почти все величины, используемые в доказательстве Предложения, обозначены отрезками одинаковой длины. Это довольно странно, а отчасти – загадочно, но именно так на старых манускриптах даны почти все чертежи для теоретико-числовых Предложений из “Начал”.

Другими словами, в доказательстве здесь используется три различных простых числа – ΑΒΓ, – это натуральные числа, но на рисунке их величины обозначены отрезками одинаковой длины. Причём, в более или менее современных переводах – отрезки на чертеже уже будут разными: очевидно, что трём разным натуральным числам не могут соответствовать отрезки одинаковой длины; ну, если только не считать эти отрезки совсем абстрактным представлением – тогда, конечно, длина на чертеже не важна: не рисуют же прямые углы, скажем, как строго прямые (вообще невозможно нарисовать прямой угол).

ΕΔ здесь – это отрезок, измеримый Α, Β и Γ, то есть, если на современный лад, произведение ΑΒΓ, а ΔΖ – единица (в евклидовом смысле), которая добавляется к ΕΔ, что даёт ΕΖ. Ну а Η – это отрезок, обозначающий простое число, которое измеряет ΕΖ (делит). И опять – одинаковой длины с ΕΔ.

Открытый серверный ключ TLS, который указан в TLS-сертификате, на dxdt.blog начинается с подстроки DEADC0DE (в шестнадцатеричной записи, см. скриншот ниже).

Да, тут присутствует ещё и байт со значением 04 в самом начале, но он не имеет отношения непосредственно к ключу – это лишь указание на формат представления. 04 обозначает несжатую форму записи, когда прямо указываются две координаты точки ключа. Поэтому 04 можно отбросить. Такое значение ключа я использовал специально (это то, что называется vanity keys).

Как это значение получено? Оно получено перебором, конечно. Это не очень сложно сделать. Открытый ключ ECDSA – это точка на кривой. Точке соответствуют две координаты, одна из них (обычно, обозначают X), записывается слева. Поэтому в начале записи ключа будут идти старшие байты X-координаты. Остаётся подобрать такой секретный ключ, который даст открытый с нужной X-координатой. Секретный ключ – это натуральное число, больше двух и меньше порядка группы точек кривой (обычно, меньше тоже на два, но это детали). Нужно перебирать секретные ключи и проверять значение начальных байтов X-координаты открытого на соответствие заданной маске.

Открытый ключ – это точка-генератор G из параметров кривой, умноженная на значение секретного ключа d: [d]G. Я, используя готовую библиотеку из дистрибутива языка Go, написал быструю программу умножения на P-256 (кривая, которая используется здесь в ECDSA). Программа перебирает секретные ключи и делает это параллельно, во много потоков. Соответственно, даже на старом 16-потоковом процессоре AMD Ryzen 7, подбор ключа занял всего несколько часов. В результате подбора я получил нужный секретный ключ, который экспортировал для генерирования CSR (запрос на выпуск сертификата) и штатным способом использую при заказе TLS-сертификатов.

Вообще, для P-256 можно придумать немало открытых ключей, запись которых, в X-координате, выглядит ещё более необычно. Например:

0xAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABBBBBBBBA
- цифры A и немного B,
0x1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001
- единицы и нули,
0x5000000000000000000000000000000000000000000000000000000000055555
- пятёрки и нули,
0x7777777777777777777777777777777177777777777777777777777777777777
- семёрки с "неожиданной" единицей,
0x8888888888888888888888888888881888888888888888888888888888888888
- восьмёрки, но тоже с единицей.

Точки с такими X-координатами лежат на кривой P-256. Определить для них Y-координату – не представляет вычислительной проблемы. Более того, ввиду свойств данной кривой – все эти точки, действительно, являются открытыми ключами. Тут есть лишь одна проблема: по открытому ключу очень сложно, а на практике – невозможно, вычислить секретный ключ; потому что это и есть основная задача, обеспечивающая стойкость ECDSA. Конечно, подходящий секретный ключ можно угадать. В том числе, в результате перебора. Вот только перебрать даже половину от, примерно, 2^256 – нереально. Ну и записать подходящий секретный ключ просто по наитию, как поступил бы борелевский шаман, пока что тоже не вышло. Так что придётся, до поры до времени, обойтись без забавных записей, ограничившись hexspeak-вариантом с DEADC0DE. Но как только и если появится квантовый компьютер подходящей разрядности, тогда можно будет секретные ключи подобрать очень быстро.

Для интересующихся английским языком и математикой (при чём тут математика – будет понятно ниже): на сайте The Guardian весьма занимательная задача – нужно прочитать известные идиомы и крылатые фразы на английском, но записаны эти фразы и идиомы в виде наборов цветных прямоугольников, где размеры прямоугольника соответствуют начертанию буквы, а цвета – разные для гласных и согласных (зелёный – гласные). Например, вот так, как на картинке ниже (взято из исходной статьи).

Предложения местами сложные, однако некоторые – угадываются довольно быстро (например, первая фраза). Мне удалось прочитать все 10 (надеюсь, что правильно – ответов, на момент публикации этой записки, ещё нет), так что механизм точно работает, попробуйте.

Там есть цитаты из Шекспира, да и сами исходные тексты, конечно, характерны, так сказать, для британского “литературного бэкграунда”, но это очень интересно, поскольку на конкретном примере показывает, насколько важна графическая форма слова в записи и графические же отношения между словами – а это уже чисто математический аспект.

Казалось бы, это идеальная задача для ИИ/LLM. Современная ИИ/LLM, которая, якобы, на “уровне золотой медали Международной математической олимпиады”, должна легко такую задачу решить. Ведь эти системы “обучены” на огромном корпусе текстов, в котором упомянутые фразеологизмы встречаются постоянно (ну, как бы, “Весь мир – театр” и “Не всё то золото, что блестит” – куда же чаще?). Я, конечно, загрузил текст и картинку с задачкой в ChatGPT современной версии. Откровенно говоря, я, при всём моём скептическом отношении, думал, что хотя бы с парой фраз система справится. ChatGPT не угадало ни одной фразы. Так что задача даже лучше, чем можно подумать.

Воскресное чтение манускриптов. Продолжаем несколько беспорядочное чтение предисловия из “Арифметики” Диофанта. В версии манускрипта 13 века Vat.gr.191 из Ватиканской Апостольской библиотеки. В прошлый раз – изучали фрагмент про “минус на минус” и обозначение “отрицательных” величин. В этот раз – вернёмся немного назад и прочитаем про два других обозначения: про “число”, как “Число” и про “монаду” (почти как в языке Haskell).

Мы раньше уже встречались с обозначением степеней (неизвестной) у Диофанта, и там был “кубо-кубос” (κυβόκυβος – Κ^ΥΚ ) для шестой степени – то есть, “куб плюс куб”. Там же был и квадрат – “дунамис” (“динамис”). Случай, когда никакой степени при неизвестной нет, – это, в современных обозначениях, просто x, – Диофант описывает отдельно.

В манускрипте написано: “Не получившее никакого названия [степени], но содержащее в себе неопределённое количество единиц, Числом (ἀριθμός) назовём, и пусть его обозначение – ς”.

Однако обозначение ς, “сигма” тут – весьма условное: знак только похож на сигму, но это точно не сигма. Так, на данном манускрипте вообще-то используется некий S-образный знак с волной и кружочком, он в середине скриншота, а увеличенный фрагмент – дан ниже.

В разных источниках этот знак переменной тоже разный. Кроме “похожего на сигму”, как здесь, встречаются: Ч-подобный знак, разные “волны с точками и кружками”, иногда иные варианты (дзета и т.д.). Очень загадочный знак. Непонятно, откуда он взялся, если не из сокращения слова ἀριθμός, тем более, что такая логика хорошо укладывается в схему именования других объектов Диофантом, как “кубусы” с каппой и т.д. (см. например, T. L. Heath. Diophantus of Alexandria).

Да и на рассматриваемом здесь манускрипте Vat.gr.191 нетрудно заметить, что вместо этого странного значка, далее по тексту, часто используется как раз скорописное сокращение для слова ἀριθμός. Так что, вполне возможно, что обозначение неизвестной в первой степени и у исходного Диофанта – это ни “сигма”, ни ещё какая-то буква, а специальный знак для слова “арифмос” (откуда, понятно, происходит “арифметика”).

Теперь к монадам. Вторая часть выделенного на скриншоте текста (после странного “сигма-знака” для “арифмоса”) – это описание и название для свободного коэффициента. То есть, для константы, которая входит в уравнение, соотвествующее той или иной задаче. Константы нужно отличать от переменных: “Другой знак для неизменяемого и определённого количества единиц будет “Μ”, несущая “Ο” сверху: M̊” – написано у Диофанта. Диофант задаёт при помощи этого обозначение контекст вычислений. Не сомневайтесь – тут прямо противопоставлены “переменные” и “константы”, в соседних предложениях. Это “мю” (Μ) в обозначении свободного коэффициента – первая буква слова μονάς – “монас”/”монада”. Монада используется у Диофанта именно в смысле выделенного инструмента, позволяющего понятийно отделить место для числа, от самого числа, при преобразованиях. Если вы подумали, что монадой, по принципу использования, тут является “арифмос”, как переменная, то это не так – у Диофанта понятия вводятся из соображений выделения отличий между преобразованиями. Поэтому и степени переменной обозначаются разными именами: “динамис”, “дианамо-динамис”, “кубо-кубос”, а не как принято сейчас – коэффициентом при обозначении неизвестной. Поэтому монада тут нужна именно для фиксирования преобразования. Ну, то есть, сейчас бы, на техничном языке, сказали бы, что это “функториальный инструмент”. Почти что как монада, используемая для обёртывания, например, операций ввода в Haskell. Да и название совпадает, что, конечно, естественно: сам термин “монада” – образован от древнегреческого слова.

Некоторое время назад мы уже находили на манускриптах древние знаки “дипле”, которые сейчас используются с той же целью – для обозначения цитируемого фрагмента текста в сообщении электронной почты, например. В этот раз – в тексте Диофанта используется монада, причём, в том же понятийном ключе, как и в современном языке программирования Haskell, но не только там.

Уравнение Бомбелли – это кубическое уравнение . Рафаэль Бомбелли – итальянский инженер-математик 16 века. Он занимался гидротехникой. В том числе, масштабными проектами по осушению заболоченных лугов. Но в истории математики Бомбелли известен главным образом как автор трактата “Алгебра”, в котором, кроме прочего, описал объект, называемый сейчас “мнимой единицей”. Именно на примере упомянутого кубического уравнения, Бомбелли в “Алгебре” показывает, как найденные им “радикалы особого (другого) вида” можно применить для разрешения противоречий, связанных с “отрицательным числом под радикалом” в формуле Кардано.

Мы решим это знаменитое (в узких кругах) уравнение несколькими способами, выведем формулу Кардано, разберёмся, бывают ли “корни из отрицательных чисел”, поймём, откуда именно проблемные сочетания с минусом берутся в формуле Кардано, и что именно это означает, если отвлечься от бравурных заявлений вида “квадратные корни из отрицательных чисел существуют, но вам об этом не рассказывают”. А кроме того, определим, почему формула Кардано обычно бесполезна с практической точки зрения.

(Это немного дополненная версия статьи, которую я ранее опубликовал на “Хабре”.)
Читать полностью

Воскресное чтение манускриптов. Продолжаем читать фрагменты “Арифметики” Диофанта, в изложении манускрипта 13 века Vat.gr.191 из Ватиканской Апостольской библиотеки (пока ещё до сайта библиотеки есть доступ). Манускрипт на древнегреческом. В прошлый раз изучали, как обозначаются степени (неизвестной) при помощи букв Δ и Κ на том же манускрипте. В этот раз – предложение про “отрицательность” и “положительность”. Как говорится, “минус на минус даёт плюс”. Как ни странно, но буквально это и написано в данном манускрипте, на следующей странице после определения записи степеней. А именно – см. скриншот ниже (я выделил соответствующий фрагмент).

Здесь сразу пара занятных моментов.

Во-первых, Диофант не использует концепцию отрицательных и положительных чисел в полном смысле, как это описывали бы сейчас, то есть, при помощи понятия обратных по сложению чисел, сумма которых равна нулю. Зато у Диофанта есть понятие “дефицит” (“нехватка” – там в женском роде, но это неважно), которое обозначается словом λεῖψις, и обратное к “дефициту” понятие – “достояние”, которое обозначается словом ὕπαρξις (здесь, видимо, в общем значении – “существование”, но в смысле – “имущество”, а именно, “то, что есть”).

Это, как бы, “убыток” и “наличие”, но, вообще-то, – эквивалентны “минусу” и “плюсу”. И вот здесь, во фрагменте со скриншота, Диофант пишет, что “дефицит на дефицит умноженный, даёт достояние, а дефицит на достояние – даёт дефицит”. То есть, буквально, “минус на минус – даёт плюс”, а “минус на плюс” – даёт минус.

Во-вторых, здесь же вводится обозначение для “дефицита” – в виде некоторого символа, типа “шалаша” из трёх чёрточек, который сейчас принято обозначать “𐅢” – если на вашем устройстве не отображается, то это такая вот усечённая “индейская национальная изба”, как в известном советском мультфильме. Однако в тексте с манускрипта эти три чёрточки интерпретируются несколько иначе. То есть, сам фрагмент с манускрипта (конец третьей подсвеченной строки, в современной типографике, без знаков препинания): “καὶ τῆς λείψεως σημεῖον Ψ ἐλλιπὲς κάτω νεῦον 𐅢”. Это переводится так: “и дефицита обозначение – Ψ, урезанное, вниз обращённое: 𐅢”. Однако данный фрагмент выглядит странным: зачем переворачивать и усекать пси? Так что данный кусочек мог быть дописан к исходному тексту в качестве пояснения, кем-то из сотрудников скриптория, а в исходнике Диофанта его не было.

Тут не нужно забывать, что манускрипт-то – 13 века, но исходный текст старше на тысячу лет, или около того, поскольку период деятельности Диофанта Александрийского – это третий век. Дописать пояснение могли раньше, не в 13 веке. Но всё равно, на момент дополнения текста, исходнику могло быть несколько веков. Смысл пояснения про “пси-переворот” в том, что странный знак нужно было описать текстом, для тех, кто будет переписывать манускрипт позднее. Забавно, но, буквально, та же история, как и в предыдущем абзаце, где я попытался описать символ словами про индейскую избу, на тот случай, если символ не отображается на вашем устройстве.

При этом сам Диофант, предположим, использовал просто некий вариант Λ с дополнительной “ногой”, потому что Λ (лямбда) – это первая буква слова λεῖψις, но чистую лямбду сложно отличить от обозначения числа 30 (см. например, T. L. Heath. Diophantus of Alexandria. Cambridge, 1910). Довольно интересная трактовка.

И, кстати, странные закорючки в начале первой и второй строки фрагмента на скриншоте выше, это скорописное сокращение слова ἐπί, кто бы мог подумать: см. скриншот ниже.

Слово встречается много раз, в том числе, на скриншоте, а сокращение – содержит все диакритические знаки из современной типографики, если приглядеться.

Известная шутка гласит, что категорий людей – 10: одни уже знают двоичную систему счисления, а другие – ещё нет. Занятно, что 10₂ обозначает простое число – два. Это большая редкость в системах счисления, которые рутинно используются в ИТ. Понятно, что ни в восьмеричной, ни в десятичной, ни в шестнадцатеричной, 10 (как запись) не может обозначать простое число (как и всякая запись, заканчивающаяся на 0). А в двоичной – пожалуйста.

Естественно, это возможно только потому, что основание двоичной системы – простое число два. Если взять любое другое простое основание, то 10 тоже будет простым, потому что это и есть запись основания: три – по основанию 3, пять – по основанию 5, семь – 7, и так далее. Но наиболее привычны, кроме десятичной (десятеричной), это двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.

Возьмём запись 11. В двоичной – это простое число три (11₂ = 2 + 1 = 3). В восьмеричной – девять, составное, но квадрат простого: 3^2. Та же запись 11 означает одиннадцать в десятичной, простое. Шестнадцатеричное 11 – это семнадцать, тоже простое.

Использование в этом ряду двоичной системы ограничивает доступный набор цифр: только 0 и 1. Но можно взять, например, 101 – трёхзначное:
это пять в двоичной (простое);
шестьдесят пять – в восьмеричной, составное: пять на тринадцать;
сто один – в десятичной, простое;
двести пятьдесят семь – в шестнадцатеричной, простое.

Обратите внимание, что запись чисел словами – это инвариантная, относительно системы счисления, запись.

111₂ = семь (простое);
111₈ = семьдесят пять (составное);
111₁₀ = сто одиннадцать (простое);
111₁₆ = двести семьдесят три (составное: 3*7*D).

Не забывая о том, что все простые числа, кроме числа два и числа три, имеют вид 6*n +/- 1, на трёх цифрах можно и остановиться. Тем более, что шестеричная система счисления не является распространённой.

Сейчас практически постоянно пишут и говорят про “ИИ в математике”. Типа, какие “достижения”. Понятно, что инструмент перебора – может доставать какие-то доказательства кусками из ранее опубликованных работ, “синонимизировать” их, собирать из них другие доказательства и прикреплять к “нерешённым задачам”, например, из списков Эрдёша (где относительно много довольно простых, для специалиста, задач). Такой поиск перебором даже может быть полезен (но по модулю избыточных ресурсов, конечно).

Перебор – перебором, но LLM-перебор – это совсем не тот перебор, который вполне себе является методом математического доказательства. Например, как метод доказательства, перебор позволяет быстро находить контрпримеры к каким-то утверждениям. Элементарная иллюстрация: допустим, кто-то говорит, что нельзя “квадрат разложить на два квадрата”; это легко опровергнуть, просто “подобрав” самую известную пифагорову тройку: 3^2 + 4^2 = 5^2. Естественно, компьютеры существенно улучшили возможности по перебору: несравнимы возможности современного ПК и даже таких признанных вычислителей, каким был Эйлер. Однако всё это без учёта новомодных LLM, в которых, похоже, вычислительный ресурс в основном расходуется впустую.

А вот насколько точны результаты компьютерной обработки, применительно к теоретической математике, и как их интерпретировать – вопрос довольно сложный, скорее философский. По крайней мере, проблемы возникают с действительными числами, которые для компьютеров недоступны в принципе. Хуже того, несмотря на большую мощность, компьютер в принципе не может заглянуть даже в область действительно больших натуральных чисел. Но это всё сложные моменты, которые ничуть не отменяют того факта, что компьютеры давно влияют на теоретическую математику. И дело тут ни разу не в модных LLM.

Вообще, интересующимся темой, я бы порекомендовал серию прекрасных статей Н. А. Вавилова, которая начала выходить ещё в 2020 году, до всего этого “хайпа” с LLM “в математике”, и к LLM никакого отношения не имеет: “Компьютер как новая реальность математики” – вот где действительно есть тематическое содержание.