dxdt.blog: занимательный интернет-журнал

Кстати, в продолжение теоретико-числовых аспектов “Начал” Евклида. Смотрю тут книгу Бориса Трушина для школьников по теории чисел – “Теория чисел: с нуля до теоремы Эйлера”. На странице 66 там, под названием “Теорема Евклида”, приводится утверждение о том, что “простых чисел бесконечно много”, и доказательство – от противного: примем, что простых – конечное количество, перемножим их все, прибавим единицу, заметим, что результат не делится ни на одно из простых, – противоречие. Это типовое доказательство, которое встречается во многих учебниках. Почему приводят именно его – не очень понятно, но такова традиция. Однако, заметьте, в книге Трушина доказательство не названо “доказательством Евклида”. И это правильно. Почему? Потому, что Евклид-то доказывал данное утверждение не так. Евклид доказывал несколько более конструктивно.

Собственно, даже исходное предложение Евклида (9.20) сформулировано иначе: “простых чисел больше, чем в любом заданном (конечном) наборе простых чисел”. Может показаться, что это такая же формулировка, как и про “бесконечно много”, но, логически, это не так – Евклид не постулирует тут никакой бесконечности “от противного”, не рассматривает “все простые”, а использует конструктивный подход: даёте конкретный список простых чисел, и вот метод, по которому можно построить такое простое, которого не будет в этом списке. И доказательство у Евклида не от противного. Оно, что называется, более “конструктивное” (в той же мере, что и формулировка).

Логика исходного доказательства Евклида: выберем любые три простых числа A, B, C; возьмём наименьшее D, которое делится на A, B и C; прибавим к D единицу, получив число N = D + 1. (Обратите внимание, что единица здесь – это единица в евклидовом смысле, то есть, неделимый элемент.) Полученное число N либо является простым, которое не вошло в исходный список (утверждение, в этом случае, доказано), либо N – составное, и тогда N делится на какое-то простое (обратите внимание на этот момент – к нему ещё вернёмся ниже). Обозначим простое число, на которое делится N, буквой M. Если M – число из исходного списка [A, B, C], то M делит и D (по построению D). Следовательно, раз M делит и N, и D, то оно делит и разность N – D, но эта разность есть единица, и M не может её делить. Следовательно, M не входит в исходный список [A, B, C] – мы нашли новое простое число. То есть, тут показан достаточно конкретный способ конструирования нужных чисел, и это совсем другая история, чем постулирование “актуальной” бесконечности. Тем не менее, в учебниках регулярно приводят именно “доказательство от противного”, хоть оно и не является доказательством Евклида.

В доказательстве “от противного” фигурирует произведение всех простых. Если забыть, что это произведение всех простых, то нетрудно сделать ошибочный вывод, что можно всегда получить простое число, перемножив несколько последовательных простых и прибавив единицу. Это неприятный момент неверного обобщения результата, который полностью отсутствует в исходном доказательстве Евклида (см. выше). То есть, например, 2*3*5*7*11 + 1 = 2311 (простое), но это не означает, что просты и все такие числа (которые называют числами Евклида). Надо сказать, что в книге Трушина, как раз, сразу же, после доказательства теоремы Евклида этот, – наверное, самый важный, – момент подробно рассмотрен и показано, что уже 2*3*5*7*11*13 + 1 = 30031 = 59 * 509.

Книгу Трушина, кстати, порекомендую (и далеко не только школьникам). Там, конечно, есть несколько наивный небольшой раздел про применение теории чисел в криптографии, написанный, почему-то, на примере RSA, для которой проводится странное “сращивание” с шифрами простой замены. Это при том, что, конечно, RSA возникла из совсем другой задачи – из задачи распределения ключей, – а не из задачи зашифрования информации: для зашифрования были известны и абсолютно стойкий симметричный шифр, и симметричные же “комбинаторные” шифры, обладающие высокой стойкостью; более того, и наивный “побуквенный” шифр замены можно сделать очень стойким, пусть и простым в применении (возьмите колоду карт, скажем, и книгу). Но это всё специальные детали, которые я не смог пропустить в силу тематики dxdt.blog. И, конечно, к данному разделу в книге поставлена сноска, в которой прямо указано, что реальное применение RSA – сложнее, и совсем не такое, как описано. Так что, на содержательную часть – не влияет.

Адрес записки: https://dxdt.blog/2026/05/19/18256/