dxdt.blog: занимательный интернет-журнал

Идея очевидным образом обозначать текст, сгенерированный LLM/ИИ, – здравая. Потому что – куда деваться? Если автор той или иной публикации обозначает, что, мол, весь текст, сгенерированный той или иной LLM/ИИ, обозначен отступом и отметкой на полях, то это похвально. Не менее похвально, если те слова выдачи LLM, в которые вмешался автор, тоже выделены.

Есть только один хитрый момент: хорошо бы не менее заметным способом обозначать, что использовалась программа-синонимайзер, генерирующая текст, а провайдер программы – компания “Имярек”. Потому что так будет точнее. Не “ИИ-агент”, не “сверхразумная GPT”, а синонимайзер. Естественно, различные компании “Имяреки”, производящие “хайп”, как главный свой продукт, постоянно выводят используемые обозначения в сторону “интеллекта”, пусть даже “искусственного”. Отсюда, вместо точного указания на то, что автор публикации разместил в ней результат работы синонимайзера, теперь нередко пишут, что “идея данной статьи принадлежит LLM такой-то”, программный код реализовала “LLM такая-то”. Это вот сильно сбивает читателей с толку.

Небольшой исторический экскурс, про комплексные числа и “квадратный корень из минус единицы”. Читаем исходники Бомбелли. Почему Бомбелли? Потому что без упоминания этого итальянского инженера-математика 16 века не обходится ни один экскурс в историю внедрения комплексных чисел. Про Рафаэля Бомбелли нередко пишут, что он “первым ввёл в обиход комплексные числа”. Несомненно, труд Бомбелли “Алгебра” (L’Algebra) сыграл одну из ключевых ролей в становлении подходов к алгоритмическому пониманию комплексных чисел. Но что именно сформулировал Бомбелли, и как именно? Насколько этот объект похож на современные комплексные числа?

Традиционно ссылаются на небольшой фрагмент из “Алгебры” Бомбелли, в котором прямо определяются правила арифметики для “мнимой единицы”, то есть, для i. Тут, однако, кавычки необходимы: мнимая единица – это в современных терминах; как будет понятно далее, у Бомбелли всё несколько иначе записано.

“Алгебра” Бомбелли написана на итальянском. Чтобы проиллюстрировать различие подходов, я постараюсь в ключевых местах дать дословный перевод текста Бомбелли, максимально близкий к исходнику (ну, на мой взгляд). Это позволит понять, как вообще описывались алгебраические объекты до появления современной нотации, и возможно ли сравнивать объекты непосредственно.

Кстати, современная алгебраическая нотация является настолько огромным достижением сама по себе, что именно её мог бы использовать “попаданец” в средневековое европейское прошлое для эффективного убеждения инквизиторов в том, что он, “попаданец”, реально из будущего. Современные для двадцать первого века теоремы, скажем, типовой “попаданец” не сможет даже сформулировать. Как и убедительно рассказать про “металлических птиц” и “дальновидение”, чтобы обособить свой рассказ от прочих волшебных историй, бытовавших и в средние века – просто, тут необходимо знать слишком много, для “попаданца”. Зато базовая алгебраическая нотация, на уровне записи формул корней квадратного уравнения, нынче хорошо знакома едва ли не каждому, а на образованного инквизитора прошлого произведёт впечатление. Но всё это в художественном произведении, конечно. Почему-то, этот вариант, хоть он простой и доступный, упускают из виду. Вернёмся, впрочем, к итальянской “Алгебре” 16 века.

Ниже дан первый фрагмент скана соответствующей страницы (это издание 1579 года, из библиотеки Linda Hall; страница 169; выделение цветом – моё; в некоторых местах, где допустимо и если не влияет на контекст, – я исправляю опечатки исходника и меняю типографику на современную итальянскую, для лучшего текстового представления, например, u -> v; см. детали ниже).

Итак, итальянский – исходный язык, на котором писал свой труд Бомбелли. Это уже далеко не латынь, но и не совсем современый итальянский – 16 век, всё же. (Знание итальянского для понимания этой заметки не требуется – я все важные слова объясню ниже.) В самом начале страницы, Бомбелли, буквально, пишет (пожирнение тут везде соответствует тексту, выделенному на скане): “Я обнаружил другой тип кубических корней выражений, который сильно отличается от всех других” (“Ho trovato un’altra sorte di R.c.legate molto differenti dall’altre”.)

Здесь сразу же попадается интересный термин: “R.c.legate”, от Radice Cubica Legata, – это обозначение для кубического корня, вычисляемого для некоторого алгебраического выражения (формулы), которое, как сейчас сказали бы, стоит “под радикалом”. Откуда и legata – “связанная” (итальянское radice, “корень” – женского рода; кстати, если вы только изучаете русский, то и “корень” вам тоже может показаться существительным женского рода). В общем, если на русском, то будет “связанный корень” или, что несколько точнее, “присоединённый корень”.

Что тут имеется в виду? Бомбелли определяет соответствующий больший термин – Radice Legata – за несколько десятков страниц до рассматриваемого фрагмента “Алгебры”. И в определении дан такой пример (здесь он записан в современных обозначениях и терминах): пусть кто-то говорит, “найди мне квадратный корень из (7 + √48)”, это означает, что нужно найти такое выражение вида a + √b, которое, “умноженное само на себя, даст (7 + √48)”; такое выражение, пишет Бомбелли, это (2 + √3). Проверяем: (2 + √3)*(2 + √3) = 4 + 4*√3 + 3 = 7 + 4*√3 = (7 + √48). Сходится.

Однако Бомбелли, когда описывает здесь нахождение квадратного корня в подобной форме, не использует термин “квадратный корень”. Он, буквально, пишет: “найди мне сторону” (дословно: trovami il lato). И это, вообще говоря, сторона квадрата, площадь которого равна заданному выражению (с иррациональностью!). Это всё похоже на геометрический подход, разделяющий числа и “величины”.

Нужно отметить, что, как сейчас бы сказали, Бомбеллли строит расширение поля рациональных чисел: потому что (7 + √48) = (7 + 4*√3) – это присоединение к рациональным числам иррационального √3, где √3 – это обозначение числа, квадрат которого равен 3 (определение корней дано у Бомбелли через умножение, а это очень важно). То есть, рассматриваем всевозможные выражения вида a + b*√3, где a, b – рациональные числа. Естественно, во времена Бомбелли абстрактной теории полей ещё не было, как и коммутативной алгебры в современном понимании. Но тем не менее.

Получается, геометрическая интерпретация всё ещё отражена у Бомбелли в терминах (“найти сторону”), но искомые “радикалы” вводятся уже через присоединение “внешнего” корня многочлена, через расширение поля, а не через “углы”, которые сейчас повсеместно связывают с комплексными числами, – например, в радиотехнике, но не только там. Именно алгебраическое определение комплексных чисел через расширение поля (присоединение корня полинома X^2 + 1) и является современным, – “операционным” и алгоритмическим, – вариантом. Угловые меры, как инструмент, конечно, в труде Бомбелли тоже есть, в том числе, при рассмотрении решений кубических уравнений. Но это не комплексные числа, а другой инструмент.

Фактически, “R.c.legate” это запись корня уравнения в кубических радикалах, с присоединением иррациональностей. Но всё же, получается, что речь тут идёт о специальном “радикале”, как способе записи, а не о теоретическом “числовом” объекте. Это следует ещё и из того, что темой соответствующего раздела является решение уравнений третьей степени (формула Кардано, в частности). В современных обозначениях – ∛(a + √d) – кубический корень из выражения, содержащего корень квадратный. Этот последний момент – важен для понимания дальнейшего текста.

Итак, имеем радикалы из выражений вида a + b√d, как способ записи, пригодный для специальных вычислений. Идём дальше – дословный перевод следующего фрагмента со скриншота труда Бомбелли: “эта вещь [радикал] встречается в главе, рассматривающей куб, равный многим ([т.е. кратности неизвестного]) и числу”. Вот этот странный текст про “куб, неизвестное и число”, это есть ни что иное как запись словами уравнения вида x^3 = px + q, если в современных обозначениях. (Далее будем называть здесь q не “числом”, а константой – так понятнее.)

Бомбелли здесь рассматривает куб неизвестного х, слева, и он приравнивается к значению, кратному этому х (p*x), плюс некоторое число (буквально – numero), константа “без неизвестного”, то есть плюс q. Именно такая форма уравнений рассматривается. Вообще, это не единственная используемая “нотация”. Тот же Бомбелли далее в “Алгебре” использует специальную нотацию с отдельным обозначением степеней неизвестной арабскими цифрами (но без формального обозначения самой неизвестной – как сейчас написали бы: x или t). Однако в обсуждаемом фрагменте – тип уравнения назван просто словами. Ни о каких операциях речи ещё не идёт, но тут же вводится важное ограничение, выделяющее интересующий Бомбелли подтип уравнений и приводящее, в итоге, к “мнимым” (или “софистским”) радикалам.

Далее сформулировано условие, что (p^3)/27 больше (q^2)/4, но опять словами, при этом (p^3)/27 = (1/3*p)^3, а (q^2)/4 = (1/2*q)^2. Дословно по тексту: “когда куб одной третьей от кратности [неизвестного] – больше, чем квадрат половины числа [константы]”. В исходном тексте: “quando il cubato del terzo delli tanti è maggiore del quadrato della meta del numero” – “cubato del terzo” – “куб одной третьей”, “è maggiore del quadrato” – “больше квадрата” и т.д. То есть, всё описано словами, и речь о конкретном случае значений коэффициентов. Разительно отличается от современного подхода к изложению материала. Почему (p^3)/27 > (q^2)/4? Об этом сказано буквально через несколько слов.

Пропускаем слова о том, что примеры с таким уравнением Бомбелли разбирает в отдельной главе, читаем дальше и пытаемся разобраться: “соответствующий тип квадратного корня в своём вычислении (Algorismo) требует операций, отличных от всех других, и другого названия” (“la qual sorte di R.q. hà nel suo Algorismo diversa operatione dall’altre, e diverso nome”). Здесь R.q., от Radice Quadrata, – это уже квадратный корень, но терминологическая логика остаётся той же. Почему же речь теперь про квадратный корень, если сначала упомянуты кубические? Потому что здесь написано про “подрадикальный” корень, соответствующий вычислению корня кубического. Собственно, когда вы решаете кубическое уравнение в радикалах, то в процессе решения обязательно возникает квадратное уравнение и квадратные корни. В формуле Кардано они и составляют смысл всей затеи. О чём и пишет Бомбелли далее: “когда куб одной третьей кратности больше квадрата половины константы, тогда нельзя назвать [его] ни больше, ни меньше“. То есть, тут речь про значение “ни с плюсом, ни с минусом”. Необходимо учитывать, что отрицательные числа пока что не используются как класс, привычный сегодня: например, довольно сложно определить, что такое сторона квадрата, имеющая “отрицательную величину”. Поэтому “ни больше, ни меньше” – “ne più, ne meno”, – как операции увеличения и уменьшения чего-то: a + b, a − b.

Формула Кардано имеет вид (a + √b)^(1/3) + (a − √b)^(1/3), то есть, это сумма двух кубических корней, соответствующих R.c.legate Бомбелли, а “ни больше, ни меньше” относится к части √b. Ведь в формуле Кардано b = (q^2)/4 − (p^3)/27, соответственно, если (p^3)/27 больше (q^2)/4, то и получаем отрицательное значение под квадратным корнем. Это и есть та величина, про которую ни сказать, что “она больше”, ни сказать, что “она меньше”.

Дальше: “но [эти элементы] называю “плюс минуса”, там, где их нужно складывать ([увеличивать]), а где их нужно отнимать ([уменьшать]), называю “минус минуса”, и эта операция необходимейшая…” (“però lo chiamerò più di meno, quando egli si doverà aggiongere, e quando si doverà cavare, lo chiamerò men di meno, e questa operatione è necessarissima…”). То есть, в том случае, когда под радикалом отрицательное число, Бомбелли такое сочетание не считает возможным называть, ни “большим”, ни “меньшим” – читай: ни положительным, ни отрицательным, – но называет “плюсом минуса” и “минусом минуса”. Для прототипа i тут вводится специальное, двойное операционное обозначение. Те же “плюс минуса”/”минус минуса” можно перевести и как “больше минуса”/”меньше минуса”. Что это могло бы обозначать? А это больше всего похоже на описание способа выноса мнимой единицы из-под радикала. Например, перепишем (2 − √(-3)) как (2 − i*√3).

Что касается исключительной важности новой операции, которая объявлена “необходимейшей”, то речь тут об уравнениях четвёртой степени (potenza di potenza) разной формы, где подобные радикалы возникают “гораздо чаще, чем другие”.

Далее Бомбелли пишет, что “[подобные радикалы] многим покажутся скорее “софистскими”, чем “настоящими”; такого мнения и я сам придерживался тоже, пока не нашёл для него [радикала] демонстрации геометрической” (“la quale parerà à molti più tosto sofistica, che rale, e tale opinione hò tenuto anch’io, fin’ che hò trovato la sua dimostratione in linee”).

Как ни странно, но геометрическая демонстрация (на плоскости, да), которую Бомбелли приводит отдельно (а я здесь пропускаю), это вовсе не современная геометрическая интерпретация комплексных чисел – с поворотом, углами, мнимой и действительной осями.

Промежуточный итог: Бомбелли рассматривает некоторые “новые радикалы”, отдельный тип квадратного корня, со своим названием и свойствами, как составную часть операции отыскания кубических корней. То есть, в качестве вспомогательного элемента, чтобы операция работала, используется новый объект, который очень похож на мнимую единицу (см. “плюс-минусы” выше), но вовсе не на квадратный корень из минус единицы, как на число вообще и на “рациональное” число в особенности. Далее Бомбелли перечисляет правила умножения “знаков” для нового элемента: “и вначале разберу умножение, определив закон для плюса и минуса” (“e prima trattarò del Moltiplicare, ponendo la regola del più & meno”). На скриншоте ниже – эти определения.

Если новый “минус” заменить на обозначение i, то получится, что здесь написано следующее (пример из: F. La Nave and B. Mazur, Reading Bombelli, 2001):

1. (+)*(+i) = +i
2. (−)*(+i) = −i
3. (+)*(−i) = −i
4. (−)*(−i) = +i
5. (+i)*(+i) = −
6. (+i)*(−i) = +
7. (−i)*(+i) = +
8. (−i)*(−i) = −

Если представить, что “чистый” минус и “чистый” плюс – это подразумеваемые плюс/минус единицы по умножению (как в современной нотации), то получится, что в пятой строке записано (i*i) = i^2 = -1. А это корректное определение мнимой единицы. Может показаться, что обобщив определение квадратного корня в “Алгебре” Бомбелли получаем √(-1) = i, поскольку i*i = -1, но это не так, поскольку Бомбелли не вводит i как “число” или как измерение “стороны”. Это i – приписано сейчас, это некий анахронизм, а в исходном тексте (см. скриншот выше), фигурируют лишь операционные обозначения “плюс минуса” и “минус минуса”. И тем более выделение концепции мнимой единицы оказывается в некотором противоречии с тем, что данные специальные радикалы (R.C.Legata) вводятся непосредственно для выражений вида (a + √d), применительно к кубическим уравнениям. А в современном варианте извлечение кубических корней из комплексных чисел требует формулы Муавра и тригонометрического представления.

Бомбелли находит решение в радикалах для уравнения x^3 = 15*x + 4. Это, пожалуй, второй самый цитируемый фрагмент “Алгебры”. Во времена Бомбелли было известно, что кубическое уравнение всегда имеет один (действительный) корень, а особый интерес представляли только положительные корни. С одной стороны, положительный корень x^3 = 15*x + 4 нетрудно угадать: x = 4. С другой стороны, (4^2)/4 = 4, (15^3)/27 = 125, и формула Кардано даёт для этого уравнения следующее выражение: ∛(2 + √-121) + ∛(2 − √-121). Это как-то не очень похоже на 4.

Вообще, можно найти и некоторые другие озадачивающие варианты значений внутри формулы Кардано для уравнений с очевидным целым корнем, без “отрицательных радикалов”, особенно, если вам знакомо уравнение Пелля, но это тема для другой записки. Что же касается √-121, то это всё равно выглядит сложно. Даже сейчас, для современного взгляда. Потому что, вообще говоря, и значений кубического корня получается несколько, и для случая трёх действительных корней формула Кардано, мягко говоря, несколько бесполезна.

Однако Бомбелли, иллюстрируя свой новый метод, показывает, что (2 + i)^3 = (2 + √-121), если только следовать описанным выше правилам. И действительно, (2 + i)*(2 + i) = (3 + 4i), (3 + 4i)*(2 + i) = (2 + 11i) = (2 + √-121). Соответственно, (2 − i)^3 = (2 − √-121), так сказать, из соображений симметрии (это отмечено у Бомбелли, как ни странно). Поэтому ∛(2 + √-121) + ∛(2 − √-121) = (2 + i) + (2 − i) = 4. Вот только в данном конкретном случае значения нетрудно подобрать под известный ответ. А в других случаях – без рационального аналога тригонометрии с кубическими корнями будет трудновато.

Продолжение темы: уравнение Бомбелли и мнимая единица.

Попалась интересная публикация о том, как насаждаемые везде и всюду ИИ/LLM реально повлияют на безопасность компьютерных систем, с примерами (англ.): AI will compromise your cybersecurity posture (“ИИ скомпрометирует ваш подход к обеспечению кибербезопасности”).

По ссылке – разобраны расхожие “хайп-заявления” про ИИ/LLM – типа, “ИИ взломает 51% паролей за секунды”, “ИИ самостоятельно успешно написал эксплоиты к 87% описаний CVE” и пр., – а потом, на примерах, показано, как ИИ-системы реально повлияют на процессы обеспечения информационной безопасности: неконтролируемый доступ через LLM-агентов, некотролируемый поток ошибок в коде, навязываемое встраивание внешних систем, про которые даже их разработчики не знают, как они устроены, ну и так далее.

Ещё лет пятнадцать назад активно обсуждали такой момент: онлайн-сервисы автоматического перевода текста, когда они интегрированы в веб-браузер, могут получать разные внутренние корпоративные документы, которые корпоративные же пользователи туда загружают, дабы получить перевод. Естественно, по таким документам на стороне провайдера сервиса можно строить статистику, сохранять их, подсчитывать похожие документы, и так далее, и тому подобное. (Получается что-то вроде использования онлайн-тотализатора в качестве приёмника утечек от хорошо информированных игроков.)

Сейчас тема развилась так хорошо, что на сторону провайдера ИИ/LLM-сервиса в онлайн-режиме передаётся исходный код программых продуктов, в том числе, внутренних корпоративных программных продуктов и экспериментальных версий. Да не просто код, а сведения о процессе подготовки этого кода. Заметьте, что провайдер обязательно использует этот новый код для “обучения” своих систем. А это прямо означает, что этот же код может быть передан другим пользователям сервиса. То есть, не просто провайдер получит код (тут можно вспомнить “социальную сеть” Github и пр.), но провайдер передаст этот код другим. (Тут вовсе не нужно вспоминать “копирайт” и прочие “бумажные соглашения”: как показала практика, поставщики ИИ/LLM на это внимания не обращают, списывая всё на добросовестное использование “в обучении” LLM.)

Казалось бы, какая разница, что исходный код уходит наружу? Код должен быть так написан, чтобы его утечка не приводила к проблемам с безопасностью самого ПО. Это верно. Но не нужно упускать такой момент: по коду нетрудно сказать, что за ПО разрабатывает компания, соответственно, нетрудно надёжно выявить список коммерческих проектов и текущий статус их разработки – а это уже весьма ценные сведения для конкурентной разведки.

Если вы вдруг думаете, что “док-станции” и сопряжение наручных “смарт-часов” со смартфоном – это очень новое, то вот система Breguet Sympathique начала 19 века – 1814 года выпуска, из британской Королевской коллекции. Да, это тот самый “Брегет”, упоминаемый, например, у Пушкина. Только здесь большие настольные (накаминные, если точнее) часы снабжены механическим интерфейсом для подключения карманных часов – то есть, самой что ни на есть настоящей, пусть и механической, “док-станцией”.

(Credit: Royal Collection Enterprises Limited / Royal Collection Trust.)

Карманные часы устанавливались в специальный захват на верхней панели основных часов. При этом основные часы автоматически корректировали время карманных и точность их хода.

(Credit: Royal Collection Enterprises Limited / Royal Collection Trust.)

Коннектор крупным планом. Здесь имеется микроскопический центральный вал, который подключается к механизму карманных часов через специальное отверстие в корпусе последних – см. следующую иллюстрацию.

(Credit: Royal Collection Enterprises Limited / Royal Collection Trust.)

В нижней части механизма, за отверстием в корпусе, видны некоторые детали механического интерфейса, при помощи которого регулировалось положение стрелок карманных часов, – они устанавливались синхронно показаниям основных, – осуществлялась коррекция хода карманного механического гаджета (по разнице между опорным временем основных часов и фактическими показаниями времени на карманных). Были и более поздние варианты системы, с автоматическим заводом пружины карманных часов.

Девятнадцатый век. Никаких транзисторов и Bluetooth. Но, естественно, штучная ручная работа.

Cloudflare пишут об утечке BGP-маршрутов крупного венесуэльского провайдера, случившейся в начале января этого года, непосредственно перед известной операцией США. Краткий вывод: утечки маршрутов происходят постоянно (это факт, не поспорить), поэтому единственное, на что эта утечка может косвенно указывать, так это на то, что были проблемы с сетевым оборудованием, точнее – с его настройками (тут тоже не поспорить – глобальные утечки в BGP вполне себе служат сигналами о том, что именно происходит на сетевом оборудовании провайдера, но для интерпретации сигнала – нужно знать схему сети; соответственно, если вы хорошо подготовленный атакующий, то и утечки маршрутов помогают).

Немного про понимание определения комплексных чисел, и о том, почему “квадратные корни из минус единицы” не должны вызывать никаких проблем и сомнений, сами по себе.

Комплексные числа – это пары действительных чисел (x, y), операции с которыми производятся по следующим правилам:

сумма:

(x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂);

произведение (пишем иксы слева):

(x₁, y₁)*(x₂, y₂) = (x₁*x₂ − y₁*y₂, x₁*y₂ + x₂*y₁).

Здесь операции внутри скобок – привычные операции в действительных числах. Но интерпретируются строго пары! Из пар можно аккуратно спуститься в действительные числа, зафиксировав один из элементов пары и забыв про то, что это пара элементов (см. ниже).

Собственно, это всё, что нужно для понимания в историческом контексте. Все остальные современные “надстройки” – именно “надстройки”: они вводятся над только что описанной конструкцией.

Сложение для пар проверяется элементарно. С умножением чуть-чуть сложнее, но, например, сразу получается, что i (мнимая единица) это (0, 1). Проверяем для i*i = i^2:

(0, 1)*(0, 1) = (0*0 − 1*1, 0*1 + 0*1) = (-1, 0)

Выходит, в наших обозначениях, i*i = i^2 = (-1, 0). Поэтому-то можно записывать комплексные числа, заданные парой (x, y), в форме x + y*i. Но это просто способ записи (удобный по ряду причин, которые тут не важны).

Вернувшись к парам в скобках, можно все действительные числа записывать в форме (x, 0), где x – любое действительное число, в “привычном” понимании. Это, опять же, соглашение. Тогда получается, что i^2 = (-1, 0) – это и есть -1 (“минус единица” в действительных). Всё сходится. Но обратите внимание, что запись (0, 1) для i – она не укладывается в форму (x, 0). Потому что i не лежит в действительных числах. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому никаких “корней из минус единицы” там быть не может. А вот в виде пар (x, y), с описанными выше операциями, – пожалуйста, можно записывать.

Проверим нужное свойство квадрата для отрицательного числа -121, будем возводить в квадрат число (0, √121). Здесь 0 – слева, а корень квадратный из 121 (положительного!) – справа. Всё это действительные числа. 121 – положительное действительное, нет никаких противоречий:

(0, √121)*(0, √121) = (0*0 − √121*√121, 0*√121 + 0*√121) = (-121, 0).

Сходится. Тут все задействованные числа – действительные. Но тут нет никаких “отрицательных квадратов” действительного числа. Просто, числа связываются в пары. Переход от действительных чисел к парам (от R к R^2, если хотите) – это очень просто. И как только этот переход охвачен пониманием, тут же перестаёт казаться удивительным широко тиражируемый факт, что i – это, как бы, квадратный корень из минус единицы (на самом деле – нет, не квадратный корень, это лишь некоторое наложение обозначений, вполне типичное, – см. ниже).

Вообще, действительные числа – куда как более загадочный объект. Их очень сложно, если вообще возможно, определить. Попытки строгого построения действительных чисел тут же сталкиваются с инструментами анализа, вроде бесконечных последовательностей и сходимости, что неминуемо уводит в философские аспекты математики, начиная с логики и аксиоматического построения теории множеств. Комплексные числа, на этом фоне, выглядят прозаично. И никакой проблемы с “несуществованием” квадратных корней из отрицательных чисел – нет вообще. Да и не было.

Что же придумывали для кубических уравнений дель Ферро, Кардано и другие итальянские математики 16 века?

Они придумывали “калькулятор”, позволяющий находить корни уравнений при помощи зафиксированной последовательности некоторых операций. Это называется “решение в радикалах”. И вот оказалось, что одной из новых операций стала обработка выражений вида √-9. Почему это необходимо для процесса решения кубических уравнений – в максимальной общности объяснил Галуа, в 19 веке. Но ещё в веке 16 стало понятно, что для того, чтобы такие операции заработали в новом калькуляторе, нужны пары действительных чисел. Тогда можно найти пару (0, 3), которая, при умножении на себя согласно правилам, описанным выше, даст (-9, 0), а уже это значение можно спустить в действительные числа, получив там -9 (проверьте сами). То есть, квадрат (0, 3) даёт действительное -9. Да, из-за отсутствия современной нотации это не прописывалось прямо, в формулах, а проговаривалось словами и в других терминах. Отсюда и рассуждения про “тонкости арифметики”.

Итак, мы нашли пару (0, 3). Означает ли это, что мы нашли действительный квадратный корень из отрицательного числа (из числа минус девять)? Нет, не означает. В действительных числах квадрат любого числа, отличного от нуля, – положителен, по определению, и не важно, по какую сторону от нуля это число лежит – квадрат всё равно будет справа, будет положительным.

А что же с “корнем из минус единицы”?

Оказывается, знак радикала (√) тут нужно рассматривать как часть обозначения. То есть, это не операция извлечения квадратного корня в действительных числах, как, например, в случае трактовки √4 = 2. Радикал и “минус единица” – это обозначение внешнего элемента, квадрат которого равен “минус единице”. Поскольку этот элемент, как число, не может принадлежать к действительным числам, радикал идёт тут вместе с записью “минус единицы”. Не более. Аналогично тому, как √2 можно понимать как обозначение числа, квадрат которого равен рациональному числу 2.

Поэтому-то обозначения √-1 следует избегать. Поэтому нельзя использовать такой вариант обозначения в учебных целях (если, конечно, речь не про объяснение того, почему некорректно так делать). Как только знак радикала перепутывается в понимании с привычным обозначением операции, возникает неприятное противоречие – так как, по правилам операции, получается, что i^2 = √(-1)*√(-1) = √((-1)*(-1)) = √1 = 1, что, очевидно, неверно. В общепринятых обозначениях избежать этого можно так: мы обозначаем i как i, а свойства вводим так: i^2 = -1. А в схеме с парами значений – просто пишем (0, 1), и никаких трудностей.

(Продолжение темы.)

На гистограмме ниже показано количество опубликованных на dxdt.ru записок по годам, с 2006 года, когда начинается архив WordPress на сайте (собственно, это статистика по данным из панели управления WordPress).

Что тут видно? Вот, видно, что рекордный год – 2008 (аж 480 записок опубликовано, более одной в сутки, в среднем; я даже сам сейчас удивляюсь такому количеству); но зато в 2009 уже очень резкое падение, которое, как я думаю, связано с тем, что в 2009 уже были заметно другие времена, по сравнению с 2008, когда всё ещё сохранялись “старые времена”, да и публиковать я на dxdt.ru в 2009 стал только что-то совсем “дельное”, с какими-то подробностями. Кстати, есть немало записок, уже связанных с историей Сети: например, вот из 2009 года про запуск DNS-резолвера Google. Поскольку с Интернетом я столкнулся сильно раньше 2006 года (лет на 15-16 раньше – ещё и веба-то не было), то, конечно, немного жаль, что записок с тех старых времён тут нету. Ну да ладно. (Разные авторские сайты, с регулярными публикациями, я вёл тоже задолго до dxdt.ru, даже выигрывал конкурсы – но это другая история, а dxdt.ru пока что остался самым долгоиграющим, несмотря на всякие глобальные изменения.)

Совсем мало записок на dxdt.ru выходило в период с 2017 по 2021 год, буквально – едва набирается по паре в месяц (да, я в эти годы продолжал что-то писать в Facebook – не уверен, что это было хорошей идеей). Но вот уже в 2023 году – резкий рост (вполне возможно, что сыграл эффект “минус Facebook”, но не только это). И пока что сохраняется темп с заметным количеством записок ежегодно.

Продолжаем наблюдение.

Пишут, что на такое мероприятие, как инаугурация мэра Нью-Йорка (США), запрещено приносить Flipper Zero и Raspberry Pi. Да. Прямо так и указано в списке запрещённых предметов, наряду с большими сумками, домашними животными (уровня pet, про буйволов ничего не сказано), велосипедами, креслами, битами и другими объектами, которые, прямо скажем, чуть более часто встречаются, чем Raspberry Pi и Flipper Zero. Вместе с тем, Arduino, получается, можно проносить. Уже проще.

Самое забавное, что смартфоны и ноутбуки – не запрещены. Сравните, как говорится, возможности Flipper Zero с возможностями ноутбука, к которому подключен набор решений на ESP32 и, предположим, HackRF (все разрешены).

Число 2026 – полупростое: 2026 = 2 * 1013. А в 1013 году, летом, викинги, под предводительством Свена Вилобородого (Sven Tveskägg, Sweyn Forkbeard), очередной раз атаковали Англию, а именно – Лондон. Но, так как Лондон сперва от викингов отбился, они разграбили много поселений вокруг: в Уэссексе и Нортумбрии, например. Однако, как сообщают летописи и прочие источники, уже зимой того же 1013 года Свен сманеврировал так удачно, что установил контроль над Денло (Danelaw) и был незамедлительно объявлен королём Англии в Лондоне. Ненадолго, впрочем.

С 2006 года, то есть, за 20 лет до 2026, начинается архив записок в той версии dxdt.ru, которую вы читаете сейчас. Сам сайт – на пару лет старше.

В общем, посмотрим, что там в следующем году.

Подборку записок за 2025 год я опубликовал отдельно.

С наступающим Новым годом! Спасибо, что читаете.

Кстати, попался тут неплохой пример странностей современного “Хабра”, связанных с ИИ/LLM – статья под названием “Царский путь к пониманию комплексных чисел” (не ясно, есть ли тут аллюзия на известную максиму про отсутствие “царских путей” в математике). Текст, судя по всему, – а также, судя по комментариям автора статьи, – сгенерирован при помощи нескольких LLM, но потом поправлен и скомпилирован автором. (Такое сейчас прямо поощряется.) Теми же LLM сгенерированы картинки-иллюстрации в статье.

В статье полностью сохранена характерная для LLM-генераторов подача в стиле “успешный успех”. А “успешный успех” начисто скрывает за ложным пафосом минимальную содержательную часть, если она там и есть – читать это, к сожалению, очень и очень трудно, полезный выход минимален: “Рождение ереси”, “Приглашение к бунту”, “Понимание – не равно – умение решать” и т.д., думаю, заштампованность ясна без дальнейшего перевода.

На схемах к статье утверждается, например, что принятие “догмы”, которая там названа (цитата) “Корней из отрицательных чисел не существует”, приводит к потере “Квантовой механики и теории поля”, а также “Волн и колебаний в физике”. Каким таким образом это возможно? Нет объяснения. При этом, очевидно, что над действительными числами “корней из отрицательных чисел” не существует по определению, что бы там ни рисовали LLM на картинках. (Имеются в виду квадратные корни.) Именно на этом “несуществовании” и вводятся комплексные числа в математике, а не на признании самого “несуществования” “догмой” с последующим отрицанием, то есть, совсем не так, как написано у LLM. Собственно, это неверная трактовка, эквивалентная истории с параллельными прямыми, которые “пересекаются” – то есть, создание фиктивной восторженности, путём полного искажения определений, проводимого через ложное противоречие. И, как говорится, так далее, и тому подобное.

Так что, влияние LLM – очень и очень не хорошее.