dxdt.blog: занимательный интернет-журнал

Книга Эдмунда Беркли (Edmund Berkeley) Giant Brains, or Machines That Think (дословно: “Огромные мозги, или Машины, которые думают”, англ.; полный текст доступен по ссылке) вышла в 1949 году, 75 лет назад. В ней рассказано о базовых технических принципах, позволяющих строить компьютеры, а также о нескольких конкретных “думающих” “машинах” того времени, в том числе, про аналоговые вычислители.

Несмотря на название, “хайпа” в книге совсем нет. Напротив, автор ещё в предисловии отмечает, что некоторые его обобщения, – особенно, относящиеся к трактовке понятия “думания”, – могут быть спорными. Основную часть высказанных в этой книге утверждений про машины переписывают и сегодня, но уже безапелляционно и в канве современного “ИИ-хайпа”, а точнее – всех этих LLM/GPT/AI, успешно сдающих студенческие тесты по психологии.

Так, в книге дана та же трактовка способности складывать числа, как признака интеллекта, которую и сейчас постоянно используют. Беркли в данной книге относит к признакам “думания” (think) способность сложить в уме два числа, 12 и 8, получив число 20. При этом описывается, как мог бы складывать числа в уме человек – дописывание позиций к начальному значению (см. ниже). В качестве иллюстрации утверждается, что если бы нашлась, например, лошадь, которая смогла бы складывать числа и выдавать ответы, то такую лошадь люди непременно бы посчитали способной думать (к сожалению, не объясняется, почему говорящая лошадь, не умеющая выдавать ответы на арифметические вопросы, должна быть объявлена не-думающей; это, между тем, очень близко к типичной современной трактовке работы LLM, которые выдают текст на естественном языке).

Тут особенно интересно следующее. Автор сначала описывает “процесс думания”, осуществляемый человеком, складывающим числа: вот, мол, этот человек использует свой разум для того, чтобы отсчитать восемь позиций, начиная от двенадцатой, и прийти к числу двадцать. То есть, казалось бы, тут почти уже охвачен действительно важный, определяющий момент – возможность описать процесс счёта для внешнего наблюдателя, снабдив описание представлением о числах и отделив сам процесс от конкретных, “механических” значений. К сожалению, этот момент в книге тут же теряется, а вместо него, в сопровождении дополнительных аспектов условного ветвления и поиска по индексу (тьюринг-полнота, видимо), развивается небогатое обратное утверждение: мол, если нечто, – даже не говорящая лошадь, а механический калькулятор, – может вывести сумму 12 и 8, то это нечто тоже думает. Естественно, дальше в книге подчёркивается, что речь,- пока что, по состоянию на 1949 год, – не идёт об “интуитивном мышлении”, но в дальнейшем возможна и его реализация. То есть, ещё одна яркая параллель с современными популярными статьями про AGI (универсальный ИИ). Но, напомню, всё опубликовано в 1949 году.

(Вообще, то, насколько по-разному люди считают в уме, как раз является весьма богатым направлением. Важен сам используемый процесс осознаваемого представления, о котором человек может рассказать: оказывается, кто-то представляет себе ленту с ячейками (машина Тьюринга?), кто-то – счётные палочки, а кто-то – таблицу, нарисованную на воображаемом бумажном листе.)

В книге, кстати, определены и детально описаны многие современные разумные способы применения машин: каталогизация данных, поиск в библиотеках, распознавание образов, распознавание рукописного текста, голосовой ввод текста и т.д. Это то, чего часто не хватает современным “хайп-публикациям” про ИИ.

Если (вдруг) появился универсальный “квантовый компьютер” нужной мощности, то как именно будут выглядеть технические шаги по раскрытию ранее записанного TLS-трафика? Под “квантовым компьютером” здесь подразумевается аппарат, выполняющий алгоритм Шора. А в роли взламываемой криптосистемы выступает алгоритм Диффи-Хеллмана на эллиптической кривой (ECDH – типовой алгоритм для современного состояния TLS). Шаги потребуются следующие.

1.

В записи трафика присутствуют начальные TLS-сообщения, обеспечивающие распределение общего секрета. Если таких сообщений нет, то раскрыть трафик рассматриваемым способом – не выйдет. Выделить начальные сообщения нетрудно: они начинаются с байтового префикса с зафиксированным значением и имеют строгую структуру. В трафике всегда остаются ключи, согласованные сторонами по протоколу Диффи-Хеллмана (равно как и с использованием RSA или другого метода инкапсуляции). Я писал об этом ранее. Заметьте, что записываются и ключи, согласованные с использованием современных криптосистем, обладающих постквантовой стойкостью. Просто, считается, что их сложнее восстановить даже с использованием гипотетического квантового компьютера.

Из начального сообщения клиента выделяется блок с открытой частью клиентского обмена ECDH. Например, если используется ECDH на кривой P-256, то в специальном и легко обнаруживаемом блоке данных будет содержаться пара координат точки P на кривой P-256, представляющей собой открытую часть обмена ECDH. Это 64 байта (плюс дополнительные байты с указанием на используемый формат), то есть, два блока по 32 байта: координаты X и Y.

2.

Клиентская часть ECDH представляет собой результат умножения базовой точки на секретный скаляр – значение скаляра и есть секретная часть ECDH клиента: это натуральное число n. Открытая часть ECDH, точка P, это результат [n]G, где G – точка-генератор, заданная в параметрах криптосистемы.

Полученные координаты точки P “загружаются” в квантовый компьютер, который уже должен быть настроен на параметры соответствующей криптосистемы, то есть, содержать схему, реализующую алгоритм Шора (нахождения периода функции) для подгруппы кривой P-256, образованной точкой G. Как именно загружаются значения в квантовый компьютер – пока что не известно, поскольку никаких практических квантовых компьютеров создано пока что не было (ну или, если хотите, не было опубликовано их содержательных описаний). Вероятно, у этого компьютера должен быть некоторый классический интерфейс, воспринимающий значения байтов координат точек, и переходные схемы, которые преобразуют эти значения в коммутацию и состояния квантовых “гейтов/триггеров” и кубитов. Неизвестно даже, сколько этих “кубитов и гейтов” будет нужно: несколько миллионов или несколько триллионов. Что уж там говорить про схемы коммутации.

(Заметьте, впрочем, что так как задействованный математический аппарат квантовой механики манипулирует комплексными числами – или, что эквивалентно, синусами и косинусами, – то все открытые тексты и решения можно уместить в пространстве состояний одного “непрерывного” кубита. Континуум, свернувшийся окружностью за привычным синусом, позволяет это легко проделать. Ещё и места останется, как минимум, в два раза больше, чем займут все решения всех проблем со всеми возможными шифрами в степени всех ключей. Это, впрочем, другая история.)

После того, как квантовый компьютер настроен, запускается итерация квантовых вычислений. Если итерация успешна, то результат позволяет быстро вычислить n на классическом компьютере. Использование классического компьютера тут означает, что у компьютера квантового, – а он, даже если создан, то бесполезен без классического, – есть и другой интерфейс, который выводит итоговое измеренное состояние квантовых схем в виде набора байтов, интерпретируемого как целое число. В случае с ECDH это будет пара чисел, по которым классический компьютер быстро вычислит секретный клиентский параметр n.

Аналогичная схема сработает и для открытого параметра ECDH, который отправил сервер. Для раскрытия ключей защиты трафика – достаточно знать один из секретов: клиентский или серверный.

3.

Общий секрет в ECDH образуется путём умножения точки-генератора на произведение секретов сторон. В рассмотренном только что случае, достаточно умножить открытый параметр DH сервера Q на секрет клиента, вот так: [n]Q (именно эту операцию проделывает клиент в ходе штатного процесса установления TLS-соединения). Секрет клиента, как мы только что выяснили, был раскрыт при помощи квантового компьютера. Результат умножения даёт точку на кривой, координата X которой используется в качестве задающего значения для генерирования секретных симметричных сеансовых ключей защиты трафика TLS. Функция, генерирующая сеансовые ключи, известна. Так как защищённые записи содержат коды аутентификации, сторона, взломавшая секрет ECDH, может тут же легко проверить, что найденный секрет соответствует записанному трафику. Симметричные ключи позволяют расшифровать трафик сеанса, используя шифр, номер которого тоже записан в начальных сообщениях: эти сообщения как раз и нужны для того, чтобы, кроме прочего, стороны согласовали используемый шифр.

*

Несомненно, прогресс в разработке систем “квантовых вычислений” есть. Однако вот уже несколько лет существенная часть прогресса сосредоточена на генерировании хайпа, поэтому даже до минимально практических схем не только далеко, но даже и не ясно, возможны ли такие схемы в принципе. В описанной выше схеме квантовый компьютер используется в роли “оракула”. Так же будет происходить и на практике: в рассматриваемой схеме для работы квантового компьютера не нужны какие-то дополнительные байты TLS-трафика, какие-то шифры или, условно, “части ключей”. С тем же успехом секретный параметр Диффи-Хеллмана можно просто угадать: запись трафика позволяет однозначно определить правильность угаданного значения.

В чём причина смены дня и ночи на Земле? Правильный ответ: причина в том, что Солнце вращается вокруг Земли. А если вы вдруг подумали, что “причина во вращении Земли вокруг своей оси”, то представьте, что смена дня и ночи прекратилась, а Земля теперь всё время повёрнута к Солнцу одной стороной, то есть, Солнце более не вращается вокруг Земли. Но, предположим, Земля всё ещё вращается вокруг Солнца, а раз смены дня и ночи нет, то это как раз потребует вращения Земли вокруг свой оси, поскольку к Солнцу должна всё время быть повернута одна и та же сторона. Более того, если бы Земля, в той же схеме, вокруг свой оси не вращалась, то смена дня и ночи как раз происходила бы, вот только обычные день и ночь продолжались бы, примерно, по полгода (вспомните про полярную ночь и полярный день).

Вращение сложно интерпретировать, по тем же причинам, по которым сложно строго определить понятие угловой меры. Отличным примером является следующее наблюдение: пусть Земля вращается вокруг Солнца, а вокруг Земли вращается Луна – какова тогда траектория движения Луны вокруг Солнца? Оказывается, если на систему смотреть обычным образом, то траектория движения Луны практически совпадает с орбитой Земли: Луна не выписывает никаких “завитушек”, а вращение Луны вокруг Земли выглядит так, что Луна то немного опережает Землю, то – немного отстаёт.

Однако концепция, когда сложная траектория (кривая) описывается при помощи окружностей, центры которых движутся по другим окружностям, очень мощная – потому что это преобразование Фурье в чистом, геометрическом, так сказать, виде. Соответствующие этому преобразованию эпициклы и деференты древних астрономических моделей позволили описать сложные движения планет по небосводу, как они видны с Земли. Ведь это только движение прочих светил вокруг Земли выглядит довольно очевидным, если вы древний астроном и наблюдаете ночное небо, а вот планеты – создают неожиданные проблемы, прежде всего, своим попятным движением, когда они вдруг выписывают загадочные петли.

Представление о том, что “планеты вращаются вокруг Солнца, Солнце – центр” – это модель Солнечной системы, в противопоставление варианту “планеты и Солнце вращаются вокруг Земли, Земля – центр”. Сильно упрощённый вариант гелиоцентрической системы позволяет легко разрешить логические противоречия “странного” наблюдаемого перемещения планет. В разрешении противоречий состоит определяющий признак нового знания, но с ролью гелиоцентрической системы всё несколько сложнее.

Схема, где в центре Солнце, а по концентрическим окружностям движутся планеты и, в том числе, Земля, позволяет довольно просто объяснить причину наблюдаемых “странностей”. То есть, схема с Солнцем в центре – лучше в иллюстративном плане. Но из этого не нужно делать вывод, что, мол, использование такой схемы (именно на уровне круговых орбит) было огромным “научным прорывом”. Да, само это рассуждение, – о “прорывном значении гелиоцентрической системы” в противопоставлении геоцентрической, – нередко используется в разном научпопе как “очевидная” иллюстрация “внезапной” замены “неверных и устаревших” представлений на “правильные”. Но, во-первых, эти системы в науке и использовались как модели, лежащие в основе методов расчётов, причем, использовались параллельно, и так же используются сейчас; во-вторых, на практике, игрушечная гелиоцентрическая система с круговыми орбитами – и не удобная, и точность не повышает.

По причине того, что пошаговое “преобразование Фурье” с введением дополнительных окружностей (эпициклов) позволяет с любой заданной точностью приближать любые наблюдаемые траектории движения светил, якобы “неверная” система, в которой Земля – центр, позволяет точнее описывать движение, пусть и ценой добавления новых таблиц (это до сих пор так во многих задачах навигации на Земле). Понятно, что это никак не отменяет преимуществ современных гелиоцентрических систем с более точными орбитами (как минимум, эллиптическими) для расчётов межпланетных перелётов. Очевидно, ни та, ни другая системы – не определяют универсальным образом, что вокруг чего вращается, потому что иногда Солнце вращается вокруг Марса.

Древние астрономы выполнили “преобразование Фурье” для наблюдаемых траекторий движения светил, получив простые эпициклы и деференты – способ записи, в виде конечной и понятной формулы (или чертежа), отлично аппроксимирующий наблюдаемое движение. Это способ упрощения описания движения, а процесс построения такого способа – то, что упускают из виду, приписывая интеллект генераторам текста. Простые “модели на эпициклах”, конечно, не подразумевали учёта внешних возмущений, поэтому найти Нептун только таким способом – не получится. И в этом одно из подлинных, определяющих отличий выхода моделирования, так сказать, на межпланетный уровень, а вовсе не в том, что на концентрических окружностях, нарисованных вокруг точки, которая обозначена как Солнце, гораздо проще объяснить причину ретроградного Меркурия.

Воскресное чтение манускриптов. В этот раз у нас “кубос” с полей (буквально) манускрипта одиннадцатого века Vat.gr.1605. Данный фрагмент относится к труду “Геодезия” неизвестного автора, которого обычно называют Героном Византийским, а “кубос” (κύβος), как не трудно догадаться, иллюстрирует метод вычисления объёма, причём числа не просто записаны привычными древнегреческими буквами, но ещё и аккуратно расставлены, что называется, “по флагам” (это точно соответствующий математический термин – не хватает тут только вершины).

Сторона куба на схеме имеет длину 28 (κη) единиц. Площадь двумерной грани, соответственно, 784, что и обозначено на чертеже ψπδ, а объём трёхмерного куба равен 21952 единиц. Интересно, что если на схеме 21952 обозначено с использованием β + αϡνβ, то в тексте это число записано, буквально, так: “две мириады и тысяча 952” – то есть, словами обозначены мириады и тысячи, а остаток – “цифрами”, в роли которых выступают греческие буквенные обозначения. И здесь, – в записи числа 952, – можно заметить символ “ϡ” (“сампи”), который соответствует числу 900 и в привычный греческий алфавит не входит.

Кстати, насчёт “признаков делимости” в YandexGPT и “интеллекта” в LLM вообще. Исходная фраза, которую сгенерировало YandexGPT в контексте поиска “решения” некоторой “невозможной” задачи с числами, такая: “число делится на 2 и на 11, а значит, делится и на 3”. Описание задачи, к сожалению, не сохранилось. Но это и не важно. Естественно, к самим числам в задаче сгенерированная фраза никак не могла быть применена. Данная оговорка тут на тот случай, если кто-то (вполне справедливо) предположит, что под описанную ситуацию делимости нетрудно подобрать условия задачи: типа, в условии может быть сказано что-то вроде “есть несколько чисел, все чётные из которых кратны шести, а некоторые могут быть записаны с использованием только двух различных десятичных цифр” и т.д. Но нет.

Конечно, нетрудно догадаться, как упомянутый фрагмент был сгенерирован LLM: в интернетах очень много текстов, содержащих обороты вида “число”, “число делится на”, “и на”, “а значит” и т.д., и т.п. Эти же тексты, очень часто, содержат и цифры. Система LLM работает не со словами, а с так называемыми “токенами”, слову может соответствовать несколько токенов (может случиться и наоборот, как ни странно; вообще, способы “токенизации” составляют очень важную часть данной технологии генерирования текстов). Есть токены от “цифр” (записи чисел в тексте), или от склеек букв с цифрами. Токены собираются в цепочки не просто по вероятности, но с добавлением элемента случайности и подмешивания прочих элементов, добавляющих мнимой оригинальности в выдачу генератора текстов. Возвращаемся к исходной фразе: какие-то обороты “про делимость” попали по токенам в выдачу, и тут же затесались посевдослучайным образом какие-то другие токены, выдавшие цифры (1 и 1, 2, 3). Получилась “оригинальная” фраза.

Понятно, что признаки делимости алгоритмизируются точно. Возможность создания такой алгоритмизации как раз является одним из аспектов подлинно разумной деятельности. А проблема с применением ИИ тут в другом: даже минимально “интеллектуальный” автомат должен был бы определить, что не может вывести хоть бы примерно применимый к заданному контексту текст, и сообщить об этом. Однако в генеративных LLM нет и не может быть никакого контекста уровнем выше таксономии токенов, которые программа преобразует при помощи мешанины коэффициентов.

Не слишком сложно составить и представление о том, как в генераторах с LLM вообще возникают “оригинальные тексты” – то есть, грамматически корректные сочетания слов, которых не было в исходных корпусах, взятых для “обучения”, – и о том, насколько эти тексты связаны с исходными задачами, равно как и с интеллектом. Рассмотрим условную “обучающую выборку”, которая состоит из следующих текстов (коротких фраз): “лис сел на пень”, “жук сел на сук”, “медведь сел на муравейник”, “заяц проплыл на лодке”, “жук залёг под дерево”, “сом залёг на дно”, “сом проплыл под веслом”. Слова из этой выборки отображаются в токены, а LLM генерирует свои фразы, исходя из предполагаемой вероятности того, что один токен следует за другим, переставляя при этом токены (см. ниже). Вероятности здесь происходят из того, что за словом “сел”, согласно обучающей выборке, с вероятностью единица следует “на”, за словом “жук” – с вероятностью 1/2 следует “сел” и так далее. Вероятности записываются в таблицы, где, в самом примитивном варианте, значение вероятности выбора для следующего токена зависит от предыдущего (этому соответствуют марковские цепи, которые и задаст двумерная таблица).

Это очень упрощённое описание, но оно отражает суть: уже склеивая токены по заданным вероятностям в данной элементарной схеме, программа может получить фразы “жук залёг под веслом” и “сом проплыл на сук”, которых нет в исходной выборке. Более того, если предположить, что какие-то склеиваемые токены “короче” слов, то можно представить, как может возникнуть фраза “сом засел на муравейник”. Вариант с марковскими цепями не подходит для LLM, поскольку для впечатляющих публику результатов нужно окно из многих токенов. То есть, выбор следующего токена зависит от многих предыдущих токенов, составляющих только что сгенерованную фразу. Но если для формирования распределения вероятностей по словам или токенам считать все варианты, то количество возможных сочетаний (факториал) практически сразу становится неподъёмным даже для тех огромных вычислительных мощностей, которые принято задействовать в этой области. И поэтому используют аппроксимирующие наборы формул с подобранными коэффициентами, называемые “нейросетями”.

Воскресное чтение манускриптов. Немного загадочных палеографических знаков, которые выглядят как буквы, сложенные в кучу. Например, такие встречаются на фрагменте скриншота манускрипта из недавней записки по теме, которая про переписывание трудов Клеомеда. Конечно, там почти все знаки загадочные, но особенно – те, которые “двухуровневые”. Вот скриншот, о котором речь:

В начале первой строки нетрудно заметить нагромождение букв в два ряда:

Оказывается, что это всего лишь слово “ἔχει” (“имеет”, в данном случае), в котором ε “упала”, а над увеличенной χ установлена лигатура ει. Вместе с соседними словами получается “τοῦτον ἔχει τὸν λόγον” – “такое [же] имеет соотношение”. Речь идёт о сравнении длин дуг, использованных при построении планиметрического обоснования для способа вычисления длины земного меридиана, предложенного Эратосфеном. Слово “ἔχει” используется часто, но всё же не похоже, чтобы подобное написание действительно позволяло экономить немного дорогостоящего места на пергаменте: “экономичные” сокращения выглядят иначе. Так что, скорее всего, данный “вензель” – это лишь элемент стиля.

Воскресное чтение манускриптов. Впрочем, в этот раз опять рассматривание иллюстраций. Недавно уже встречался иллюстрированный манускрипт с описанием метода разрушения крепостных стен при помощи загадочной “огненной машины” из труда “Полиоркетика” Аполлодора Дамасского. Такая же иллюстрация (но с несколько большей детализацией – см. скриншот ниже) и такой же фрагмент текста встречаются в манускрипте Vat.gr.1605 (11 век) из Ватиканской Апостольской библиотеки. Считается, что исходный текст для этого манускрипта подготовлен в 10 веке неустановленным автором, которого называют то Византийским Героном (не перепутайте с Героном Александрийским), то Героном Младшим, то просто византийским Анонимом.

Кстати, из прошлой записки не совсем понятно, но по этой картинке уже можно догадаться, что тут на стене закрепляется некоторая глиняная “топка” с углём (ἄνθραξ), в которую при помощи мехов (ἄσκωμα) нагнетают воздух для повышения интенсивности горения (что, собственно, и описано в тексте манускрипта).

Несколько дней назад появилась работа (Yilei Chen), предлагающая квантовый алгоритм для быстрого (“за полиномиальное время”) решения задач теории решёток, на сложности которых основаны оценки стойкости многих современных постквантовых криптосистем. Квантовый алгоритм – это алгоритм для гипотетического квантового компьютера, то есть, дважды теоретический. Однако, в данном случае, как раз этот факт и выглядит особенно занятно.

Почему эта тема популярна? Если хотя бы теоретическое описание алгоритма верное и если его удастся развить до параметров практических версий задач (этого пока что нет, о чём прямо написано в исходной работе), то многие суперсовременные криптосистемы из класса “постквантовых” – не просто сразу потеряют постквантовую стойкость, но, возможно, даже станут менее стойкими к квантовой атаке чем, скажем, классическая RSA. Конечно, тут заведомо присутствует очень много “если”, и это всё гипотетические рассуждения. Однако и стойкость соответствующих постквантовых криптосистем к атакам на классическом компьютере – отдельный, всё ещё не очень хорошо исследованный, вопрос.

Понятно, что в статье обнаружатся ошибки и она потребует, как минимум, уточнений. Так, сегодня опубликована записка (Omri Shmueli), указывающая на недостижимые значения параметров, которые использованы в доказательстве корректности алгоритма. Это, впрочем, только добавляет арифметической занимательности, поскольку доказательство недостижимости основано на оценке количества простых чисел, меньших заданного. Дело в том, что описанная версия алгоритма, для корректной работы, требует построения набора из некоторого количества попарно простых натуральных чисел, меньших заданного порогового значения – но для определённых значений параметров таких чисел может не найтись в нужном количестве, поскольку не хватит простых. Если алгоритм нельзя исправить (это ещё тоже не факт) и это удастся доказать, то может даже так оказаться, что постквантовая стойкость криптологических задач теории решёток зависит от количества простых чисел, меньших заданного порога. А это весьма сильное и интересное ограничение. (Но, конечно, вряд ли это так.)

(Update, 13/10/2024: в исходной работе довольно быстро обнаружилась критическая ошибка и автор пока не нашёл способа эту ошибку исправить. Из этого не следует вывод, что “задачи на решётках” обладают строго доказанной стойкостью к “квантовым атакам”.)

Воскресное чтение манускриптов. В одной из прошлых записок по теме рассматривался текст варианта записи труда Клеомеда “Учение о круговращении небесных тел” (13 в., Adv.MS.18.7.15), с описанием метода, применённого древним греком Эратосфеном для определения размеров Земли. В этот раз – посмотрим на тот же фрагмент текста Клеомеда, где указана длина окружности в стадиях, но в записи другого манускрипта: Pal. gr. 018 (часть Cleomedes, Cyclia/Caelestia) – из библиотеки Гейдельбергского университета. (Далее эти два манускрипта здесь называются просто Pl (Pal. gr. 018) и MS.)

Итак, Pl – манускрипт начала 14 века на древнегреческом, здесь нет чертежа, как в MS, а в записи, кроме такого же “скорописного” стиля, использовано множество сокращений (см. ниже), так что выглядит всё ничуть не менее загадочно, чем вариант из предыдущего MS (хоть тот и 13 века). Новый скриншот:

Подчёркнута (зелёным) строка, в которой и указана длина окружности Земли по меридиану – двадцать пять мириад. В предыдущем варианте, то есть в MS, строка, сообщающая о расчётной длине меридиана в 250 тыс. стадиев, если символы перевести в современную типографику, выглядит так: “ὁ ἄρα σύμπας κύκλος γίνεται μυριάδων εἴκοσι πέντε” . Но на скриншоте манускрипта Pl запись отличается. Вот два варианта на одной картинке (вверху – Pl, а внизу – та же строка из MS, см. прошлую записку по теме):

Думаю, что “ὁ ἄρα” – теперь нетрудно прочитать, как и лигатуру σύ со “смайликом”, построенным на диерезисе. Остальное, конечно, читается сильно сложнее. Однако, когда два варианта выставлены рядом, становится очевидно, что для опытного читателя, – возможно, инквизитора, – зашедшего в средневековый скрипторий, тут всего лишь два почерка, отличающихся в некоторых привычных деталях. Кроме, разве что, последних слов фрагмента.

Дело в том, что на манускрипте Pl слова “εἴκοσι πέντε” из записи “двадцати пяти” – отсутствуют (самый конец верхней строки). Вместо этого число 25 записано древнегреческими цифрами, вот так: κε – что и обозначает 20 (κ) + 5 (ε).

В журнале “Интернет изнутри” опубликована моя статья “Постквантовая криптография и практика TLS в браузерах”. Статья, в основном, про то, как “квантовые вычисления” связаны с теоретико-информационной криптографией, и как это влияет на TLS в архитектурном смысле, но также рассмотрен свежий пример с Kyber768 в браузере Chrome.

Цитата:

“Квантовые вычисления в философском смысле – это попытка получить доступ на самом низком, самом прямом и «железячном» уровне к центральному «процессору» (ЦПУ) вселенных, то есть, к необозримому «чипу», на котором, возможно, окружающая действительность исполняется в режиме виртуализации. Это неплохо соответствует фольклорной интерпретации термина «квантовый» в отношении компьютера: элементы полупроводниковых чипов, находящихся внутри этого ящика, становились всё меньше и меньше, и вот, за гонкой нанометровых технологий, ситуация проваливается в квантовые элементы – получите квантовый компьютер. И действительно, пусть сам предполагаемый принцип квантовых вычислений не имеет ничего общего с уменьшением линейных размеров полупроводниковых вентилей и законами Мура, попытки физической реализации квантовых вычислителей уже сейчас подразумевают управление отдельными атомами. Если квантовый компьютер сделать не получится, эти наработки наверняка пригодятся для дальнейшей миниатюризации компьютеров классических. Что же касается теоретико-информационной криптографии, то она, похоже, выигрывает и тут.”

Скриншот из издания “Элементов” Евклида на английском (первый перевод, Henry Billingsley), 1570 год. Кстати, настоящий язык Шекспира: whereunto и пр. Автором “Элементов”, как нетрудно прочитать, здесь обозначен Евклид из Мегары, а не просто Евклид (то есть, Евклид из Александрии); это, впрочем, обычное, – пусть и немного загадочное, – дело для старых публикаций.