dxdt.blog: занимательный интернет-журнал

Предположим, мы хотим идентифицировать устройство и, возможно, даже пользователя Интернета по некоторым сигнатурам, связанным с использованием различных приложений. Самая простая “сигнатура” подключения – это IP-адрес. Но тут даже слово “сигнатура” используется в кавычках, так как IP-адрес, сам по себе, это всего лишь самый очевидный и банальный “номер узла”: в современном Интернете далеко не всегда IP-адрес даже примерно соответствует реальному подключению. Трансляция адресов (NAT) используется и провайдерами доступа, и за “клиентским подключением”, и в составе VPN, и так далее. IP-адрес принадлежит к наиболее важным идентификаторам в IP-сетях, но точность конкретного адреса для нашей задачи, – то есть, как “сигнатуры”, рассматриваемой в направлении пользовательского, клиентского подключения, – не велика. Более того, задачу даже принято формулировать в других терминах: как определить, что с новым IP-адресом подключается то же самое устройство? (Вынесем тут за скобки пользователя.)

Ниже IP-уровня спуститься тоже можно, но, во-первых, это уже не Интернет, во-вторых, идентификаторы и сигнатуры уровней ниже IP обычно распространяются на малые расстояния (в сетевом смысле): каждый коммутирующий узел “вымывает” часть идентификаторов, так что следы быстро теряются. В качестве рельефного примера можно взять MAC-адрес оконечного устройства – если он и есть, то всё равно уже на следующем “хопе” подключения его не видно. Однако и сквозь низкие уровни коммутации могут “просачиваться” сигнатуры, связанные с последовательностями пакетов. Прежде всего, различные эффекты времени задержки: так, характеристики доставки серий, соответствующих потокам видеотрансляции (например), могут зависеть от характеристик канала передачи, которые находятся ниже IP – радиоканалы отличаются от проводного подключения “последней мили”, бывает специфический “шейпинг” потоков данных, и так далее, и тому подобное. На конкретное устройство, конечно, подобные характеристики “последней мили” не указывают, однако могут существенно уменьшить количество возможных вариантов: а если удалось составить цепочку различных подключений, то тут уже и пользователей можно начать различать, как ни странно.

На уровне IP есть источники сигнатур, сходные по происхождению с только что описанными. Это те же сдвиги времени доставки (в том числе, можно подсчитывать скорость изменения задержек – брать производную), а кроме того, можно предположить, что и в заголовках пакетов присутствуют сочетания значений (ID, опции и пр.), которые связаны с конкретным источником пакета, но, опять же, всё, что есть в заголовке, размывается в ходе передачи пакетов промежуточными узлами (и это даже без учёта NAT-ов).

TCP предоставляет некоторое количество новых сигналов: что-то можно специально добавить, да ещё и на разных этапах установления соединения (см. SYN-куки и т.д.), при этом сам процесс установления сессии позволяет выделить дополнительные особенности – сдвиги по меткам времени, характеристики из заголовков, взятые по разным сигналам. Отдельный новый базис TCP – это номера портов, а точнее, их изменение: тут экзотические методы использования, – вроде port knocking, – вообще могут позволить узнать конкретный источник сессии без всякой привязки к IP-адресу или к параметрам протоколов более высоких уровней.

И всё же, перечисленные варианты не так уж информативны, особенно, если речь только о пассивном анализе трафика. Дополнительную информацию приносят данные из более высоких уровней. Клиентские TLS-сертификаты, сертификаты электронной подписи, криптографические ключи, передаваемые в рамках разных протоколов уровня приложений – могут достаточно точно указывать на пользователя (и могут идентифицировать устройство). DNS не так трудно снабдить индивидуальными метками: а неконтролируемые и прямые запросы в DNS делают даже те приложения, которые позиционируются как “защищённые”. Эти источники сигнатур вообще не зависят от транспортных протоколов, то есть переходят от канала к каналу без изменений. Главное – их увидеть. А про куки-файлы, HTTP-запросы, конечно, можно и не напоминать.

В продолжение недавней записки про “слух человека и преобразование Фурье“. Интересно, что в рамках исследований того, как конкретный “сигнал” влияет на слуховое восприятие, происходит запись выдачи некоторого внешнего прибора (который как-то там, предположим, измеряет звуковое давление), далее выполняется визуализация этой записи при помощи алгоритмической и (так или иначе) дискретной обработки сигнала, а потом – описательное сравнение пересказанных человеком (испытуемым и исследователем) впечатлений от прослушивания такого же сигнала. При этом аппаратура и методы анализа используют много моделей явлений окружающей действительности: распространения звуковых волн, их детектирования, электромагнитного усиления в приборе, – опять же, то самое “преобразование Фурье”, – и так далее. Представление о предмете измерения преломляется при переходе между моделями. Но исследуемое прослушивание, как восприятие звука, естественно, проводится без только что описанной аппаратуры. Исследователи об этом часто знают и даже нередко учитывают эффекты. А вот в популярных статьях данный онтологический фон почему-то теряется – получаем очередные иллюстрации в стиле “как видит мир кошка”.

Почему лабораторная установка для квантовых экспериментов показывает именно эту статистику? Физика не должна бы отвечать на столь общий вопрос “почему?”. Тем не менее, предположим, статистика такая потому, что через несколько минут две группы исследователей, работающих в одном общем эксперименте, но в разных лабораториях, удалённых одна от другой, сравнят результаты измерений и подставят их в формулу, связанную с неравенством Белла – показатели должны совпасть с уже согласованными ожиданиями.

Впрочем, возможна и несколько другая трактовка: в тот момент, когда исследователи обменялись результатами измерений, обсудили их и пришли к общему мнению, исходные показатели, полученные ранее лабораторными установками, участвовавшими в эксперименте, определились – но, из-за особенностей восприятия принципов причинности, всем исследователям кажется, что это в прошедший момент эксперимента показатели были именно такими. Вокруг неравенства Белла много подобных лазеек, а самые интересные из них вовсе и не касаются строго экспериментальных классических предположений (вроде задержек по времени, “паразитных” наводок в пространстве и тому подобных “эксперментально-физических” особенностей, которые, впрочем, не так давно были все закрыты современными экспериментами).

Эксперимент, связанный с неравенством Белла, строится так: квантовый объект, который можно разделить на пару достаточно хорошо локализуемых феноменов (например, запутанные, сцепленные общим состоянием частицы), распределяется по двум разнесённым в пространстве лабораториям, после чего две группы исследователей (или просто два исследователя, не важно), находящихся в этих лабораториях, измеряют каждый свою часть выбранным способом, а способ выбирают случайно (насколько вообще возможно случайно что-то выбрать: со случайностью тут связан отдельный набор “лазеек” – см. ниже). Дальше строится статистика по многим последовательным измерениям, где для каждого измерения, в каждой лаборатории, исследователи фиксируют, какие именно проводились измерения и какой получился результат. Потом эти результаты сравнивают между собой, обязательно учитывая последовательность типов измерений. Получается статистика, которую описывает модель квантовой механики. Определяющим моментом оказывается то, что измеряется одна квантово-механическая система.

Однако если попытаться свести наблюдаемый результат к некоторым заранее принятым допущениям, то легко возникает ощущение некоторой “контринтуитивности” – проступает корреляция, которой, как бы, быть не должно, поскольку, предположим, расставленные в разных и достаточно удалённых точках пространства системы не должны влиять одна на другую мгновенно. Это всего лишь допущения, которые иногда считают некими законами, как в “законах физики”. Видимо, отсюда растёт сравнение с “классической физикой”, приводящее к трактовкам в стиле “если измерить спин одного электрона из пары, то спин второго тут же изменится”. Однако “классическая физика”, что бы это ни значило, тут не должна никак мешать и вообще в процесс включаться.

Неравенство Белла показывает, что статистику, согласующуюся с некоторой интерпретацией экспериментов в области квантовой механики, нельзя получить при помощи параметров, находящихся за пределами модели, если, например, запрещено согласование этих параметров через пространство со сверхсветовой скоростью (а точнее – мгновенно). Но если мгновенное согласование возможно, то и статистику можно получить какую нужно. Нужна ли тут некоторая “не-локальность”? Не особенно: можно, например, продолжать считать, что всё “локально”, потому что ещё нужно принести и сравнить данные, чтобы построить статистику; а можно считать “локальной” саму квантовую систему. Подобная “не-локальность”, построенная на попытке вложить квантовый эксперимент над потоком вероятности в ту самую “классическую физику”, это лишь один из способов интерпретации, и вовсе не обязательно, что в него верят все физики.

“Локальность” против “не-локальности” основывается на введении расстояния и пространства. Как вообще можно понимать пространство? Предположим, что разнесённые по этому самому пространству частицы, участвующие в эксперименте, вовсе не удаляются одна от другой: эти частицы максимально похожи, они даже находятся в “общем” квантовом состоянии, что, – с точки зрения потока вероятности, описываемого, предположим, волновой функцией, – просто не позволяет их разделить в пространстве для измерения. Это всё один поток, который, предположим, экспериментально расщепляется на две статистики не ранее момента обсуждения результатов измерения экспериментаторами. В момент обсуждения одна последовательность результатов измерений привязывается к другой, а математический аппарат квантовой механики просто позволяет работать с потоком вероятностей так, что при преобразованиях несколько возможных исходов не теряются. Более того, известная интерпретация предполагает, что это группы исследователей, осуществляющие экспериментальные измерения квантовых феноменов, попадают в состояние “квантовой суперпозиции”, зацепившись за волновую функцию, а тот результат, который потом описывают популярные статьи, это как раз “коллапс волновой функции исследователей”, произошедший при сравнении показателей статистики.

С другой стороны, само пространство, выраженное в метриках расстояний, может представлять собой несколько более сложный феномен. Например, более “похожие” объекты находятся ближе. Тогда разнесение (условных) антенн экспериментального оборудования вовсе не означает, что и измеряемые частицы разнесены: дело в том, что для более или менее строгого экспериментального определения расстояния “в пространстве” требуется время, а для времени – требуется опорная частота, но её найти можно не всегда.

Ещё одна занятная лазейка касается “степени случайности” параметров измерений: исследователи, согласно условиям эксперимента, должны выбирать параметры измерений непредсказуемым, для окружающей эксперимент действительности, образом. Предположим, что при создании эксперимента строго определяется не только весь возможный набор результатов измерений, но и действия самих измеряющих. Тогда, опять же, можно получить любую статистику, подходящую под любые неравенства. Устранить этот аспект (обычно, называемый “супердетерминизмом”) не получится – он находится среди допущений, задающих интерпретацию эксперимента. Это позволяет, как минимум, уверенно сохранить “локальность”. Отменяет ли наличие подобного “супердетерминизма” свободу воли исследователей? Нет, не отменяет: исследователи всё так же вольны интерпретировать результаты, а перед этим – планировать серии измерений и технические детали экспериментов, составляя собственное представление о них. Здесь, кстати, кроется один из отличительных аспектов осознания, который никак не вписывается в новомодные системы ИИ с “машинным обучением”.

И это далеко не все онтологические лазейки, связанные с интерпретацией неравенства Белла.

(См. также “Алгоритм Шора и Вселенная кубиками“, “Алгоритм Шора в фантастической машине превращения вероятностей“.)

Скриншот – рыба на букве ρ в слове ἔρχονται, из манускрипта Vat.Gr.1666, который датируется восьмым веком н.э. (это перевод “Диалогов” Григория I Великого, папы римского, на (древне)греческий, выполненный папой римским Захарием).

Иногда приходится сталкиваться с мнением, что слуховая система человека, как чувство, “выполняет преобразование Фурье”, подобно некоторой машине, сигнальному процессору, предположим. Вообще, из экспериментов известно, что “акустический тракт” слуха человека, как минимум, работает на восприятии спектральной плотности, то есть, не отдельных чистых гармоник, а распределения энергии по пакетам частот и сочетания “пиков” амплитуды (форманты и так далее). Содержательные эффекты слуха связаны с отношением внутри набора частот. Это, конечно, сугубо механистическая точка зрения, но уже здесь алгоритмическое воплощение преобразований Фурье используется только для визуализации спектра в компьютерах исследователей, а не в слуховой системе. Вообще, более интересен другой аспект.

Как и в восприятии цвета, с восприятием на слух связано много неожиданных эффектов и иллюзий. Как и в случае зрения – основная, содержательная часть результатов работы слуховой системы связана с предыдущим опытом. По крайней мере, та часть, процесс осознания которой индивид может попытаться объяснить. При этом, слуховое восприятие “дорисовывается”, в том числе, с опережением по времени. Сложно сказать, чего больше в конкретных слуховых ощущениях – внешних изменений звукового давления или внутренней работы, основанной на психических эффектах и опыте. Сугубо механистическая модель вполне может давать расхождения даже в таких “зашкаливающих” случаях, как рёв двигателя реактивного самолёта. Так что “преобразование Фурье”, трактуемое как алгоритмический способ превращения сигнала в конечный набор гармоник, тут может служить разве что способом записи “принятых” данных, но не механизмом транслирования звуковых колебаний в слышимое. Тем более, вовсе не обязательно приводить сигнал в другой базис строго тем или иным алгоритмом, реализующим преобразование Фурье.

Теорема Пифагора регулярно упоминается, когда речь заходит о Великой теореме Ферма. Это логично. Понятно, что теорема Пифагора называется так больше по историческим причинам (как и многие другие теоремы), а известна была раньше, но тем занимательнее выглядит тот факт, что математические идеи пифагорейцев можно увидеть и в современном доказательстве теоремы Ферма. Вообще, осознать математическую машинерию, позволяющую получить это доказательство, довольно трудно. Тем не менее, можно проиллюстрировать ситуацию некоторыми примерными построениями. В них видны необычные аспекты.

Так, связь модулярных форм с уравнением Ферма устанавливается через коэффициенты разложения Фурье для формы. Эти коэффициенты – целые числа, имеющие прямое перечислительное воплощение: количество решений уравнения (“в остатках”, или по модулю некоторого (простого) числа). При этом элементы ряда Фурье можно рассматривать как гармоники. Буквально – как некоторые вращающиеся по окружностям точки. Тогда, если хотите, упомянутые целочисленные коэффициенты образуют некоторый “спектр”, последовательно определяющий симметрии, связанные с исходным уравнением. Точнее, конечно, будет использовать термин “мотив” – однако подобные технические детали тут не важны, но обратите всё же внимание на данное название.

Всё это как раз очень напоминает пифагорейские концепции, описывающие конфигурации явлений окружающей действительности через “сочетаемость” натуральных чисел, происходящую из геометрических свойств этих чисел. И вот оказывается, что тройки решений, удовлетворяющие уравнению Ферма, не вкладываются в набор возможных конфигураций симметрий рациональных чисел. На более техничном языке, конечно, всё звучит сильно загадочнее, даже в первом приближении популярного изложения: эллиптическая кривая, соответствующая упомянутой тройке чисел, не может быть модулярной (Рибет); однако, она должна быть модулярной, потому что все такие кривые – модулярны (это доказательство Уайлса); отсюда и выводится нужное противоречие. Периодические функции, окружности (и диски, кстати), а также разнообразные их логические сочетания, постоянно используются в соответствующем математическом аппарате, но на очень высоком уровне абстракции, поэтому и обозначаются другими терминами, которые с одной стороны – точнее, а с другой – шире. Но конкретно суть доказательства теоремы Ферма, в самом первом приближении, можно представить как невозможность уложить числа в геометрические фигуры. А это подход пифагорейцев, пусть и геометрия используется несколько иная.

Воскресное чтение манускриптов. На скриншоте ниже – фрагмент манускрипта Codex Vaticanus из Ватиканской апостольской библиотеки.

Манускрипт датируют четвёртым веком, но запись обновлялась позже, то есть, не только вносились редакторские правки/комментарии, но и буквы обводились новыми чернилами, что нетрудно увидеть на скриншоте. Именно интересный эффект такого обновления тут хорошо заметен: часть записи текста (Второе послание к Коринфянам) предшествующей версии не обновилась. Почему? Видимо, потому что это повтор (диттография): более блеклая часть повторяется далее. Соответствующий повторный фрагмент начинается словами κάλυμμα ἐπὶ τὴν καρδίαν αὐτῶν κεῖται (“покрывало на сердце их лежит”), но при этом κάλυμμα (“покрывало”) встречается ещё раз уже через несколько слов (см. конец третьей снизу строки и начало второй). Это, естественно, широко известный фрагмент (речь про запись). Можно предположить, что служащий скриптория, копировавший текст первоначально, отвлёкся, а потом ошибочно начал с того же слова, но стоявшего чуть раньше (ну или это были разные переписчики, но, как я понимаю, считается, что нет, не разные). В этом же фрагменте ещё отмечают правку “ε” в “αι” (см. между строк, над “περιερειται”), которая внесена дважды – и в “удалённый” фрагмент, и в обновлённый.

Сообщают, что “Яндекс” в своих навигационных приложениях начал как-то учитывать влияние спуфинга GPS, используя дополнительные данные (WiFi и пр.). Кстати, я в 2018 году писал, что “центральный сервер мог бы определять наличие GPS-спуфинга на основе анализа данных, поступающих от множества устройств”. Вообще, не ясно, занимается ли чем-то таким сервис “Яндекса”, но если у вас есть множество устройств и центральная точка сбора данных, то можно разные интересные вещи измерять.

Так, навигационное поле, формируемое гражданским сигналом GPS, можно достаточно точно рассчитывать для произвольной точки поверхности Земли, в том числе, с опережением или отставанием по времени. Для этого не нужно устанавливать приёмник в той точке, для которой выполняется моделирование. Да, тут необходимо подчеркнуть, что это всё за вычетом искажений, вносимых постройками и пр. – но, собственно, в этом и состоит интересная часть. К сожалению, от обычного смартфона не удастся получить детальной информации о сигнале GPS, как его видит приёмник, но, тем не менее, часть данных, коррелирующих с сигналом, всё же приходит. Смартфон может дополнительно собирать сведения о сигналах WiFi, о GSM, о передатчиках Bluetooh (и не только). Так вот, если у вас есть устройства “на местах”, которые приносят дополнительную информацию, а не только “координатные данные” GPS, то можно на центральном сервере выстраивать динамику изменения реального навигационного поля по сравнению с моделью, учитывающей только положение и состояние спутников. Это позволяет не просто получить корректирующую величину для всех участников системы, но также увидеть возникающие на местах пространственные дефекты и искажения с развёрткой по времени (то есть, не просто спуфинг), что весьма ценно.

Кстати, метки (“водяные знаки”), которые позволят определять тексты, сгенерированные системами ИИ (LLM), прежде всего полезны самим разработчикам этих систем: так они смогут избежать “обучения” новых “моделей из нейросетей” на текстах, сгенерированных другими системами ИИ (ну, или предыдущими итерациями одной и той же ветки). Подобное “обучение” второго и третьего порядка может привести к нежелательным результатам. Если всё направление раньше не развалится. Естественно, это относится не только к текстам, в традиционном понимании, но и к изображениям, звукам. Однако, с точки зрения такого подхода к обучению ИИ, всё – текст.

На скриншоте ниже – результат работы нехитрой программы на языке Python, которая вычисляет в точке x == i (мнимая единица) значение функции, известной как j-инвариант – j(x).

j(x) – это модулярная функция, которая важна, например, в теории эллиптических кривых, но в настоящей заметке теоретические детали не играют существенной роли. Значение j(x) для мнимой единицы – это целое число 1728 (в каком-то смысле, по определению). А 1728 == 12^3, что тоже не является простым совпадением, так как 12 == 2^2 * 3. Можно j(x) записать в виде бесконечной суммы (разложение Фурье или q-expansion, если хотите, где q == exp(2*π*i*x)), что и используется в программе: j(x) == q^(-1) + 744*q^(0) + 196884*q^1 + 21493760*q^2 + 864299970*q^3 +… Коэффициенты – целые числа.

Поскольку модулярные формы имеют большое значение в арифметике, коэффициенты из разложения j-инварианта проявляются в математике довольно неожиданным образом, порождая даже отдельные направления (как в случае “Чудовищной бурды” – Monstrous Moonshine, самогон, который в русскоязычной “Википедии” едва не превратился в “Монструозный отблеск”). Но это тема для другой записки, более подробной. Здесь же отметим, что так как коэффициенты – целые числа, можно взять их побольше (например, 42) и посчитать значение j(x) “численными методами”, проверив, сойдётся ли, и насколько быстро, результат. Понятно, что если в выражение для q (см. выше) подставить x == i, вместо i*i получится -1, что и делает каждый очередной элемент суммы всё меньше и меньше, несмотря на увеличивающиеся коэффициенты.

Однако здесь есть хитрости. Если использовать обычные настройки Python, то точности для вычислений не хватает, результат не сходится. Если взять math.exp() и math.pi, точность по умолчанию, получаем 1728.000000000000014825929946, причём ещё на 13 шаге суммирования – не очень-то хороший результат: больше чем 1728. Увеличение точности само по себе тут не помогает, нужно использовать модуль decimal и ввести достаточно длинные значения для π и e, заменив math.exp() и math.pi на Decimal(E**(Decimal(-2)*Pi))**n, где E и Pi – значения со многими знаками после запятой. Точность в decimal устанавливается при помощи getcontext().prec. Результат со скриншота получен для prec = 81 в Python 3.5. Всё это хорошо иллюстрирует, что компьютеры не считают в действительных числах.

Исходный код (проверьте, что символы табуляции не были “съедены” так же, как и некоторые цифры десятичного разложения):

from decimal import Decimal, getcontext
getcontext().prec = 81
Pi =	Decimal('3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982')
E =	Decimal('2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571382178525166427427')
M = [
1, 744, 196884, 21493760, 864299970, 20245856256, 333202640600,
4252023300096, 44656994071935, 401490886656000, 3176440229784420,
22567393309593600, 146211911499519294, 874313719685775360,
4872010111798142520, 25497827389410525184, 126142916465781843075,
593121772421445058560, 2662842413150775245160, 11459912788444786513920,
47438786801234168813250, 189449976248893390028800, 731811377318137519245696,
2740630712513624654929920, 9971041659937182693533820, 35307453186561427099877376,
121883284330422510433351500, 410789960190307909157638144, 1353563541518646878675077500,
4365689224858876634610401280, 13798375834642999925542288376, 42780782244213262567058227200,
130233693825770295128044873221, 389608006170995911894300098560, 1146329398900810637779611090240,
3319627709139267167263679606784, 9468166135702260431646263438600, 26614365825753796268872151875584,
73773169969725069760801792854360, 201768789947228738648580043776000, 544763881751616630123165410477688,
1452689254439362169794355429376000
]
j = Decimal(0)
n = -1
for c in M:
	j = j + Decimal(c) * Decimal(E**(Decimal(-2)*Pi))**n
	print("j = ", j)
	n = n + 1
print("j^(1./3) =", float(j)**(1./3))

Бывают контринтуитивные решения, бывают контринтуитивные в квадрате, но многое тут зависит от того, как преподносят модель “интуиции”. Пример из области, близкой dxdt.ru: вычисление общего секрета по протоколу Диффи-Хеллмана. Первый уровень контринтуитивности тут традиционно описывается так: нужно получить общий секретный ключ через открытый канал, но это “невозможно”, поскольку – как же передать секретный ключ по открытому каналу, чтобы никто не увидел? “Интуитивные” хитрости тут скрыты в понятиях “получить” и “передать”.

Оказывается, протокол Диффи-Хеллмана – он не столько про передачу секрета, сколько про вычисление общего значения таким способом, который для третьей стороны вычислительно сложно обратить. То есть, никакого волшебного способа передачи секрета по открытому каналу так, чтобы никто не увидел, протокол не предлагает. Протокол реализуется в другой модели: здесь секрет передаётся в такой форме, которую сложно обратить, но всё равно третья сторона видит процесс передачи и получает информацию, достаточную для восстановления секрета (но предполагается, что восстановить его вычислительно сложно). Никакого “ключи есть только на клиенте” тут не наблюдается и не предусматривается. Понимание этого и есть вторая степень контринтуитивности: что бы там ни говорили, но ключи-то передаются в трафике – они могут быть записаны.

И вот вся эта логика превращения контринтуитивности сейчас хорошо проявляется в том, как воспринимают очередные достижения генерирования текстов силами систем ИИ.