dxdt.blog: занимательный интернет-журнал

Скриншот – рыба на букве ρ в слове ἔρχονται, из манускрипта Vat.Gr.1666, который датируется восьмым веком н.э. (это перевод “Диалогов” Григория I Великого, папы римского, на (древне)греческий, выполненный папой римским Захарием).

Иногда приходится сталкиваться с мнением, что слуховая система человека, как чувство, “выполняет преобразование Фурье”, подобно некоторой машине, сигнальному процессору, предположим. Вообще, из экспериментов известно, что “акустический тракт” слуха человека, как минимум, работает на восприятии спектральной плотности, то есть, не отдельных чистых гармоник, а распределения энергии по пакетам частот и сочетания “пиков” амплитуды (форманты и так далее). Содержательные эффекты слуха связаны с отношением внутри набора частот. Это, конечно, сугубо механистическая точка зрения, но уже здесь алгоритмическое воплощение преобразований Фурье используется только для визуализации спектра в компьютерах исследователей, а не в слуховой системе. Вообще, более интересен другой аспект.

Как и в восприятии цвета, с восприятием на слух связано много неожиданных эффектов и иллюзий. Как и в случае зрения – основная, содержательная часть результатов работы слуховой системы связана с предыдущим опытом. По крайней мере, та часть, процесс осознания которой индивид может попытаться объяснить. При этом, слуховое восприятие “дорисовывается”, в том числе, с опережением по времени. Сложно сказать, чего больше в конкретных слуховых ощущениях – внешних изменений звукового давления или внутренней работы, основанной на психических эффектах и опыте. Сугубо механистическая модель вполне может давать расхождения даже в таких “зашкаливающих” случаях, как рёв двигателя реактивного самолёта. Так что “преобразование Фурье”, трактуемое как алгоритмический способ превращения сигнала в конечный набор гармоник, тут может служить разве что способом записи “принятых” данных, но не механизмом транслирования звуковых колебаний в слышимое. Тем более, вовсе не обязательно приводить сигнал в другой базис строго тем или иным алгоритмом, реализующим преобразование Фурье.

Теорема Пифагора регулярно упоминается, когда речь заходит о Великой теореме Ферма. Это логично. Понятно, что теорема Пифагора называется так больше по историческим причинам (как и многие другие теоремы), а известна была раньше, но тем занимательнее выглядит тот факт, что математические идеи пифагорейцев можно увидеть и в современном доказательстве теоремы Ферма. Вообще, осознать математическую машинерию, позволяющую получить это доказательство, довольно трудно. Тем не менее, можно проиллюстрировать ситуацию некоторыми примерными построениями. В них видны необычные аспекты.

Так, связь модулярных форм с уравнением Ферма устанавливается через коэффициенты разложения Фурье для формы. Эти коэффициенты – целые числа, имеющие прямое перечислительное воплощение: количество решений уравнения (“в остатках”, или по модулю некоторого (простого) числа). При этом элементы ряда Фурье можно рассматривать как гармоники. Буквально – как некоторые вращающиеся по окружностям точки. Тогда, если хотите, упомянутые целочисленные коэффициенты образуют некоторый “спектр”, последовательно определяющий симметрии, связанные с исходным уравнением. Точнее, конечно, будет использовать термин “мотив” – однако подобные технические детали тут не важны, но обратите всё же внимание на данное название.

Всё это как раз очень напоминает пифагорейские концепции, описывающие конфигурации явлений окружающей действительности через “сочетаемость” натуральных чисел, происходящую из геометрических свойств этих чисел. И вот оказывается, что тройки решений, удовлетворяющие уравнению Ферма, не вкладываются в набор возможных конфигураций симметрий рациональных чисел. На более техничном языке, конечно, всё звучит сильно загадочнее, даже в первом приближении популярного изложения: эллиптическая кривая, соответствующая упомянутой тройке чисел, не может быть модулярной (Рибет); однако, она должна быть модулярной, потому что все такие кривые – модулярны (это доказательство Уайлса); отсюда и выводится нужное противоречие. Периодические функции, окружности (и диски, кстати), а также разнообразные их логические сочетания, постоянно используются в соответствующем математическом аппарате, но на очень высоком уровне абстракции, поэтому и обозначаются другими терминами, которые с одной стороны – точнее, а с другой – шире. Но конкретно суть доказательства теоремы Ферма, в самом первом приближении, можно представить как невозможность уложить числа в геометрические фигуры. А это подход пифагорейцев, пусть и геометрия используется несколько иная.

Воскресное чтение манускриптов. На скриншоте ниже – фрагмент манускрипта Codex Vaticanus из Ватиканской апостольской библиотеки.

Манускрипт датируют четвёртым веком, но запись обновлялась позже, то есть, не только вносились редакторские правки/комментарии, но и буквы обводились новыми чернилами, что нетрудно увидеть на скриншоте. Именно интересный эффект такого обновления тут хорошо заметен: часть записи текста (Второе послание к Коринфянам) предшествующей версии не обновилась. Почему? Видимо, потому что это повтор (диттография): более блеклая часть повторяется далее. Соответствующий повторный фрагмент начинается словами κάλυμμα ἐπὶ τὴν καρδίαν αὐτῶν κεῖται (“покрывало на сердце их лежит”), но при этом κάλυμμα (“покрывало”) встречается ещё раз уже через несколько слов (см. конец третьей снизу строки и начало второй). Это, естественно, широко известный фрагмент (речь про запись). Можно предположить, что служащий скриптория, копировавший текст первоначально, отвлёкся, а потом ошибочно начал с того же слова, но стоявшего чуть раньше (ну или это были разные переписчики, но, как я понимаю, считается, что нет, не разные). В этом же фрагменте ещё отмечают правку “ε” в “αι” (см. между строк, над “περιερειται”), которая внесена дважды – и в “удалённый” фрагмент, и в обновлённый.

Сообщают, что “Яндекс” в своих навигационных приложениях начал как-то учитывать влияние спуфинга GPS, используя дополнительные данные (WiFi и пр.). Кстати, я в 2018 году писал, что “центральный сервер мог бы определять наличие GPS-спуфинга на основе анализа данных, поступающих от множества устройств”. Вообще, не ясно, занимается ли чем-то таким сервис “Яндекса”, но если у вас есть множество устройств и центральная точка сбора данных, то можно разные интересные вещи измерять.

Так, навигационное поле, формируемое гражданским сигналом GPS, можно достаточно точно рассчитывать для произвольной точки поверхности Земли, в том числе, с опережением или отставанием по времени. Для этого не нужно устанавливать приёмник в той точке, для которой выполняется моделирование. Да, тут необходимо подчеркнуть, что это всё за вычетом искажений, вносимых постройками и пр. – но, собственно, в этом и состоит интересная часть. К сожалению, от обычного смартфона не удастся получить детальной информации о сигнале GPS, как его видит приёмник, но, тем не менее, часть данных, коррелирующих с сигналом, всё же приходит. Смартфон может дополнительно собирать сведения о сигналах WiFi, о GSM, о передатчиках Bluetooh (и не только). Так вот, если у вас есть устройства “на местах”, которые приносят дополнительную информацию, а не только “координатные данные” GPS, то можно на центральном сервере выстраивать динамику изменения реального навигационного поля по сравнению с моделью, учитывающей только положение и состояние спутников. Это позволяет не просто получить корректирующую величину для всех участников системы, но также увидеть возникающие на местах пространственные дефекты и искажения с развёрткой по времени (то есть, не просто спуфинг), что весьма ценно.

Кстати, метки (“водяные знаки”), которые позволят определять тексты, сгенерированные системами ИИ (LLM), прежде всего полезны самим разработчикам этих систем: так они смогут избежать “обучения” новых “моделей из нейросетей” на текстах, сгенерированных другими системами ИИ (ну, или предыдущими итерациями одной и той же ветки). Подобное “обучение” второго и третьего порядка может привести к нежелательным результатам. Если всё направление раньше не развалится. Естественно, это относится не только к текстам, в традиционном понимании, но и к изображениям, звукам. Однако, с точки зрения такого подхода к обучению ИИ, всё – текст.

На скриншоте ниже – результат работы нехитрой программы на языке Python, которая вычисляет в точке x == i (мнимая единица) значение функции, известной как j-инвариант – j(x).

j(x) – это модулярная функция, которая важна, например, в теории эллиптических кривых, но в настоящей заметке теоретические детали не играют существенной роли. Значение j(x) для мнимой единицы – это целое число 1728 (в каком-то смысле, по определению). А 1728 == 12^3, что тоже не является простым совпадением, так как 12 == 2^2 * 3. Можно j(x) записать в виде бесконечной суммы (разложение Фурье или q-expansion, если хотите, где q == exp(2*π*i*x)), что и используется в программе: j(x) == q^(-1) + 744*q^(0) + 196884*q^1 + 21493760*q^2 + 864299970*q^3 +… Коэффициенты – целые числа.

Поскольку модулярные формы имеют большое значение в арифметике, коэффициенты из разложения j-инварианта проявляются в математике довольно неожиданным образом, порождая даже отдельные направления (как в случае “Чудовищной бурды” – Monstrous Moonshine, самогон, который в русскоязычной “Википедии” едва не превратился в “Монструозный отблеск”). Но это тема для другой записки, более подробной. Здесь же отметим, что так как коэффициенты – целые числа, можно взять их побольше (например, 42) и посчитать значение j(x) “численными методами”, проверив, сойдётся ли, и насколько быстро, результат. Понятно, что если в выражение для q (см. выше) подставить x == i, вместо i*i получится -1, что и делает каждый очередной элемент суммы всё меньше и меньше, несмотря на увеличивающиеся коэффициенты.

Однако здесь есть хитрости. Если использовать обычные настройки Python, то точности для вычислений не хватает, результат не сходится. Если взять math.exp() и math.pi, точность по умолчанию, получаем 1728.000000000000014825929946, причём ещё на 13 шаге суммирования – не очень-то хороший результат: больше чем 1728. Увеличение точности само по себе тут не помогает, нужно использовать модуль decimal и ввести достаточно длинные значения для π и e, заменив math.exp() и math.pi на Decimal(E**(Decimal(-2)*Pi))**n, где E и Pi – значения со многими знаками после запятой. Точность в decimal устанавливается при помощи getcontext().prec. Результат со скриншота получен для prec = 81 в Python 3.5. Всё это хорошо иллюстрирует, что компьютеры не считают в действительных числах.

Исходный код (проверьте, что символы табуляции не были “съедены” так же, как и некоторые цифры десятичного разложения):

from decimal import Decimal, getcontext
getcontext().prec = 81
Pi =	Decimal('3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982')
E =	Decimal('2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571382178525166427427')
M = [
1, 744, 196884, 21493760, 864299970, 20245856256, 333202640600,
4252023300096, 44656994071935, 401490886656000, 3176440229784420,
22567393309593600, 146211911499519294, 874313719685775360,
4872010111798142520, 25497827389410525184, 126142916465781843075,
593121772421445058560, 2662842413150775245160, 11459912788444786513920,
47438786801234168813250, 189449976248893390028800, 731811377318137519245696,
2740630712513624654929920, 9971041659937182693533820, 35307453186561427099877376,
121883284330422510433351500, 410789960190307909157638144, 1353563541518646878675077500,
4365689224858876634610401280, 13798375834642999925542288376, 42780782244213262567058227200,
130233693825770295128044873221, 389608006170995911894300098560, 1146329398900810637779611090240,
3319627709139267167263679606784, 9468166135702260431646263438600, 26614365825753796268872151875584,
73773169969725069760801792854360, 201768789947228738648580043776000, 544763881751616630123165410477688,
1452689254439362169794355429376000
]
j = Decimal(0)
n = -1
for c in M:
	j = j + Decimal(c) * Decimal(E**(Decimal(-2)*Pi))**n
	print("j = ", j)
	n = n + 1
print("j^(1./3) =", float(j)**(1./3))

Бывают контринтуитивные решения, бывают контринтуитивные в квадрате, но многое тут зависит от того, как преподносят модель “интуиции”. Пример из области, близкой dxdt.ru: вычисление общего секрета по протоколу Диффи-Хеллмана. Первый уровень контринтуитивности тут традиционно описывается так: нужно получить общий секретный ключ через открытый канал, но это “невозможно”, поскольку – как же передать секретный ключ по открытому каналу, чтобы никто не увидел? “Интуитивные” хитрости тут скрыты в понятиях “получить” и “передать”.

Оказывается, протокол Диффи-Хеллмана – он не столько про передачу секрета, сколько про вычисление общего значения таким способом, который для третьей стороны вычислительно сложно обратить. То есть, никакого волшебного способа передачи секрета по открытому каналу так, чтобы никто не увидел, протокол не предлагает. Протокол реализуется в другой модели: здесь секрет передаётся в такой форме, которую сложно обратить, но всё равно третья сторона видит процесс передачи и получает информацию, достаточную для восстановления секрета (но предполагается, что восстановить его вычислительно сложно). Никакого “ключи есть только на клиенте” тут не наблюдается и не предусматривается. Понимание этого и есть вторая степень контринтуитивности: что бы там ни говорили, но ключи-то передаются в трафике – они могут быть записаны.

И вот вся эта логика превращения контринтуитивности сейчас хорошо проявляется в том, как воспринимают очередные достижения генерирования текстов силами систем ИИ.

Ещё немного загадочной типографики, в том числе, про часть буквы “Ё”. Точнее, про “две точки” над этой буквой и занятные совпадения, которые вообще-то с точками не связаны, но пришлись к месту. На скриншоте ниже – небольшой фрагмент манускрипта, датируемого десятым веком н.э. (сам древнегреческий текст – “Жизнь святого Порфирия, епископа Газы”, Марк Диакон, – относится к четвёртому веку, но это здесь не важно, поскольку фрагмент взят только для иллюстрации):

Там присутствует буква ипсилон, снабжённая, кроме знака акцента, двумя “точками” (нет, это вовсе не смайлик). Эти две “точки” называются “трема” (или “диерезис”) и вполне себе используются при записи древнегреческого (и даже английского, см. ниже), обозначая разделение гласных. Однако в данном случае дело явно хитрее. В современной типографике соответствующий фрагмент (середина второй строки) выглядит вот так: μετὰ τὸν πρῶτον ὕπνον, что означает “после первого сна”. Над ὕ должен быть знак придыхания, а на рукописном скриншоте знак ударения присутствует отдельно (сверху), соседних гласных нет, так что назначение второй “точки” не ясно. Тем более, что в этом же манускрипте в других сходных случаях двух точек над υ обычно нет, но иногда – встречаются. Это известное, – но какое-то загадочное, – явление, относящееся ещё и к букве ι в манускриптах на древнегреческом. Кстати, “сон” здесь – это тот самый “гипноз”: знак придыхания над ὕ, который объясняет одну “точку”, как раз трансформировался в русское “ги”. А в английском, например, hypnosis.

Трема/диерезис встречается при записи английского, но является большой экзотикой, о которой мало кто знает. Собственно, “Ё” даже в русском-то сейчас используют редко, зато аналогичное, редкое, сочетание знаков есть в английском. Посмотрите: coöperate, сöworker и reëlect. Здесь трема как раз делает “отделяемым” звук, обозначаемый второй буквой. Этот знак тут нужен для того, чтобы не было reel в reëlect и “коровы” (cow) в co-worker. Сейчас, конечно, приём считается устаревшим, а компенсировать можно дефисом.

Во фразе с древнегреческого рукописного скриншота выше упоминается “первый сон”. Как ни странно, но конкретно это сочетание древнегреческих слов относится к несколько необычной версии истории, согласно которой в средние века и ранее в Европе (в частности) ночной сон люди делили на два (или более) “заходов”. Если так, то тут упоминается как раз первый заход на сон. Впрочем, конкретно в этом случае, по контексту, можно предположить, что речь всё же идёт о коротком, “раннем” сне.

Квантовая часть алгоритма Шора, если его вообще возможно реализовать, выглядит примерно следующим образом. Первому квантовому регистру назначается состояние, представляющее собой суперпозицию всех входных числовых значений. То есть, предположим, что это 1024 “битовых разряда”, тогда получается 2^1024 различных (числовых) значений и тому подобные штуки. Однако физические детали существенно отличаются, при этом основная идея вообще не касается выбранной реализации. То есть, традиционно, в качестве примера приводят отдельные “кубиты”, как некие “конструкты”, принимающие два состояния (“спин вверх/спин вниз” или что-то похожее, это довольно сложно представить) и совместимые с представлениями о суперпозиции. В квантовой суперпозиции и состоит смысл этих конструктов, так что реализация входного регистра не важна: он является лишь входом, через который основную схему предлагается “подключить”, если хотите, к квантовой ирреальности.

Регистр можно, конечно, представлять состоящим из многих кубитов, где каждый кубит базируется на отдельной частице, но можно и считать этот регистр просто единым интерфейсом, который подтянет нужное количество состояний в область реальности, обозримую при помощи моделей физических схем. В кубитах удобнее описывать алгоритмы, поэтому их и используют в мысленных экспериментах (отсюда – модели). При этом, несмотря на оригинальную бра- и кет-нотацию, речь, концептуально, идёт об управлении потоком вероятности: “квантовая вероятность” некоторым образом перетекает из одной конфигурации в другую, при этом схлопываются те части потока, которые коммутируют (опять же, можно не задумываться над значением этого “коммутируют”; схлопываются, интерферируют и – всё; главное, чтобы обратимо). “Квантовая вероятность” – она даже больше комбинаторная, чем вероятность обычная. Это и позволяет надеяться на конкретные числовые результаты: с одной стороны, применяемые тут квантовые эффекты полагаются достаточно случайными, чтобы использовать непрерывное представление для вероятности, с другой – эти же эффекты строго разбиваются на дискретные подмножества состояний (те самые “спин вверх/спин вниз”).

Итак, в случае входного регистра для схемы алгоритма Шора, подходящий поток вероятности должен спуститься через этот регистр в ту часть, которая реализует ключевую функцию всей загадочной машинерии – дискретную экспоненту. То есть, возведение целого числа в целую (даже натуральную) степень по модулю (арифметика остатков). Этот момент в популярных изложениях почему-то не всегда упоминают, а он один из главных: требуется какая-то весьма сложная схема из экзотических объектов, которые пропускали бы входящий поток вероятности и переводили его в результат “вычисления” экспоненты, разделив поток и схлопнув часть веток таким образом, чтобы сформировался периодический результат. “Вычисление” тут должно быть в кавычках.

Если вспомнить математическую часть алгоритма, то речь про вычисление y = A^x (mod M). Обратите внимание на значение A (натуральное число), которое задаёт конкретную схему аппарата для запуска алгоритма Шора! При последовательном вычислении y = A^x (mod M), если показатель x пробегает достаточное количество значений, результат (y) начнёт повторяться, это теоретико-числовая польза от алгоритма, потому что позволяет определить, при каком x A^x == 1 (mod M) и т.д., этому как раз соответствует период данной функции, который мы хотим определить квантовой машиной. Конечно, в случае квантовой машины, никаких подобных вычислений нет: такая машина – супераналоговый прибор, возможно, что ламповый, но скорее холодный, чем тёплый: выход в квантовую ирреальность почему-то требует низких температур. В общем, не предполагается, что происходят какие-то шаги, кто-то переключает реле и сигналы, а на вход “блока функций” поступают разные “иксы”, пусть даже и параллельно. Нет, напротив, подключается несколько миллионов (предположим) загадочных “гейтов”, объединённых в схему, задающую функцию для проверяемого значения A, и всё – предполагается, что в финальном измерении через схему пройдёт поток вероятности, который преобразуется нужным способом и выльется во второй регистр.

Второй регистр тоже можно представлять некоторым единым “бассейном” для входящего потока вероятности, нужного объёма. А можно представлять набором неких кубитов, которых должно быть достаточно много, чтобы получить нужную разрешающую способность. Дело в том, что модели на бумаге можно “записывать” в “действительных числах”, однако, даже если одно действительное число в дополнение к рациональным и влезает в квантовую ирреальность, достать его оттуда полностью точно и за конечное количество измерений – не получится. Это, понятно, не мешает использованию комплексных чисел даже в прикладном квантово-механическом аппарате. Поэтому для окончательного превращения результата в целое число потребуется дополнительно место в пространстве состояний.

Во втором регистре возникает поток вероятности, внутри которого закодирован период ключевой функции, потому что этот поток прошёл через машинерию, реализующую данную функцию. Как физически устроить эту машинерию – не очень понятно. Да и термин “прошёл”, применительно к потоку, тоже достаточно условное обозначение, обусловленное лишь тем, что соответствующие математические формулы в описании будут стоять одна за другой справа.

Машина так устроена, что для этого второго регистра некоторый общий “базис” превращения потока вероятности, который был порядковым или индексным, заменяется на “частотный” – то, что традиционно называется преобразованием Фурье. На графиках это эквивалентно переходу из шаблона, где горизонтальная ось соответствует “времени” (“последовательность событий/состояний”), к шаблону, где горизонтальная ось соответствует частоте (“повторяемость событий/состояний”). Это как раз и есть второй ключевой момент: превращение из индексов в частоты. После этого можно измерять состояние, чтобы получить результат: предполагается, что в выходном регистре, с высокой вероятностью, получится измеренное состояние, которое, используя модель устройства квантовой машины, можно интерпретировать как некоторое значение, кратное периоду функции (детали, связанные с тем, что там должно быть обратное значение, которое ещё не ясно как прочитать и преобразовать, опять же пропускаем). Как это выходное значение будет, так сказать, выглядеть? Например, как набор величин измерений, полученных для каких-то частиц, из которых построен выходной интерфейс. Преобразования, начиная с результатов измерений, уже будут выполняться классическими компьютерами.

Помимо того, что детали работы сложной квантовой машины могут оказаться принципиально невычислимыми, множество дополнительных трудностей добавляет тот факт, что сам поток вероятностей внутри машины достаточно легко разрушается, зацепляясь к окружающей реальности, хоть бы через космические лучи. Чем сложнее квантовая схема, тем больше шансов на такое физическое зацепление. В идеальном случае машина должна бы быть изолирована от реальности даже лучше, чем мысленный эксперимент. И с этим могут возникнуть непредвиденные проблемы.

(См. также про алгоритм Шора и Вселенную кубиками.)

Попытаться построить квантовый компьютер на тысячи кубитов имеет смысл хотя бы для того, чтобы проверить, что имеющиеся модели работают для больших пространств состояний. Попытка факторизации 1024-битного числа на гипотетическом квантовом компьютере при помощи алгоритма Шора сталкивается с необходимостью как-то действовать в пространстве из 2^1024 состояний (ну, предположим). Влезет ли такое количество состояний во Вселенную? Насколько 2^1024 вообще большое?

Понятно, что какие-то прямые физические воплощения для такого числа придумать не получится, поскольку, например, 2^1024 несравнимо больше, чем масса Земли, подсчитанная в граммах. Но можно пойти на комбинаторные ухищрения. Нарежем пространство Вселенной на 2^80 небольших кубиков. 2^80 выглядит очень похожим на разные оценки “объёма Вселенной”, “количества частиц” и других сходных параметров. Перестановкой этих кубиков можно получать разные конфигурации Вселенной, которые, возможно, будут весьма сходными. Предположим, что количество конфигураций это (2^80)! (факториал, а не восклицание). “Реальный”, – что бы это ни значило, – показатель может быть другим: нужно учитывать возможности по сочетанию получившихся кубиков, их взаимное расположение. Однако для нашего примера это не важно.

Существенно ли (2^80)! превосходит 2^1024? Может показаться, что 2^1024 очень большое число. Однако провести сравнение нетрудно. Заметьте, что при вычислении факториала каждое чётное число повышает степень двойки (иногда – больше чем на единицу), поэтому 2^1024 вкладывается уже в 1026! (ну или примерно так; 1026 = 1024+2, проверьте; естественно, 171! больше 2^1024). Что уж говорить про (2^80)!! (Здесь второй восклицательный знак обозначает восклицание.) Теперь может показаться, что 2^1024 не такое уж и большое число, чтобы не вкладываться в качественно нарезанную Вселенную.

С другой стороны, а кто сказал, что разрешается разбирать объём Вселенной на кубики и переставлять их? Это было только предположение. Тем не менее, для реализации квантового алгоритма квантовым компьютером как раз нечто подобное и требуется, только детали различаются от интерпретации к интерпретации, поэтому иногда переставляются целые разные вселенные (ну, хорошо, не “переставляются”, а “интерферируют”). При этом комбинаторная часть здесь выносится за пределы реальности. То есть, можно предположить, что некая огромная “категория”, содержащая все возможные комбинации состояний и все процессы преобразования между состояниями, локализуется в конкретный результат измерений квантового компьютера, а этот результат помогает в факторизации больших чисел. Тут есть глубоко теоретический математический смысл.

Но, конечно, если Вселенная является симуляцией, то мощностей на 2^1024 состояний может и не хватить. А ведь не исключено, что получение нужной для 1024 битов разрешающей способности может потребовать во много раз больше кубитов, а элементов квантовой схемы – так вообще миллионы могут понадобиться. Впрочем, в симуляции факторизация скорее всего известна заранее: выписать на листке подобранное вручную 1024-битное простое число, удерживая его в области внимания, довольно трудно, а все остальные способы получения больших простых чисел, предположим, представляют собой результат спуска подготовленного значения из машины симуляции вселенных (из гипервизора, так сказать). Да что уж там – даже и выписывание числа может быть “наведённым”: ведь ещё предстоит проверить его простоту (спускается ли структура простых из машины симуляции в симуляцию?).

Так или иначе, но выходит, что реализация квантового алгоритма факторизации выдвигается во внешнюю область, которая не определяется окружающей “физической реальностью”, но объекты из этой области могут в “физическую реальность” проваливаться. Однако считается, что удерживать схему из кубитов там сложно, поэтому элементы достаточно быстро должны бы входить в зацепление с “реальностью”, теряя, тем самым, возможности для эффективной работы. В физике это называется декогеренцией, а для наших целей можно считать, что “категория”, стоящая за квантовым вычислением, “запутывается” (entanglement) с той действительностью, о которой смогли договориться наблюдатели – то есть, локализуется или схлопывается, теряя все полезные свойства. Иногда результатом локализации может быть “результат вычислений”. Хотя, вычисления ли это? Отдельный вопрос.