dxdt.blog: занимательный интернет-журнал

Отмечу отдельно пять записок из вышедших в марте 2026:

• Цифры и числа в системах счисления
• GNSS и трансляция координат в другую сторону
• Техническое: DNSSEC-ответы об отсутствии записей и RFC
• Уравнение Бомбелли и мнимая единица
• “Арифметика” Диофанта и обозначение неизвестной

Напоминаю, что в марте, вынужденно, поменялся домен сайта – теперь это dxdt.blog.

Пишут (The Register, англ.), будто на одном из спутников Starlink “что-то взорвалось”, а в результате образовались осколки на орбите. В принципе, образование осколков могло быть и результатом столкновения, но оператор утверждает, что это внутренняя проблема спутника. К тому же, не первая. На спутниках, обычно, есть чему взорваться: аккумуляторы, топливные системы и т.д.; так что – правдоподобный вариант. Но заполнение многих орбит осколками легитимных спутников, при условии возникновения лавинного эффекта, это один из сценариев закрытия ближнего космоса. В данном случае, как ожидается, осколки быстро сгорят, потеряв высоту – одно из преимуществ низкой орбиты.

Для интересующихся английским языком и математикой (при чём тут математика – будет понятно ниже): на сайте The Guardian весьма занимательная задача – нужно прочитать известные идиомы и крылатые фразы на английском, но записаны эти фразы и идиомы в виде наборов цветных прямоугольников, где размеры прямоугольника соответствуют начертанию буквы, а цвета – разные для гласных и согласных (зелёный – гласные). Например, вот так, как на картинке ниже (взято из исходной статьи).

Предложения местами сложные, однако некоторые – угадываются довольно быстро (например, первая фраза). Мне удалось прочитать все 10 (надеюсь, что правильно – ответов, на момент публикации этой записки, ещё нет), так что механизм точно работает, попробуйте.

Там есть цитаты из Шекспира, да и сами исходные тексты, конечно, характерны, так сказать, для британского “литературного бэкграунда”, но это очень интересно, поскольку на конкретном примере показывает, насколько важна графическая форма слова в записи и графические же отношения между словами – а это уже чисто математический аспект.

Казалось бы, это идеальная задача для ИИ/LLM. Современная ИИ/LLM, которая, якобы, на “уровне золотой медали Международной математической олимпиады”, должна легко такую задачу решить. Ведь эти системы “обучены” на огромном корпусе текстов, в котором упомянутые фразеологизмы встречаются постоянно (ну, как бы, “Весь мир – театр” и “Не всё то золото, что блестит” – куда же чаще?). Я, конечно, загрузил текст и картинку с задачкой в ChatGPT современной версии. Откровенно говоря, я, при всём моём скептическом отношении, думал, что хотя бы с парой фраз система справится. ChatGPT не угадало ни одной фразы. Так что задача даже лучше, чем можно подумать.

Вновь попадаются утверждения, что, применительно к реализациям протокола Диффи-Хеллмана, “секретные ключи никогда не покидают устройство”. Естественно, это совсем не так. В реальности – такое невозможно. Казалось бы, очевидно: симметричные секретные ключи обязательно должны “покинуть устройство”, иначе этими ключами не сможет воспользоваться другое устройство, для расшифрования или для зашифрования. Покидают устройство ключи и в случае использования протокола Диффи-Хеллмана (DH).

Да, с DH связана неверная контринтуитивная идея, в рамках которой производится сильное обобщение возможностей протокола: дело в том, что DH позволяет сторонам безопасно вычислить общий секрет, обмениваясь сообщениями через открытый канал; это верно; однако вот это понятие – “безопасно вычислить” – основано на некоторых допущениях, то есть, работает лишь в какой-то модели, от свойств которой заивисит реальный уровень безопасности. Ни в коем случае обмен ключами по DH не означает, что “секретные ключи не покидают устройство” или ” ключи есть только у клиента”! Естественно, это особенность протокола, и она всегда прямо учитывается в прикладной криптографии (там есть разные модели стойкости, в том числе, для DH).

Рассмотрим в качестве примера классический вариант DH, работающий “в остатках от деления” (“мультипликативный”). Здесь общий секрет вычисляется при помощи возведения в степень натурального числа. Общий секрет может быть получен после того, как стороны передали открытые параметры друг другу. Открытые параметры – это числа, которые каждая сторона получила на основе собственного асимметричного секрета DH. Открытые параметры – на то и открытые, что передаются через открытый канал. Обратите внимание: каждый из этих параметров содержит полную информацию, нужную для восстановления асимметричного секрета, а сеанс обмена DH – содержит полную информацию для восстановления симметричного секрета (если такой секрет генерируется только по DH, конечно). Более того, значение открытого параметра позволяет однозначно проверить, что третья сторона угадала секрет.

Стойкость протокола DH основана лишь на предположении, что третья сторона, прослушивающая канал, потратит слишком много вычислительных ресурсов на восстановление этого секрета из открытого параметра. Но если у этой третьей стороны такие вычислительные ресурсы есть, то ничто ей не мешает получить секрет – секрет содержится в открытом параметре и передаётся “за пределы устройства”. Это базовый принцип. Иначе работать схема не будет: получить тут общий секрет, не передавая тем или иным способом ключ, невозможно.

Я раньше несколько раз подробно описывал особенности DH и применение этого протокола в разных сценариях.

Воскресное чтение манускриптов. Продолжаем несколько беспорядочное чтение предисловия из “Арифметики” Диофанта. В версии манускрипта 13 века Vat.gr.191 из Ватиканской Апостольской библиотеки. В прошлый раз – изучали фрагмент про “минус на минус” и обозначение “отрицательных” величин. В этот раз – вернёмся немного назад и прочитаем про два других обозначения: про “число”, как “Число” и про “монаду” (почти как в языке Haskell).

Мы раньше уже встречались с обозначением степеней (неизвестной) у Диофанта, и там был “кубо-кубос” (κυβόκυβος – Κ^ΥΚ ) для шестой степени – то есть, “куб плюс куб”. Там же был и квадрат – “дунамис” (“динамис”). Случай, когда никакой степени при неизвестной нет, – это, в современных обозначениях, просто x, – Диофант описывает отдельно.

В манускрипте написано: “Не получившее никакого названия [степени], но содержащее в себе неопределённое количество единиц, Числом (ἀριθμός) назовём, и пусть его обозначение – ς”.

Однако обозначение ς, “сигма” тут – весьма условное: знак только похож на сигму, но это точно не сигма. Так, на данном манускрипте вообще-то используется некий S-образный знак с волной и кружочком, он в середине скриншота, а увеличенный фрагмент – дан ниже.

В разных источниках этот знак переменной тоже разный. Кроме “похожего на сигму”, как здесь, встречаются: Ч-подобный знак, разные “волны с точками и кружками”, иногда иные варианты (дзета и т.д.). Очень загадочный знак. Непонятно, откуда он взялся, если не из сокращения слова ἀριθμός, тем более, что такая логика хорошо укладывается в схему именования других объектов Диофантом, как “кубусы” с каппой и т.д. (см. например, T. L. Heath. Diophantus of Alexandria).

Да и на рассматриваемом здесь манускрипте Vat.gr.191 нетрудно заметить, что вместо этого странного значка, далее по тексту, часто используется как раз скорописное сокращение для слова ἀριθμός. Так что, вполне возможно, что обозначение неизвестной в первой степени и у исходного Диофанта – это ни “сигма”, ни ещё какая-то буква, а специальный знак для слова “арифмос” (откуда, понятно, происходит “арифметика”).

Теперь к монадам. Вторая часть выделенного на скриншоте текста (после странного “сигма-знака” для “арифмоса”) – это описание и название для свободного коэффициента. То есть, для константы, которая входит в уравнение, соотвествующее той или иной задаче. Константы нужно отличать от переменных: “Другой знак для неизменяемого и определённого количества единиц будет “Μ”, несущая “Ο” сверху: M̊” – написано у Диофанта. Диофант задаёт при помощи этого обозначение контекст вычислений. Не сомневайтесь – тут прямо противопоставлены “переменные” и “константы”, в соседних предложениях. Это “мю” (Μ) в обозначении свободного коэффициента – первая буква слова μονάς – “монас”/”монада”. Монада используется у Диофанта именно в смысле выделенного инструмента, позволяющего понятийно отделить место для числа, от самого числа, при преобразованиях. Если вы подумали, что монадой, по принципу использования, тут является “арифмос”, как переменная, то это не так – у Диофанта понятия вводятся из соображений выделения отличий между преобразованиями. Поэтому и степени переменной обозначаются разными именами: “динамис”, “дианамо-динамис”, “кубо-кубос”, а не как принято сейчас – коэффициентом при обозначении неизвестной. Поэтому монада тут нужна именно для фиксирования преобразования. Ну, то есть, сейчас бы, на техничном языке, сказали бы, что это “функториальный инструмент”. Почти что как монада, используемая для обёртывания, например, операций ввода в Haskell. Да и название совпадает, что, конечно, естественно: сам термин “монада” – образован от древнегреческого слова.

Некоторое время назад мы уже находили на манускриптах древние знаки “дипле”, которые сейчас используются с той же целью – для обозначения цитируемого фрагмента текста в сообщении электронной почты, например. В этот раз – в тексте Диофанта используется монада, причём, в том же понятийном ключе, как и в современном языке программирования Haskell, но не только там.

Неделю назад, 22.03.2026, я настроил в качестве основного адреса сайта dxdt.blog. Пока что под новым адресом сайт продолжает нормально работать. На веб-сервере для dxdt.ru – установлен безусловный HTTP-редирект (301), по HTTPS. Конечно, это несколько непривычно: много лет я традиционно называл сайт “dxdt.ru”, то есть, вместе с TLD; это, к сожалению, “не сработало”, что печально. Более того, dxdt.blog зарегистрирован через того же регистратора, что и вариант в .ru, так что нельзя исключать, что ЕСИА распространят вообще на все услуги и домены. Но посмотрим.

Интересно, кстати, что замена адреса тут же привела к набегу разнообразных ботов. Домен dxdt.blog я зарегистрировал несколько лет назад, но не делегировал его. Видимо, контроллеры ботов отслеживают не только новые HTTP-редиректы, но и вновь делегированные имена – этим объясняется увеличение потока прямых HTTP-запросов.

Чуть более года назад известная компания по продвижению ИИ – Anthropic – заявляла, силами своего генерального директора (CEO), что “через год 100% кода будет писать ИИ/LLM” (это цитата, по ссылке есть видео). Год прошёл. Не похоже, что доля программного кода, генерируемого ИИ, даже приблизилась к 100%. Несмотря на весь “хайп”, несмотря на “дефективность” самого показателя – “количество написанного кода”. Процитирую свою заметку, опубликованную в марте прошлого года:

“Проценты сгенерированного программного кода” – очень занимательный показатель. И не так важно, в чём его взвешивать – в строках или килобайтах командных слов. Например, можно генерировать “тавтологические строки”, которые компилятор будет просто выкидывать: if(a == b){a = b}…; или for i in [0,100]: b = 10; и т.д. Какая доля таких строк может быть в тексте программы? Сколь угодно близкая к 100% – чтобы программа хоть что-то делала, конечно, придётся написать пару вызовов, условно, каких-нибудь print “Hello!”. Заметьте, что даже корректную реализацию всякого алгоритма на ЯВУ нетрудно растянуть по “строкам кода”, что уж говорить про некорректные реализации.

Отдельный интерес тут представляет следующий административный момент: если у данных централизованных корпораций, переводящих электрическую энергию в сгенерированный текст, появился инструмент настолько хороший, что он годится для написания 100% программного кода, то зачем они этот инструмент пытаются продавать наружу, а не используют исключительно сами? Ведь захват “100% программного кода”, в современных условиях, – означает, что данная корпорация стала основой не только производства каких-нибудь стиральных машин и телевизоров, но также и авиалайнеров, а равно и микропроцессоров вообще, ибо там везде программный код лежит в основе. Можно стать “корпорацией всего”, выпуская “все приложения” самостоятельно. Казалось бы. Но нет.

У меня есть очень старый аккаунт Google Apps “для домена” – ещё со времён бета-тестирования, бесплатный (каким-то чудом). Вот я настраивал там TOTP, поскольку Google перестал пускать без “второго фактора” (очередной маркетинговый трюк), и обнаружил, что в панели администратора теперь есть специальный раздел “Углеродный след” (Carbon Footprint for Google Workspace). Кто бы мог подумать.

В “Википедии” (на английском), наконец-то, прямо запретили использование выдачи LLM (тех самых “ИИ-помоев”, которые всё заливают вокруг) для генерирования и переписывания текста статей:

Text generated by large language models (LLMs) often violates several of Wikipedia’s core content policies. For this reason, the use of LLMs to generate or rewrite article content is prohibited, save for the exceptions given below. (Текст, сгенерированный LLM, часто нарушает ряд базовых политик “Википедии” для контента. По этой причине, использование LLM для генерирования или “рерайтинга” статей запрещается, кроме исключений, описанных ниже.)

А “описанные ниже” исключения – это лишь использование для проверки и исправления грамматических и орфографических ошибок, но только с проверкой изменений редактором-человеком, и использование для машинного перевода текста, но, тоже, только с последующей проверкой редактором-человеком. (Тут, конечно, смущает задача перевода, но хоть какие-то подвижки.)

Не факт, конечно, что этот запрет будет эффективен, и что он надолго. Но посмотрим.

Уравнение Бомбелли – это кубическое уравнение . Рафаэль Бомбелли – итальянский инженер-математик 16 века. Он занимался гидротехникой. В том числе, масштабными проектами по осушению заболоченных лугов. Но в истории математики Бомбелли известен главным образом как автор трактата “Алгебра”, в котором, кроме прочего, описал объект, называемый сейчас “мнимой единицей”. Именно на примере упомянутого кубического уравнения, Бомбелли в “Алгебре” показывает, как найденные им “радикалы особого (другого) вида” можно применить для разрешения противоречий, связанных с “отрицательным числом под радикалом” в формуле Кардано.

Мы решим это знаменитое (в узких кругах) уравнение несколькими способами, выведем формулу Кардано, разберёмся, бывают ли “корни из отрицательных чисел”, поймём, откуда именно проблемные сочетания с минусом берутся в формуле Кардано, и что именно это означает, если отвлечься от бравурных заявлений вида “квадратные корни из отрицательных чисел существуют, но вам об этом не рассказывают”. А кроме того, определим, почему формула Кардано обычно бесполезна с практической точки зрения.

(Это немного дополненная версия статьи, которую я ранее опубликовал на “Хабре”.)
Читать полностью

В свежей версии 149 браузера Firefox добавлен встроенный VPN-сервис, заворачивающий трафик к веб-узлам в туннель, проходящий через “прокси-сеть” Mozilla. Такой сервис был обещан некоторое время назад, теперь его постепенно внедряют в основную ветку браузера.

Тут как раз очень важно то, что вся обработка и перенаправление трафика – происходят в браузере. То есть, веб-узел видит только IP-адрес оконечного узла туннеля. А промежуточные сетевые узлы, находящиеся между браузером и входным узлом наложенной “прокси-сети”, не видят IP-адрес веб-узла, с которым соединяется браузер. Добавьте сюда защищённый DoH/DoT резолвинг DNS и – получается закрытая специализированная сеть доступа, привязанная к браузеру. Но пока что такой VPN-доступ не для всех, а только для пользователей в США, Великобритании, Германии и Франции.